一種改進的廣義曲線坐標變換的電磁材料設計方法

摘 要： 提出一種改進的基于麥克斯韋Maxwell方程的廣義曲線坐標變換的電磁超材料設計方法，首先介紹了該方法的轉換方程，然后通過高增益喇叭天線、圓環聚焦和角度旋轉的人工電磁超材料這三個例子驗證該方法的可行性。將轉換公式運用于二維的有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics中，得到了三種例子的仿真結果，并進行了討論。仿真結果表明通過廣義曲線坐標變換可以得到具有良好場分布特性的人工電磁超材料，具有更廣泛的適用性。

關鍵詞： 人工電磁超材料； 拉梅系數； 廣義曲線坐標變換； COMSOL Multiphysics

中圖分類號： TN011?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）19?0140?05

0 引 言

近幾年，人工電磁超材料的研究得到了較快的發展，出現了很多實現超材料性能的方法，比如基于Laplace方程和Possion方程的能夠屏蔽外界電磁場影響的電磁超材料[1?2]。Pendry等人介紹了一種基于Maxwell方程的形式不變性的電磁超材料的設計方法[1]，通過該方法，電磁場能夠在不破壞外部電場的情況下被可穿透的電磁超材料排除在外，從而有力表現了內部的電磁超材料對于外部的電場是隱身的。但是，該方法只適用于直角坐標系的情況，不具有普遍適用性。本文提出一種改進方法——基于Maxwell方程的廣義曲線坐標系變換的電磁超材料的設計新方法。

為了證明該方法的可行性及普遍適用性，本文介紹了三個例子，運用COMSOL Multiphysics軟件進行仿真，并對其結果進行了詳細的討論。第一個例子是高增益喇叭口天線；第二個例子是電磁超材料集中器[3?4]；第三個例子是一種關于角度旋轉的電磁超材料[5?8]。這三個例子從三個不同的角度展現了電磁超材料的電磁特性，從而證明本文提出方法的可行性和實用性。

1 轉換方程

從狹義相對論的觀點來看，時間與空間組成不可分割的統一體，從這個特點出發，閔可夫斯基提出了四維空間的概念，以時間變量作為四維空間的第零個坐標，在四維空間坐標系的概念下，閔可夫斯基將Maxwell方程組表述為：

可見，在新的四維時空坐標系[xα]下，Maxwell方程組（8）及媒質的本構關系式（9）與原有時空坐標系[xα]下的Maxwell方程組（1）和本構關系式（5）具有一致的表達形式，也就是說閔可夫斯基形式的Maxwell方程組具有時空變換協變性。

由此可知：電磁場量是統一的電磁場張量的一些分量，當進行坐標變換時，電磁場張量是不變量，但它的分量及媒質參數卻隨坐標系的不同而有所變化，例如對于二維、線性、時不變空間變換，在新的空間坐標系下的介電常數和磁導率張量式（9）將有如下形式：

因此，如果已知原始空間內的媒質參數分布[εij，][μij]以及原始空間到變換空間的坐標變換關系，可由式（7）獲得該變換的雅格比矩陣，由式（11）計算在新坐標系下的[εij，][μij。]

然而式（7）僅適用于兩變換坐標系采用笛卡兒直角坐標表征時的變換雅格比矩陣的計算。對于一般的曲線坐標系，該式不再適用。

2 方法應用

考慮如圖1所示的一般廣義正交曲線坐標系。

為三個坐標軸的坐標分量，則對于通過空間內任一點的三條坐標線上的長度元為：

其中[Qi]為該曲線坐標第[i]個坐標分量的拉梅系數。

由于廣義正交坐標[q1，][q2，][q3]是三維空間中點的單值函數，而三維空間中任一點亦可用直角坐標來確定，所以[q1，][q2，][q3]是[x，][y，][z]的單值函數，反之直角坐標[x，][y，][z]也是廣義曲線坐標[q1，][q2，][q3]的單值函數，可表示為：

[x=x（q1，q2，q3），y=y（q1，q2，q3），z=z（q1，q2，q3）] （14）

根據上述直角坐標與廣義曲線坐標之間的函數關系，可求得拉梅系數的計算公式：

[Qi=?x?qi2+?y?qi2+?z?qi2， i=1，2，3] （15）

考慮到曲線坐標系線元的表達式，對于該坐標系下任意一坐標變換的雅格比矩陣計算式需修正為：

[Aαα=Qα?xαQα?xα， α，α=1，2，3] （16）

根據式（15），式（16）確定兩個曲線系坐標間坐標變換的雅格比矩陣，代入式（11）可得到新坐標系下的媒質參量分布。

3 性能仿真

下面分別以直角坐標，球坐標和柱坐標下的3個異向介質的設計實例說明本設計方法的正確性。

3.1 直角坐標下高增益喇叭口天線異向介質的材料參數設計

考慮如圖2所示的坐標變換關系，在原始坐標空間下的一矩形區域（圖中[ABCD]所包圍的區域）轉變為新的變換空間內的梯形區域（所包圍的區域），則這種坐標變換關系可寫為：

從圖3可以看出，將該異向介質置于波導口徑天線處，可將波導口處的柱面波轉換為平面波輻射，從而提高天線的方向性。

圖4為采用商用軟件COMSOL Multiphysics計算得到的加載這種異向介質材料的二維波導口徑天線和未加載異向介質的波導口徑天線的電場分布情況。

3.2 球坐標系下球殼形cloak異向介質的材料參數設計

采用Pendry教授提出的球形cloak異向介質[5]作為第二個驗證算例，其坐標變換關系為將球坐標系下的一半徑為[b]的球形區域壓縮為內徑為[a，]外徑為[b]的球殼形區域，該變換滿足的關系式為：

[r=b-abr+a，θ=θ， φ=φ， a≤r≤b] （21）

由式（16）及球坐標系的拉梅系數[Q1=1，Q2=r，][Q3=rsinθ]計算得到該變換的雅格比矩陣及其行列式為：

[A=b-ab000rr000rrsinθsinθ]

[det（A）=b-abrr2sinθsinθ] （22）

考慮到該坐標變換中[θ=θ，][r=b（r-a）/（b-a），]代入式（11）有：

[εijr=μijr=r-ar2bb-a000bb-a000bb-a] （23）

該式與Pendry教授首次提出的球形cloak的電磁參數分布一致，再次證明了本文方法的正確性。

3.3 柱坐標系下旋轉cloak異向介質材料參數設計

最后考慮一坐標分量間具有相互耦合的柱坐標情況，在柱坐標系下[z=const]截面內一半徑為[b]的圓沿[r]軸方向壓縮為內徑為[a]，外徑為[b]的圓環，并且該圓環內各點坐標沿[θ]軸方向旋轉任意一角度常量[θ0]，如圖5所示的[θ0=π2]時的網格變換示意圖。由圖5可知，在原坐標空間內的任意一點[Γ（r，θ，z）]與新坐標系內的[Γ（r，θ，z）]相對應，因此該變換的表達式可寫為：

由式（16）及柱坐標系的拉梅系數[Q1=1，Q2=r，][Q3=1]計算得到該變換的雅格比矩陣及其行列式為：

4 結 論

本文提出的基于廣義曲線坐標變換方法的關鍵是對Pendry提出的雅格比矩陣進行改進，即用拉梅系數修正雅格比矩陣的表達式，并通過對高增益喇叭天線，聚焦結構和角度旋轉的超材料性能進行了研究，證實了本文提出的基于廣義曲線坐標變換方法的可行性，對于多樣結構的人工電磁超材料的設計具有一定的借鑒意義。

參考文獻

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