例談中考中的全等

全等三角形是初中幾何的基礎(chǔ)，是中考命題的熱點(diǎn)之一，全等三角形是兩個(gè)三角形之間最簡(jiǎn)單、最常見的關(guān)系.它不僅是后面學(xué)習(xí)相似三角形、平行四邊形、圓等知識(shí)的基礎(chǔ)，并且是證明線段相等、角相等常用的方法，也是證明兩直線互相垂直、平行的重要依據(jù).因此必須熟練地掌握全等三角形的性質(zhì)及判定方法，并且能靈活應(yīng)用.由于同學(xué)們剛剛接觸，故選取近年來中考中出現(xiàn)的最基本的全等三角形的題目，介紹一下全等三角形在中考中的基本考法.

考點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)

例1 （2009·清遠(yuǎn)）如圖1，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，則∠C1= .

解：∵△ABC≌△A1B1C1，

∴ ∠C1=∠C.

∵∠A=110°，∠B=40°，

∴∠C1=∠C=180-110-40=30°.

例2 （2009·海南）已知圖2中的兩個(gè)三角形全等，則∠α度數(shù)是（ ）.

A.72° B.60° C.58° D.50°

解：因?yàn)閮蓚€(gè)三角形全等，∠α為a與c的夾角，所以∠α=50°，故答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】全等三角形的性質(zhì)有對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、周長(zhǎng)、面積相等，即所有的對(duì)應(yīng)元素都相等.中考中直接考三角形全等性質(zhì)的題目一般難度不大，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)以夯實(shí)基礎(chǔ)為首要任務(wù).

考點(diǎn)二：全等三角形的判定

例3 （2012·福州）如圖3，點(diǎn)E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF.求證：△ABF≌△CDE.

證明：∵AB∥CD，

∴ ∠A=∠C，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

∴AF=CE.

在△ABF與△CDE中，

AB=CD，∠A=∠CAF=CE，，

∴△ABF≌△CDE（SAS）.

例4 （2012·南京）如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且BD=AB，過B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E，求證△ABC≌△BDE.

證明：∵BE⊥AC，

∴ ∠ABE=∠A=90°，

∵∠ABE+∠EBD=90°，

∴∠A=∠EBD.

在△ABC與△BDE中，

∠A=∠EBD，AB=BD，∠ABC=∠BDE，

∴△ABC≌△BDE（ASA）.

【點(diǎn)評(píng)】中考考全等三角形的證明是基本要求，所以掌握好全等的判定方法是特別重要的一環(huán).對(duì)“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”以及“HL”這五種判定方法都要熟練掌握好.對(duì)間接條件的處理尤為重要，比如例3的證明用的是“SAS”，其中AF=CE這個(gè)條件的獲得就需要通過已知條件AE=CF進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4中∠A=∠EBD的獲得是利用同角的余角相等得到的.

考點(diǎn)三：判定和性質(zhì)的綜合

例5（2012·北京）已知：如圖5，點(diǎn)E，A，C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求證：BC=ED.

解：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ECD.

在△ABC≌△ECD中，

AB=CE，∠BAC=∠ECDAC=CD，，

∴△ABC≌△ECD（SAS）.

∴BC=ED.

例6 （2012廣州）如圖6，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求證：BE=CD.

解：在△ABE與△ACD中，

∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，

∴△ABE≌△ACD（ASA）.

∴BE=CD.

【點(diǎn)評(píng)】證相等找全等是這種題型的常規(guī)思維，先用全等三角形的判定再用全等三角形的性質(zhì)是這類題型的常用步驟.全等作為題目的基本組成部分在中考中屢見不鮮，全等與后面同學(xué)們要學(xué)的圖形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等知識(shí)是緊密相連的，所以一定要加強(qiáng)全等三角形的學(xué)習(xí).

考點(diǎn)四：全等三角形的應(yīng)用

例7 （2012·柳州）如圖7，小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測(cè)量池塘兩端M，N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測(cè)出其長(zhǎng)度的線段是（ ）.

A.PO B.PQ

C.MO D.MQ

解：利用全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得MN=PQ，本題答案B.

例8 （2010·河南）如圖8，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，可以在AB的垂線l上取兩點(diǎn)C、D，使BC=CD，再定出l的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).請(qǐng)說明理由.

解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，

∴∠ABC=∠EDC=90°.

在△ABC與△EDC中，

∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC≌△EDC（ASA）.

∴AB=ED，即DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).

【點(diǎn)評(píng)】這兩道例題介紹中考中全等三角形的應(yīng)用的考法，利用全等三角形的性質(zhì)和判定來解決 “不可測(cè)”的問題.“不可測(cè)”問題是指那些在生活中直接測(cè)量不方便或者就是直接測(cè)無法測(cè)量的一類問題，利用全等三角形的知識(shí)解決這類問題只是冰山一角，在初中階段后面的學(xué)習(xí)中，還將介紹其他的測(cè)量方法.

考點(diǎn)五：開放性題型

例9 （2012·黑河）如圖9，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是 （填一個(gè)即可）.

解：此題兩三角形已有兩條邊相等，除已知條件外，線段BC是共有的，所以有兩種添法，其一是添AB=DC，利用“SSS”證全等，其二是添∠ACB=∠DBC，利用“SAS”證全等.

例10 （2012·濰坊）如圖10所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ，使△ABC≌△DBE. （只需添加一個(gè)即可）

解：根據(jù)∠ABD=∠CBE可以證明得到∠ABC=∠DBE，所以本題可添加∠BDE=∠BAC或添加BE=BC或添加∠ACB=∠DEB.

【點(diǎn)評(píng)】開放性的題目是中考中的熱點(diǎn)，開放性問題答案不唯一，可以有很多答案，只要是合理的就行.這種添加條件對(duì)某個(gè)結(jié)論做出判斷的類型是數(shù)學(xué)開放性問題的典型考法之一，由于答案不止一個(gè)，只要寫出一個(gè)符合題目意思的答案即可.