極限存在性證明的幾種主要方法*

陸永良 ， 嵇建峰

(1.平湖市城關中學, 浙江　平湖　314200；2.湖州職業技術學院, 浙江　湖州　313000)

極限是數學分析的基本概念之一,用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態。數學分析中的幾乎所有其他概念，諸如：連續、導數、微分、定積分、級數收斂性、多元函數偏導數、重積分、曲線積分、曲面積分等，都直接通過極限理論得以嚴密化。極限是溝通常量與變量、有限與無限的橋梁。理解極限的精確定義,掌握極限存在性證明的方法都是十分必要的，它是涉及分析的理論和計算是否可靠的基本問題。17世紀牛頓和萊布尼茲雖然完成了微積分的創立工作，但由于他們對極限概念還十分模糊，所以在微積分的基本理論上存在著明顯的不嚴密性的缺陷，在邏輯上也有漏洞，以至于引發了第二次數學危機；直到19世紀，法國的柯西和德國的維爾斯特拉斯等人的工作，給出了極限、收斂概念的精確定義，確立了以極限論為基礎的數學分析體系之后，才使微積分克服了邏輯上的困難，并使之建立在嚴格的理論基礎之上。從此，各種極限問題才有了切實可行的判別準則。

眾所周知，極限在整個微積分學乃至整個數學學科的研究中都占有舉足輕重的作用，幾乎都直接或間接與極限有關。證明極限的存在的方法很多，本文將把分散于數學分析各章節中的理論和方法較系統地進行歸納，并針對證明極限的存在性這個中心問題的常用解題方法進行探討。

1　極限存在性證明的幾種主要方法

極限存在性的證明是對數列極限和函數極限的存在性運用數學分析的定義和定理證明其收斂。依據不同的研究方法及所應用的數學工具，已有的極限存在性證明方法可大致分為九種，我們分別概述如下。

1.1　利用極限的基本定義證明

類似地，不難給定一元函數的左極限和右極限、一元函數當自變量趨于無窮大時的極限、多元函數的極限的定義。

即

證明：根據二項式定理，得到

1.2　利用單調有界數列收斂定理

定理1： 單調有界數列必有極限[1]

利用單調有界數列收斂定理時，其難點有時在于單調性的證明，有時在于估計有界性，二者都常用數學歸納法。

所以，數列{xn}有界。由單調有界數列收斂定理得，數列{xn}收斂。

1.3　利用柯西收斂準則

定理2：[1](柯西收斂準則)數列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m，n>N時，有|xm-xn|<ε

證明{xn}是發散的。

證明：根據柯西收斂準則，只須證明?ε0>0，對

?N(自然數)，?m,n>N時，有|xm-xn|≥ε0，在本題中對任意正整數n，取m=2n，有：

因此，{xn}是發散的。

1.4　利用數列子列的性質

1.5　利用海涅定理判斷極限的收斂性

1.6　利用上、下限相等

因為任何有界數列必存在有窮的上、下限，而數列收斂的充要條件又是上、下限相等[1]，所以在已知數列不具有單調性或不易估計它能否滿足柯西收斂準則的條件時，常常從上極限大于下極限或下極限不小于上極限入手來證明收斂性；或者從上、下極限不相等來證明數列發散。

1.7　利用施篤茲定理

例8：設x1∈(0,1)，xn+1=xn(1-xn)(n=1，2，3，…)，證明數列{xn}是收斂的。

故根據施篤茲定理，得：

1.8　利用構造法

構造一個新的便于研究的數列，把它作為橋梁來研究原數列，這也是數學上常用的方法之一。

證明：設yn=xn-1，則yn=sinyn-1(n=1,2,3,…)

因為：-1≤sinx≤1,y0=-1所以：-1≤yn=sinyn-1<0

yn-1≤sinyn-1=yn(n=1,2,3…)故{yn}單調增加且有上界，所以數列{yn}收斂。

2　結　語

由于極限理論在數學分析中占有十分重要的地位，極限存在性的證明與方法有許多種，本文概述的九種證明方法僅是主要的幾種，絕不是其全部方法。從以上方法中可以看到，只要靈活地加以綜合運用，就能有效地解決不同形式的極限存在性證明問題。

參考文獻：

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