七參數坐標轉換研究及應用

周　適

(中鐵二局集團有限公司測量中心， 四川成都　610031)

在工程測量中，7參數和4參數坐標轉換是經常遇到的坐標轉換形式，7參數坐標轉換應用范圍更為廣泛。對7參數坐標轉換模型進行詳細論述和分析，并用VC++編制7參數程序，對工程實際數據進行演算，分析7參數兩種模型計算結果和轉換參數。

1　7參數模型分析

7參數坐標轉換是三維坐標之間的轉換。7個參數包括：3個平移參數ΔX、ΔY、ΔZ，3個旋轉參數ωX、ωY、ωZ，1個縮放參數k。當采用7參數坐標轉換模型計算7參數時，由于有7個未知參數，因而至少需要3個及以上的同名點才能計算7參數。常用的7參數轉換模型包括：布爾莎模型和莫洛金斯基模型。兩種模型計算參數不同，但轉換后的坐標結果基本一致，現分別對這2種模型進行敘述。

(1)布爾莎模型

布爾莎模型旋轉中心為坐標原點，轉換模型為式1所示。

(1)

式(1)可以等價變換為式(2)

(2)

若有n個(n≥3)需要坐標轉換的點坐標：PA1(XA1、YA1、ZA1)、PA2(XA2、YA2、ZA2)…PAn(XAn、YAn、ZAn)，其轉換中需要用到的同名點坐標分別為：PB1(XB1、YB1、ZB1)、PB2(XB2、YB2、ZB2)…PBn(XBn、YBn、ZBn)。則可以列出誤差方程式。

(3)

(4)

(2)莫洛金斯基模型

莫洛金斯基旋轉中心可以任意選定，實際應用中可以將旋轉中心坐標表示為PO(X0、Y0、Z0)，可通過式(5)求得

(5)

其中，PA1(XA1、YA1、ZA1)、PA2(XA2、YA2、ZA2)…PAn(XAn、YAn、ZAn)為轉換前的三維坐標，即PA1、PA2…PAn為與同名點點名對應的待轉換點的坐標，n為轉換中需要的同名點個數。莫洛金斯基旋轉模型為式(6)所示。

(6)

(7)

若有n個(n≥3)需要坐標轉換的點，則可以列出誤差方程式，如式(8)所示。

(8)

(9)

對上述兩種7參數轉換模型分析，將兩個轉換模型的系數矩陣B進行對比，由于莫洛金斯基模型矩陣B中很多元素都減去了旋轉中心坐標，使得矩陣B中元素的數值大大減小，這在求逆運算(BTB)-1時能保證矩陣獲取更高的精度。一般情況下，兩種模型計算的3個平移參數不同，但縮放和旋轉參數應相同，且計算轉換后的坐標結果基本一致。由于兩種模型旋轉中心不同，布爾莎模型應用于全球性或大范圍坐標轉換精度更高，而莫洛金斯基模型應用于區域性坐標轉換精度更高。

2　實際應用

7參數坐標轉換應用范圍很廣泛。例如不同橢球之間的空間直角坐標可以通過7參數進行坐標轉換，RTK放樣時利用求得7參數將施工坐標(高斯平面坐標+水準高)轉換為放樣時用的大地坐標(BLH)，新舊不同坐標系之間的坐標可通過7參數進行轉換等。

現以工程中實際數據為例，對7參數模型應用進行敘述說明。

2.1　不同橢球之間的空間直角坐標轉換

若已知某控制網為工程獨立坐標系，北京1954橢球，給定中央子午線經度和投影面大地高，現利用手持GPS導航，需要經緯度BL。手持GPS導航是基于WGS-84坐標系的經緯度進行導航，而北京54橢球和WGS-84橢球由于橢球參數存在差異，坐標原點不在同一位置，空間直角坐標也不相同，因而可以通過求解7參數進行坐標轉換。

現場通過手持GPS采集3個以上控制點單點定位的大地坐標BLH(一般手持GPS均有此功能)，將其轉換為空間直角坐標X′Y′Z′，此坐標作為轉換中用到的同名點坐標；將北京54平面坐標轉換為BL，套上投影面大地高后將其轉化為XYZ，此坐標作為待轉換的坐標。可通過XYZ向X′Y′Z′坐標轉換求解7參數，然后利用求解的7參數計算XYZ轉換后的坐標X″Y″Z″，再將7參數轉換后的坐標X″Y″Z″轉換為大地坐標B′L′H′，此時B′L′即是WGS-84坐標下的經緯度，可以進行導航應用。筆者利用VC++編制7參數程序，計算得出的轉換后坐標完全能滿足手持GPS導航的精度要求。

2.2　RTK放樣時7參數轉換的應用

由于RTK放樣時放樣坐標不是施工坐標(XYh)，而是大地坐標(BLH)，因而需要利用7參數進行坐標轉換。下面以一個具體算例作說明。

表1為某工程項目施工坐標XYh(高斯平面坐標XY和正常高h)。

表2為已知同名點的大地坐標。

中央子午線經度為119°，投影面大地高70 m，WGS-84橢球。

將大地坐標BL利用高斯投影正算為平面坐標xy，套上大地高H，變成xyH，計算結果為表3所示。

表1　某工程項目的施工坐標XYh　m

表2　某工程項目的大地坐標BLH

表3　平面坐標xy和大地高H(同名點)　m

利用表1的施工坐標和表3的4個同名點坐標計算7參數，用布爾莎模型和莫洛金斯基模型分別計算，兩種不同模型計算的7參數結果如表4所示。

表4　兩種模型計算的7參數

利用表4所計算的7參數，可以求得表1施工坐標經過7參數轉換后的坐標，互相對比，兩個模型計算轉換后的坐標結果一致，且殘差也很小，如表5所示。

將表5所示7參數轉換后的坐標X′Y′H′中的平面坐標X′Y′利用高斯投影反算為BL，套上大地高H′，如表6所示，此結果可以用于RTK放樣。

表5　7參數變換后的坐標及殘差

表6　轉換后可用于RTK放樣的大地坐標

上述例子還可以進行如下轉換(轉換后的坐標結果是一致的)：表1中的施工坐標XYh中的平面坐標XY，先通過高斯投影反算為BL，套上正常高h形成BLh(如果知道高程異常，可以求出大地高，經過測試，7參數轉換過程中高程異常對最后轉換后的坐標沒有影響，只是7參數計算結果不同)，然后轉換為空間直角坐標XYZ。表2中的同名點大地坐標BLH，轉換為空間直角坐標X′Y′Z′，然后根據轉換前的坐標XYZ和同名點坐標X′Y′Z′求解7參數，利用7參數將XYZ轉換為X″Y″Z″，再轉成大地坐標B′L′H′，此結果與表6所示的結果一致。

布爾莎模型和莫洛金斯基這兩種轉換模型都是經典的7參數轉換模型，但并不是適用于所有三維坐標之間的轉換。只有待轉換的坐標和同名點坐標(轉換后)是同一系統時才適用。比如這兩套坐標都是空間直角坐標XYZ時，或者都是施工平面坐標XY加高程h時，方可適用7參數轉換模型進行坐標轉換。若需要轉換的坐標為空間直角坐標XYZ，同名點坐標為施工坐標XYh時，此時試圖計算兩者之間的7參數，會發現計算的7參數的數值很大，殘差也很大，計算結果不可靠。

3　總結

(1)布爾莎模型和莫洛金斯基模型都是經典的7參數轉換模型，莫洛金斯基模型與布爾莎模型相比較，在公式中引入了旋轉中心，使得求解精度提高。兩個模型都是嚴密的平差模型，計算求得的7參數不同，但利用7參數計算轉換后的坐標在一般情況下是一致的。由于兩種模型旋轉中心不同，布爾莎模型應用于全球性或大范圍坐標轉換精度更高，而莫洛金斯基模型應用于區域性坐標轉換精度更高。

(2)兩個7參數坐標轉換模型并不適用于所有三維坐標之間的轉換，只有待轉換坐標和同名點坐標是同一系統時才適用。

(3)7參數坐標轉換的精度取決于轉換時同名點坐標的精度，同名點至少應3個及以上才能計算7參數。若通過試算發現精度較差的點，應剔除不讓其作為同名點，再重新進行7參數坐標轉換，計算的結果精度會有所提高。

[1]《誤差理論與測量平差基礎》編委會.誤差理論與測量平差基礎[M].武漢：武漢大學出版社，2006

[2]《誤差理論與測量平差基礎》編委會.現代大地控制測量[M].北京：測繪出版社，2003

[3]《全球定位系統(GPS)的原理與數據處理》編委會.全球定位系統(GPS)的原理與數據處理[M].上海：同濟大學出版社，2006