基于指數(shù)矩的圖像描述

摘 要： 論證一種基于T指數(shù)構(gòu)建的圓諧?傅里葉矩——指數(shù)矩（ EFMs），分析其定義原理及其與基于三角函數(shù)構(gòu)建的圓諧?傅里葉矩的關(guān)系，驗(yàn)證指數(shù)矩作為一種正交不變矩所具有的多畸變不變性質(zhì)。通過在Matlab軟件平臺(tái)上進(jìn)行的仿真實(shí)驗(yàn)，證明了指數(shù)矩的旋轉(zhuǎn)、縮放不變性，得出了指數(shù)矩作為一種高度濃縮的圖像特征，無信息冗余，抽樣性能好，抗噪聲能力強(qiáng)，與其他矩相比更適用于多畸變不變圖像描述和識(shí)別的結(jié)論。

關(guān)鍵詞： 數(shù)字圖像； 指數(shù)矩； 圖像歸一化； 不變量

中圖分類號(hào)： TN964?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2013）14?0112?04

Image description based on exponent moments

WU Yu， ZHAO Jia?ji， PING Zi?liang， DU Hao?xiang

（Century College， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing 102613， China）

Abstracta： The circular harmonic?Fourier moments established on the basis of exponent， i.e. exponent moments （EMs） are demonstrated in this paper. The analysis of its principle and its relation with the CFMs verifies the multi?distorted invariance that EMs as the orthogonal invariant moments possess. Through a series of simulation experiments on Matlab platform， the rotation invariance and position invariance of EMs were proved. A conclusion that the EMs are more suitable for image description and recognition than other moments since it is a highly?concentrated image characteristic which has good sampling performance and strong anti?noise ability， but has no information redundancy.

Keywords： digital image； exponent moment； image normalization； invariant

數(shù)字圖像處理技術(shù)以其信息量大、處理和傳輸方便、應(yīng)用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，成為人類獲取信息的重要來源和利用信息的重要手段，并在宇宙探測、遙感、生物醫(yī)學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、軍事、公安、辦公自動(dòng)化等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，顯示出廣泛的應(yīng)用前景。在圖像處理的應(yīng)用中，目標(biāo)識(shí)別技術(shù)[1]就是使用對(duì)目標(biāo)的抽象描述來有效地進(jìn)行目標(biāo)表示與比較，這種描述一般定義為從各種圖像中提取的特征。矩在統(tǒng)計(jì)學(xué)中用于表征隨機(jī)量的分布，而在力學(xué)中用于表征物質(zhì)的空間分布，若把二值圖像或灰度圖像看作是二維密度分布函數(shù)，矩就可以提取為用于描述一幅圖像的特征[2]。1962年，M.K.Hu根據(jù)幾何不變量理論引進(jìn)了幾何矩的概念。Teague等提出的正交矩解決了如何用較少的矩更好地描述圖像的問題，Y.L.Sheng提出的正交傅里葉?梅林矩（OFFMs）在描述圖像方面優(yōu)于其他正交不變矩。2002年，平子良等提出了切比雪夫?傅里葉矩（CFMs），獲得了與OFFMs相似的結(jié)果。2003年，任海萍等提出采用三角函數(shù)構(gòu)建圓諧?傅里葉矩（CFMs），并從歸一化圖像重建誤差、噪聲靈敏度等方面對(duì)其圖像描述能力進(jìn)行了分析，證明它在各種描繪圖像的矩中性能最好[3?4]。2010年，平子良等提出一種基于指數(shù)構(gòu)建的圓諧?傅里葉矩——指數(shù)矩（EFMs） ，與基于三角函數(shù)構(gòu)建的圓諧傅里葉矩相比，指數(shù)矩不僅性能優(yōu)良，而且形式簡單、計(jì)算速度快。

矩和矩函數(shù)已被廣泛應(yīng)用于圖像識(shí)別、圖像分類、圖像變換、圖像傳輸、圖像壓縮等圖像信息處理技術(shù)領(lǐng)域。本文旨在研究指數(shù)矩的圖像描述能力，對(duì)指數(shù)矩的理論依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)驗(yàn)證，并基于指數(shù)矩進(jìn)行了圖像的恢復(fù)重建等仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了指數(shù)矩不變量的旋轉(zhuǎn)、縮放不變性。

1 指數(shù)矩

1.1 圓諧?傅里葉矩

圓諧?傅里葉矩[5]這種正交矩本身不是多畸變不變量，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q可以得到多畸變不變性。圓諧?傅里葉矩不變量對(duì)圖像的平移、縮放、旋轉(zhuǎn)具有不變性。圓諧?傅里葉矩定義在極坐標(biāo)下，它的基函數(shù)是由徑向函數(shù)，和角向的傅里葉因子組成：

（1）

式中：n為非負(fù)數(shù)；m為整數(shù)；r的取值范圍為，θ的取值范圍為。圓諧?傅里葉矩的徑向基函數(shù)主要由正交完備的三角函數(shù)系構(gòu)成：

在內(nèi)，徑向基函數(shù)，是加權(quán)正交的：

（2）

根據(jù)上式和角向傅里葉因子的性質(zhì)，圓諧?傅里葉矩的基函數(shù)在單位圓，內(nèi)是正交的：

（3）

圓諧?傅里葉矩實(shí)際上就是將函數(shù)圖像投影在圓諧?傅里葉矩的基函數(shù)上得到的系數(shù)，它在極坐標(biāo)下的表達(dá)式可寫為：

（4）

式中是圖像函數(shù)的圓諧?傅里葉矩。

1.2 指數(shù)矩

指數(shù)矩是通過以更為簡潔的復(fù)指數(shù)函數(shù)代替三角函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)的一種基于指數(shù)構(gòu)建的圓諧?傅里葉矩[5]。

根據(jù)歐拉公式：

（5）

可知，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式，將圓諧?傅里葉矩徑向基函數(shù)中的三角函數(shù)用復(fù)指數(shù)形式表示，即：

（6）

式中：n的取值范圍是所有整數(shù)；r的取值范圍為。

在極坐標(biāo)系中，定義基函數(shù)系，為：

（7）

式中：為徑向基函數(shù)；為角向基函數(shù)，m的取值范圍是所有整數(shù)。

根據(jù)和角向傅里葉因子的性質(zhì)可知，函數(shù)系在單位圓內(nèi)是正交的，即

（8）

按照函數(shù)正交理論，在極坐標(biāo)系中圖像函數(shù)可以分解為函數(shù)系的無限加權(quán)和，即：

（9）

式中為展開式的系數(shù)。對(duì)一個(gè)圖像函數(shù)，稱其在基函數(shù)上的展開式系數(shù)為階指數(shù)——傅里葉矩（Exponential?Fourier moments，EFMs），定義表達(dá)式為： （10）

2 圖像重建

圖像函數(shù)是定義在直角坐標(biāo)下的函數(shù)，指數(shù)矩是定義在極坐標(biāo)下圖像函數(shù)和基函數(shù)的積分，為了計(jì)算的方便，傳統(tǒng)的計(jì)算指數(shù)矩的方法是在直角坐標(biāo)下進(jìn)行的。首先將極坐標(biāo)下指數(shù)矩的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)下的表達(dá)式，然后根據(jù)直角坐標(biāo)下的公式計(jì)算圖像的指數(shù)矩。極坐標(biāo)下指數(shù)矩的表達(dá)式由前文給出，若要得到直角坐標(biāo)下的表達(dá)式，首先要進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，二維坐標(biāo)平面上任一點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：

（11）

（12）

積分微元在兩種坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)換公式為：

（13）

根據(jù)式（11）和（12），可以將被積函數(shù)中的變量由極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)形式，根據(jù)式（13），可以將微元表示為直角坐標(biāo)下的形式，這樣通過坐標(biāo)變換就可以將指數(shù)矩表示為直角坐標(biāo)下的表達(dá)式

（14）

根據(jù)直角坐標(biāo)下的指數(shù)矩的積分表達(dá)式（14）可看出，在計(jì)算圖像指數(shù)矩時(shí)，積分變量的變化范圍是，所以首先需要將圖像歸一化到單位圓內(nèi)，并使圖像的中心位于單位圓的圓心，將圖像歸一化后所計(jì)算的指數(shù)矩就具有了縮放不變性。將圖像歸一化到單位圓內(nèi)后，取每個(gè)像素所確定的小區(qū)域的中心點(diǎn)作為被積函數(shù)的函數(shù)值的抽樣點(diǎn)，將像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為單位圓內(nèi)的離散坐標(biāo)而后進(jìn)行函數(shù)值抽樣，則像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為單位圓內(nèi)的坐標(biāo)公式為：

（15）

（16）

（17）

（18）

對(duì)于一個(gè)的圖像，上述公式將像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為外接單位圓內(nèi)的坐標(biāo)，且圓心位于圖像中心。表示在每個(gè)像素確定的小區(qū)域的中心點(diǎn)的坐標(biāo)值，滿足，每個(gè)像素確定的小區(qū)域的面積為。在每個(gè)像素所確定的小區(qū)域內(nèi)，積分變量和被積函數(shù)的取值點(diǎn)為，像素點(diǎn)的圖像函數(shù)值為，指數(shù)矩的基函數(shù)值為：

（19）

由此再根據(jù)指數(shù)矩在直角坐標(biāo)下的積分表達(dá)式可得出直角坐標(biāo)下指數(shù)矩的離散形式的表達(dá)式：

（20）

對(duì)圖像函數(shù)，由上式計(jì)算出它的指數(shù)矩之后，可以利用有限個(gè)指數(shù)矩來近似重構(gòu)圖像函數(shù)。極坐標(biāo)下利用有限個(gè)指數(shù)矩近似重構(gòu)圖像函數(shù)的表達(dá)式寫為：

（21）

可將上式表示為直角坐標(biāo)下重構(gòu)圖像函數(shù)的表達(dá)式：

（22）

對(duì)于不同圖像不同階數(shù)的分解重構(gòu)仿真結(jié)果分別如圖1～圖3所示。

圖1 字母圖像重構(gòu)

圖2 RGB圖像重構(gòu)

圖3 文字圖像重構(gòu)

在Matlab軟件平臺(tái)上的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于字母圖像，用10階的指數(shù)矩即可成功重構(gòu)可辨認(rèn)的圖像；對(duì)于普通圖像，用15階的指數(shù)矩即可成功重構(gòu)可辨認(rèn)的圖像；對(duì)于文字圖像，用20階的指數(shù)矩即可成功重構(gòu)可辨認(rèn)的圖像。因此，指數(shù)矩與其他描述圖像的矩一樣具有非常有效的圖像描述性能，能夠完整、無冗余的重構(gòu)圖像。

3 旋轉(zhuǎn)不變性

指數(shù)矩的模具有旋轉(zhuǎn)不變的性質(zhì)。設(shè)為極坐標(biāo)下的圖像函數(shù)，其指數(shù)矩為，將原圖像旋轉(zhuǎn)角度生成圖像，圖像的指數(shù)矩為，根據(jù)指數(shù)矩的計(jì)算公式，極坐標(biāo)下的指數(shù)矩為：

（23）

對(duì)上式兩端取模：

（24）

由上式可知，將圖像旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后的指數(shù)矩的模與原始圖像的指數(shù)矩的模是相等的，也就是說指數(shù)矩的模具有旋轉(zhuǎn)不變性。對(duì)比兩圖像的指數(shù)矩，還可以得出圖像的旋轉(zhuǎn)角度。對(duì)文字圖像進(jìn)行30°，150°，210°，330°的旋轉(zhuǎn)變換仿真結(jié)果如圖4所示。對(duì)圖像分別旋轉(zhuǎn)30°，150°，210°，330°，變換后指數(shù)矩的模始終不變，三維直方圖如圖5所示。

4 縮放不變性

計(jì)算縮放不變的指數(shù)矩時(shí)，對(duì)一個(gè)給定的圖像函數(shù)，找到圖像半徑的，則的變化范圍為，其歸一化的圖像函數(shù)：

（25）

其中的變化范圍為，為歸一化后的圖像函數(shù)，利用歸一化的函數(shù)計(jì)算所得到的指數(shù)矩就具有縮放不變性。因?yàn)椋粓D像函數(shù)，縮放而得到的任一圖像按照式（25）最終都?xì)w一化為同一個(gè)函數(shù)，所以歸一化后的圖像指數(shù)矩就具有了縮放不變性。

圖4 圖像旋轉(zhuǎn)

圖5 指數(shù)矩模值三維直方圖

對(duì)文字圖像進(jìn)行放大2倍、縮小2倍的縮放仿真結(jié)果如圖6所示。對(duì)圖像分別進(jìn)行放大2倍、縮小2倍，變換后指數(shù)矩的模始終不變，三維直方圖如圖7所示。

在Matlab軟件平臺(tái)上的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在對(duì)圖像進(jìn)行30°，150°，210°，330的旋轉(zhuǎn)變換后，圖像質(zhì)量沒有受損，指數(shù)矩模值沒有改變；對(duì)圖像進(jìn)行放大2倍、縮小2倍的縮放變換后，圖像質(zhì)量沒有受損，指數(shù)矩模值沒有改變。因此，驗(yàn)證了指數(shù)矩的不變量具有旋轉(zhuǎn)不變性和縮放不變性。

圖6 圖像縮放

圖7 指數(shù)矩模值三維直方圖

5 結(jié) 論

本文論證了一種基于指數(shù)構(gòu)建的圓諧?傅里葉矩——指數(shù)矩（EFMs）以及其在圖像描述中的應(yīng)用。對(duì)比探究了指數(shù)矩與基于三角函數(shù)構(gòu)建的圓諧?傅里葉矩（CFMs）的關(guān)系，推導(dǎo)了指數(shù)矩的定義及其不變性的理論依據(jù)。

通過在Matlab平臺(tái)上的一系列仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了指數(shù)矩能夠重構(gòu)圖像等優(yōu)良的圖像描述能力以及其旋轉(zhuǎn)不變性和縮放不變性。由此，證明了指數(shù)矩可以作為一種多畸變不變的圖像特征而被應(yīng)用于數(shù)字圖象處理與識(shí)別等領(lǐng)域當(dāng)中。

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