思維孵化：一種不可或缺的教學意識

不久前，筆者在一次教研活動中聽了兩節課，內容都是蘇教版國標本教材第八冊的《倍數和因數》，但教學效果有明顯的差異。這里呈現“找36的因數”的兩個片段，以供討論。

片段一：（在教學了倍數和因數的概念之后，教師開始進行例題的教學。）

出示例題：你能找出36的所有因數嗎？學生在小組內討論后進行交流，然后全班匯報。

師：誰來說說你們小組討論的結果？

生1：我們小組根據算式1×36=36想到1和36是36的因數，又根據2×18=36想到2和18是36的因數……所以，36的因數有1、36、2、18、3、12、4、9、6。

師：這個小組的同學利用乘法算式有序地找到了36的因數，真了不起。還有不同的方法嗎？

生2：我是從1開始，一個個試的，用36÷1，再用36÷2……

師：一直除到什么時候為止？

生：一直除到36，能除盡的就是36的因數。

師：還有不同的方法嗎？

生3：我們小組是用除法找的，根據36÷1=36找到了1和36，再根據36÷2=18找到了2和18，接著我們又找到了3、12、4、9、6。

師：你們喜歡用什么方法呢？

生4：我喜歡第一種和第三種方法，很方便。

師：是的，這兩種方法都是一對一對地找到了36的因數。大家學會了嗎？下面我們就用這樣的方法來找一找15和16的因數吧。

片段二：（教師在課前用小研究的形式把這個問題布置給了學生。問題是：36的因數有哪些？你是怎么找的？把你的方法簡要記錄下來。課上學生先將課前研究在小組里交流。）

師：你們是怎么找36的因數的？

生1：將36分成兩個數相乘，得到36的因數有1、36、2、18、3、12、4、9、6。

師：不錯，還有其他的方法嗎？

生2：我是用除法找的，用36一個一個除以非0的自然數。

師：一個一個除是不是從1除到36？

生2：不用，36÷1=36中除數和所得的商都是因數。

師：你們明白了嗎？

生3：我聽懂了，他說36÷1=36，就得到36和1都是36的因數。

師：也就是說我們可以通過這一步一次找到兩個因數，除到什么地方為止呢？

生4：一半的地方，18。

生5：我覺得他說的不對，除到9就可以了。

生6：我覺得除到6就可以了，除以1、2、3、4都可以分別找到兩個，6只要寫一個就可以了。

師：如果中間的兩個數不一樣呢？

生7：要一直除到出現重復為止，如36÷9=4，和上面36÷4=9重復了，就可以停止了。

師：我們從幾開始除起呢？

生8：1，因為1可以被所有的自然數整除，不從1的話就會有的重復，有的還沒寫。

師：說得真好！從1還是保證有序，不遺不漏。剛剛還有人提到了乘法呢，這兩種方法有什么相同的地方？

生9：除法反過來就是乘法，都是一對一對找到的。

師：說得真好！你會找一個數的因數了嗎？誰來出一道題目讓大家試一試？

……

這兩節課的后半部分都設計了練習，通過現場的觀察與課后的了解，片段二的學生對因數的尋找方法掌握得更透徹。筆者以為，這與教學流程的差異有著極大的關系，其中最重要的差異，就是片段二中的教師引導孩子們一同經歷了“思維孵化”的過程。

數學教學中的“思維孵化”，簡單地說，就是讓學生自己在邏輯思維的道路上走一回。它的要點有三：一是讓學生自己走，自己發現、解決問題，而不是“學生看老師走一回”；二是要在“數學思維”的道路上走，要展現數學的魅力和思維的美感，這樣的數學課才有魅力，學生才有興趣；三是要把零散的思維點走成連貫的思路。這樣，“數學思維”就會在課堂上孵化，在孩子的腦海里生根。那么，如何進行數學思維的孵化呢？

1.關注過程：“思維孵化”的基本取向。

過程取向是新課程改革的一種重要思想。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在教學建議中特別強調“過程”，比如，“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程”“數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的”等。可見，“關注過程”應當是當下數學課堂教學的基本取向。

對比前文的兩個片段，不難發現，片段一中的教學是結果取向，學生說出了正確答案，教學目標就完成了，剩下的就是反復練習，知識沒有打開，學生沒有思維的實踐過程。這樣做，課堂教學的時間是很經濟，但學生學習的效率卻很低，因而其實并不經濟，更不利于學生數學素養的培養。而片段二中的教學就是過程取向，在教學過程中，在引導孩子掌握知識的過程中，有一個展現數學知識和思維推導的過程，在這個過程中展現了一條思考的道路，教師并不急于得到一個確切的答案，相反，還把很多學生認為是“答案”的地方問成了問題，因而可以很清晰地感覺到思維的步步深入。而學生經歷了這樣的過程后，體驗到了知識的打開過程，因而教學效果更佳。同時，由于教師的教學展現了一條清晰的思路，因而更多的學生可以沿著這條思路往下走，達到理解的境地。

2.數學魅力：“思維孵化”的教學指向。

從“過程”出發去往哪里？或者說，過程性的目標是什么？除了規定的教學目標之外，思維孵化的數學課堂還應當讓學生體驗到數學的魅力。筆者以為，數學的魅力就在于思考的“持續性”和“嚴密性”。小學生的年齡特點決定了他們學習過程中反省認知的薄弱，表現在學習的過程中就是思路的停滯。他們無法或很難獨自完成思維的孵化過程，他們需要教師的引導，持續、嚴密的“追問”就是思維動力的基本保證。

對比兩個片段，有一個類似的討論，當學生提到“可以從1開始，一個個試除”的時候，片段一的教師隨即轉換了問題，向其他學生提問“有沒有不同的方法”，而沒有抓住繼續追問的機會，因為這可能不是他要尋找的答案，而當學生說出了他要的答案后，教學目標也就完成了，思路也就終止了。片段二中教師卻通過一個個的追問，比如“一個一個除是不是從1除到36？”“除到什么地方為止呢？”“如果中間的兩個數不一樣呢？”“我們從幾開始除起呢？”等，帶領學生進行了持續、嚴密的思考，將數學思維引向深處，學生的理解就有了根。在這些問題與對話中，我們分明可以感受到學生的思維由發散至精確的過程。即學生開始對問題的想象解答是很發散的，但是一旦找到了可能的方向，在教師的引領下，就開始集中精確。

3.教學智慧：“思維孵化”的背景支撐。

作為一種生命化的教育，數學教學過程中的“思維孵化”不僅需要數學的學科智慧，更需要教育的共同智慧。教育學者張文質認為，所謂的教育智慧都是教育計劃之外的東西，你能夠計劃好的就不是智慧。當我們能夠熱愛學生、熱愛數學、熱愛教學的時候，智慧往往就在不經意間流淌。

孵化是一個生命化的過程也是個性化發展的過程，它強調的是每一個生命個體的不可替代性。因此，教師要為個體提供充足的獨立思考和研究的時空。對比兩個片段便可發現，雖然兩者都有討論，但存在很大的差異。片段一的討論時間在課上，且小組討論時，一些數學學習能力較強的、略有基礎的學生最先在小組里分享了自己的方法，于是小組內的其他成員便不再深入思考，似乎聽懂了，討論也就結束了，這樣的學習過程不僅不能激活其他學生的已有經驗，相反有可能會抹殺部分學生對于知識探索與研究的欲望。而片段二中，教師課前給了學生一些獨立思考和研究的時間，大部分學生都有了獨立思考的過程，課上大家爭相闡述自己的思考，表達自己的觀點，最終形成了較準確、完整的知識結構。教師的教學需要有所等待，等待尚未掌握方法的學生掌握方法，等待初步掌握方法的學生掌握得更透徹。這個過程必須讓學生自己完成才有意義，教師不能包辦，也不能簡單滑過，而必須用充分的時間，等待學生的思維孵化。另外，在這個過程中，要聆聽每一個學生、了解每一個學生、研究每一個學生，只有這樣，才能使數學學習真正走進學生的心里。葉瀾教授曾說過，我們這二十多年教育最大的失誤在于我們忽視了具體的個人，而這個具體的個人才是教育的難度所在。數學教學中“思維孵化”的過程落實在對個體的關注上才是真實有效的。