數(shù)列的通項公式

在數(shù)列的通項公式教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)在給定數(shù)列前幾項的情況下，大多數(shù)學(xué)生認為其通項公式只有一種表示形式。針對上述問題，我采取了如下的教學(xué)方式：

給出數(shù)列{an}的前三項為1，3，5，請寫出這個數(shù)列的一個通項公式。

生A：太簡單了，都是奇數(shù)，an=2n-1.（學(xué)生表示贊同，并且不再思考）

師：的確是簡單了，我們把這個題目改一改，前提不變，請你寫出這個數(shù)列的前六項。（學(xué)生剛開始認為：那不是更簡單？后來發(fā)現(xiàn)了不同，提起興趣，紛紛動筆或思考）不如這樣，我們分成八個小組，看哪個小組找得最多！

（下面一段時間，學(xué)生進行激烈的討論，研究出成果來還“保密”，害怕被其他小組“竊取”）

師：我看大家研究得差不多了，誰先來展示一下研究成果？

生A：我還是堅持上次的觀點，寫出1，3，5，7，9，11，肯定對吧！（我點頭微笑表示同意）

師：其實，你寫出的這列數(shù)除了都是奇數(shù)外還有什么特點？

生A：后項與前項的差都是2.

師：能不能再嚴密點？

生A：噢，第一項沒前項，應(yīng)該說從第二項開始，每一項與前一項的差都是2.

師：太棒了，這恰好是我們后面將要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的特點，看來只要我們動動腦筋，許多新知識都可以自己總結(jié)出來！除了這個，你們還有其他的結(jié)果嗎？（還想寫成1，3，5，5，5，5，行嗎？）

師：完全可以呀！能解釋你們的設(shè)計意圖嗎？（生A極力推舉B來回答）

生B：我就是想這樣挺簡單的，后面都是5。

師：思路很好，你能不能再想一想你所寫的數(shù)列的通項公式？（生B稍猶豫）其他同學(xué)有沒有類似的答案？（學(xué)生表示有類似答案，只不過后面的數(shù)有的是0，有的是7，等等）那我們一起幫他想！（提示生B）看看這個數(shù)列的特點。

生B：從第三項起，后面都是5，像常數(shù)列。

師：很好，想一想常數(shù)列的通項公式。

生B：an=5。

師：那前兩項是否符合這個規(guī)律呢？

生B：不符合，可以寫成a1=1，a2=3，an=5（n=3，4，5，…）

師：大家同意嗎？（同意！）好！其他小組還有沒有不同方法？

生C：我們組寫出1，3，5，11，21，43。

師：這個挺有意思，這些數(shù)之間有什么規(guī)律嗎？

生C（很自豪）：當然有了，1×2+3=5，3×2+5=11，5×2+11=21，11×2+21=43。

師：你很聰明，思路很好，有什么公式可以表示這個數(shù)列嗎？（見學(xué)生思考有困難）可以試著把C說的規(guī)律中的數(shù)與它對應(yīng)的項聯(lián)系上，大家一起說！

生：a1×2+a2=a3，a2×2+a3=a4，a3×2+a4=a5，a4×2+a5=a6，…an-2×2+an-1=an。

師：這個公式與通項公式一樣嗎？（不一樣）這是我們下節(jié)課要學(xué)習(xí)的數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式。

（學(xué)生還有很多不同的方法，由于時間有限，將其余部分答案留到課后研究，并試著寫出不同的通項公式。）

師：現(xiàn)在我們考慮一下，給出數(shù)列前幾項后，它的通項公式只有一個嗎？

生：不是。有無數(shù)個。

師：這次我們的分組比賽哪組最好啊？（部分學(xué)生小聲說都挺好）

生D：我認為把大家的結(jié)論合在一起，就最好了！（學(xué)生鼓掌表示認同）（增強了團結(jié)協(xié)作精神）

師：說得很好，我們在今后的學(xué)習(xí)或工作中，一定要學(xué)會分工合作，分享別人的成果和快樂！謝謝大家的合作！

本節(jié)課結(jié)束后，我進行了教學(xué)反思。我覺得數(shù)學(xué)是很容易創(chuàng)造的一門學(xué)科，它實質(zhì)上是人們常識的系統(tǒng)化。教師不必將各種規(guī)則、公式灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，提供具體的例子，讓學(xué)生在實踐的過程中，自己去發(fā)現(xiàn)各種規(guī)律。因而我在教學(xué)中先提出一個看似簡單卻很有研究價值的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的研究熱情，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。針對各個學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的不同，通過適當?shù)膯l(fā)，引導(dǎo)學(xué)生加強反思，使學(xué)生的創(chuàng)造活動由不自覺的狀態(tài)發(fā)展為有意識的活動。讓合作、創(chuàng)新、探究的理念貫穿于整個課堂，以便更有效地提高課堂教學(xué)效率。

我們在教學(xué)中應(yīng)該更加注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。這要求教師應(yīng)首先更新教學(xué)觀念，從傳統(tǒng)的應(yīng)試教育的圈子跳出來，具備明晰而深刻的創(chuàng)新教學(xué)理念，具有創(chuàng)新精神和不斷進取精神。傳統(tǒng)的教育觀的基本特點是以知識的傳授為中心，過分強調(diào)老師的作用，而新的教育要求在教學(xué)中要尊重學(xué)生的人格及創(chuàng)造精神，把教學(xué)的重心和立足點轉(zhuǎn)移到引導(dǎo)學(xué)生積極主動的“學(xué)”上來，引導(dǎo)學(xué)生想學(xué)、會學(xué)、善學(xué)。并且我覺得教學(xué)的整個過程學(xué)生都應(yīng)該積極參與，教師的任務(wù)就是為學(xué)生提供廣闊的天地，聽任各種不同的思維、不同的方法自由發(fā)展，絕不可以對內(nèi)容作任何限制，更不應(yīng)對其發(fā)現(xiàn)設(shè)置任何預(yù)先的圈套。教學(xué)環(huán)境應(yīng)當為每個學(xué)生提供自由思考的空間，讓學(xué)生大膽地想象甚至可以異想天開。因為學(xué)生能否自主選擇研究方向和研究方法也是在課堂教學(xué)中實現(xiàn)創(chuàng)新教育的關(guān)鍵。教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個愉悅、和諧、民主、寬松的人際環(huán)境，要努力以自己對學(xué)生的滿腔熱情去引發(fā)學(xué)生積極的情感反應(yīng)，營造師生情感交融的氛圍。使學(xué)生在輕松、和諧的學(xué)習(xí)氛圍中產(chǎn)生研究的興趣，積極主動地去探究、發(fā)現(xiàn)，從而使學(xué)生敢創(chuàng)造，同時迸發(fā)出創(chuàng)造思想的火花。教師應(yīng)在課堂上多為學(xué)生創(chuàng)造表現(xiàn)的機會，使學(xué)生在自我表現(xiàn)的過程中增強自信，提高創(chuàng)新能力。當然，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神不是一朝一夕就可以取得明顯成效的，它是一個系統(tǒng)的過程，在教學(xué)中必須循序漸進，長期堅持，需要教師在教學(xué)中不斷總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，不斷取長補短，改進自己的教學(xué)理念和教學(xué)方法，以達到為學(xué)生服務(wù)的目的。

總之，在課堂教學(xué)這片土地上，給學(xué)生留出一片空地，讓他們自己去耕種，體驗過程的艱辛，從而體會豐收的快樂，收到意想不到的效果。

（作者單位 黑龍江省齊齊哈爾市富拉爾基區(qū)一重五中）