反對(duì)稱雙正交小波應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像增強(qiáng)的研究*

阿布力江·艾力米努，阿布都克力木·吐爾洪江，奧斯曼·阿卜杜如蘇力

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830054)

0 引 言

圖像增強(qiáng)技術(shù)是一類基本的圖像處理技術(shù)，其目的是放大圖像中感興趣結(jié)構(gòu)的對(duì)比度，增加可理解性;減少或抑制圖像中混有的噪聲，提高視覺質(zhì)量;使改善后的圖像比原始圖像更加滿足某些特殊分析的需要。根據(jù)具體應(yīng)用目的不同，圖像增強(qiáng)方法主要有3 類:空間域增強(qiáng)方法，變換域增強(qiáng)方法和基于參數(shù)優(yōu)化的方法［1］。一幅醫(yī)學(xué)圖像以直觀的形式給醫(yī)生提供輔助診斷和治療的信息。但是，從掃描儀設(shè)備出來的原始圖像由于受到成像設(shè)備和獲取條件等多種因素的影響，可能出現(xiàn)圖像質(zhì)量的退化，甚至偽跡，即使是高質(zhì)量的圖像，在大多數(shù)情況下，也很難用肉眼直接得出有用的診斷。因此，圖像增強(qiáng)技術(shù)已經(jīng)成為醫(yī)學(xué)圖像實(shí)際應(yīng)用中不可或缺的一項(xiàng)工作［2］。由于小波分析具有多分辨率、多尺度的特點(diǎn)，把它應(yīng)用于圖像增強(qiáng)時(shí)，效果優(yōu)于傳統(tǒng)的增強(qiáng)算法。利用小波進(jìn)行圖像增強(qiáng)的應(yīng)用領(lǐng)域很廣泛，尤其是在醫(yī)學(xué)，地理等方面有著十分重要的作用［3～5］。由于二進(jìn)小波變換具有良好的平移不變性性質(zhì)，因此，用它進(jìn)行處理會(huì)得到很好的結(jié)果，但計(jì)算量較大，從而導(dǎo)致速度緩慢的情況。本文提出一種既能得到與二進(jìn)小波結(jié)果近似也能提高速度的一種小波，這就是反對(duì)稱雙正交小波。

1 二進(jìn)小波變換具有的微分算子功能

二進(jìn)小波介于連續(xù)小波和離散小波之間，它只是對(duì)尺度參數(shù)進(jìn)行離散化，而在時(shí)域上仍保持平移量連續(xù)變化。因此，二進(jìn)小波仍具有連續(xù)小波的平移不變性，這是它有別于離散小波的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。由于它的這個(gè)獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，它在圖像增強(qiáng)和去噪中具有重要的應(yīng)用。

命題1:若二進(jìn)小波函數(shù)ψ(x)與對(duì)應(yīng)的平滑函數(shù)φ(x)滿足下列條件

則二進(jìn)小波具有微分算子的功能。

從而可以得出

式(2)表明:在j 級(jí)分辨率下的“細(xì)節(jié)”信號(hào)(dj(x))正比于高一級(jí)(j+1)下的“近似”信號(hào)aj+1(x)的導(dǎo)數(shù)，從而將計(jì)算導(dǎo)數(shù)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎M(jìn)小波變換分解的問題。

由于二進(jìn)小波具有這種良好的性質(zhì)，即微分算子功能和平移不變性，則用二進(jìn)小波濾波器進(jìn)行圖像增強(qiáng)效果要比用正交和雙正交小波濾波器好得多。由于常用的基于小波的多尺度圖像增強(qiáng)方法，采用不具備正交性的二進(jìn)卷積小波。而數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域，更希望采用某種正交性小波進(jìn)行增強(qiáng)，這樣，不僅能得到與二進(jìn)小波近似的結(jié)果，而且還可以提高速度。

在à trous 算法上可以用正交或雙正交濾波器，但這時(shí)它不能較好地保持平移不變性。因此，可以找一個(gè)雙正交小波使它具有二進(jìn)小波所具有的性質(zhì)，而雙正交小波具有平移不變性，并可利用對(duì)稱性避免邊界效應(yīng)。由Mallat 的討論，用于邊緣提取的小波ψ(x)必須為反(奇)對(duì)稱，它所對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)φ1(x)為偶對(duì)稱［6］。所以，反對(duì)稱雙正交小波適合于在à trous 算法分解數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像增強(qiáng)。

2 反對(duì)稱雙正交小波的微分算子功能

命題2:若{gk}是一個(gè)具備線性相位的反對(duì)稱雙正交小波的系數(shù)，則{gk}必須是偶數(shù)長度的反對(duì)稱序列。

命題3:假設(shè)ψ1(x)是一個(gè)具有反對(duì)稱性的雙正交小波，φ1(x)是所對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)，那么，ψ1(x)≈ηφ1(2x +0.5)，其中，，且反對(duì)稱雙正交小波具有微分算子功能。

由命題3 可知，反對(duì)稱雙正交小波具有微分算子功能，因此，可以用此小波進(jìn)行圖像增強(qiáng)，不僅可以得到近似于用二進(jìn)小波進(jìn)行處理的效果，而且還可以提高速度。下面將用實(shí)驗(yàn)證明以上命題和結(jié)論。

3 醫(yī)學(xué)圖像增強(qiáng)

本文選用反對(duì)稱雙正交濾波器Bior 3.3 和二次樣條二進(jìn)小波濾波器［8］對(duì)新疆煤礦醫(yī)院的醫(yī)學(xué)圖像做實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比。

3.1 增強(qiáng)函數(shù)

對(duì)利用à trous 算法分解的低頻部分和高頻部分分別采用單閾值增強(qiáng)函數(shù)和雙閾值增強(qiáng)函數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)，其中:

1)單閾值增強(qiáng)函數(shù)［7］

2)雙閾值增強(qiáng)函數(shù)［7］

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

對(duì)原圖像進(jìn)行3 次à trous 算法分解后，絕大部分能量都集中在低頻部分，而細(xì)節(jié)部分則體現(xiàn)在高頻信息。方法1:高頻用單閾值函數(shù)進(jìn)行增強(qiáng);方法2:高頻用雙閾值增強(qiáng)函數(shù)進(jìn)行增強(qiáng);方法3:為了達(dá)到既要降低噪聲又要突出細(xì)節(jié)信息的目的，將得到的低頻信息用單閾值增強(qiáng)函數(shù)進(jìn)行處理，同時(shí)為了增強(qiáng)圖像細(xì)節(jié)信息，高頻信息用雙閾值增強(qiáng)函數(shù)進(jìn)行處理再重構(gòu)［7］。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1，表2，表3 和圖1～圖4。

表1 方法1Tab 1 Method 1

表2 方法2Tab 2 Method 2

表3 方法3Tab 3 Method 3

圖1 原圖Fig 1 Original image

圖2 方法1Fig 2 Method 1

圖3 方法2Fig 3 Method 2

圖4 方法3Fig 4 Method 3

本文所用的圖像是一個(gè)512 ×512 的來自新疆煤礦醫(yī)院的醫(yī)學(xué)圖像。表格中的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在文獻(xiàn)［7］中介紹過。圖2(a)是采用二次樣條二進(jìn)小波對(duì)該圖像進(jìn)行3 次à trous 算法分解后對(duì)高頻用單閾值(其中，t=4，g=20)增強(qiáng)函數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)得到的圖像。圖2(b)是采用反對(duì)稱雙正交小波進(jìn)行3 次à trous 算法分解再用相同的方法進(jìn)行增強(qiáng)得到的圖像。表1 是圖2 所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。從表和圖可以看出:由于反對(duì)稱雙正交小波也具有微分算子功能，能近似地接近于二進(jìn)小波，所以，可以用到反對(duì)稱雙正交小波得到的結(jié)果近似相等于用二進(jìn)小波進(jìn)行處理所得的結(jié)果。而且從表可以看出:用反對(duì)稱雙正交小波進(jìn)行處理可以提高圖像的信息熵，說明圖像的細(xì)節(jié)有了明顯的增加，從圖可以看出:用此反對(duì)稱雙正交小波可以很好地突出邊緣，用到需要突出邊緣的圖像，比如:PET 或骨骼等圖像效果會(huì)更好。圖3(a)與(b)分別用二次樣條二進(jìn)小波和反對(duì)稱雙正交小波，但用方法2(其中，t1=5，t2=35，g=20)進(jìn)行增強(qiáng)。圖4中的兩幅圖也與上面一樣，但用方法3 進(jìn)行增強(qiáng)。還能得到與上述一致的結(jié)論，而且從表和圖還可以看出:低頻用單閾值(其中，t=4，g =20)，高頻用雙閾值(其中，t1=5，t2=35，g=20)進(jìn)行增強(qiáng)效果比以上2 種方法更好。這是因?yàn)閳D像的大部分能量都集中在低頻部分，所以，進(jìn)行適當(dāng)?shù)卦鰪?qiáng)能提高重構(gòu)后圖像的信息熵。

4 結(jié) 論

圖像增強(qiáng)是指按實(shí)際需要采取相應(yīng)的技術(shù)手段，強(qiáng)調(diào)圖像中的某些特征而抑制其他信息，改善視覺效果，或使之更適合于圖像的后續(xù)處理和特定應(yīng)用的過程。本文經(jīng)做對(duì)比實(shí)驗(yàn)，用實(shí)驗(yàn)和理論明確指出了反對(duì)稱雙正交小波具有微分算子功能，證明了它能近似地代替二進(jìn)小波，而且還指出了反對(duì)稱雙正交小波更適合用于對(duì)圖像邊緣的增強(qiáng)，而且能加快速度。

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