拓展習題，提升能力

在學習過程中，相信同學們都有這樣的感覺：課本例題和習題看起來很簡單，似乎沒必要深入探究.事實上，同學們如能了解教材的知識結構、例習題的地位和作用，學會對教材中的例習題進行適當的拓展和延伸，將有利于開拓思維，在夯實基礎的同時提升解決問題的能力.

例如，蘇科版八年級數學上冊第52頁有這樣一道練習題：

如圖1，要在公路旁設一個汽車站，車站應設在什么地方，才能使A、B兩村到車站的距離相等？

原題是對“線段垂直平分線性質”的簡單運用，只需作線段AB的垂直平分線，與直線CD的交點即為所求.對于這一作圖題可以有如下拓展與延伸：

延展一：

如圖2，在直線CD上求一點P，使得PA+PB最小.

解題后反思：圖2與原題的區別是點A、B位于直線CD的兩側，而不是在直線的一側，所以根據“兩點之間，線段最短”，只需連接AB，與直線CD交點即為所求，見圖3.

在學完“角的對稱性”后，可以進行如下引申：

延展二：

如圖4，在∠COD的內部求一點P，使P到點A、點B距離相等，且到OC、OD距離相等.

解題后反思： 這題綜合考查了線段垂直平分線和角平分線的性質，分別作出∠COD的平分線OE和線段AB的垂直平分線MN，交點即為P點.

延展三：

（1）觀察發現：

如圖（a），若點A、B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小.作法如下：作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點就是所求的點P.

（2）實踐運用：

如圖（b），在等邊三角形ABC中，高AD=2，點E是AB的中點，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，并求出最小值.

（3）拓展延伸：

如圖（c），在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.

解題后反思：（2）的本質是運用了圖（a）的基本圖形，仿照（1），只要作點B關于AD的對稱點，即點C，連接EC，與AD的交點就是所求的點P，所以BP+PE的最小值即CE=AD=2.

（3）又進行了提升，作法如下：作點B關于直線AC的對稱點B′，連接DB′并延長，與AC的交點就是所求的點P.

其實課本中還有很多這樣的習題有拓展空間，再比如課本第66頁的習題：

如圖6，在△ABC中，AB=AC，角平分線BD、CE相交于點O.求證：OB=OC.

題目原本很簡單，是對等腰三角形性質和角平分線定義的運用，這題可以有如下拓展與延伸：

延展一：

已知：如圖7，BE和CF是等腰△ABC腰上的高，BE=CF，H是CF、BE的交點.求證：HB=HC.

解題思路：

因為△ABC是等腰三角形，所以AB=AC，所以∠ECB=∠FBC.

因為AB邊上高為FC，AC邊上的高為BE，所以∠CFB=∠BEC，從而可以證明△EBC和△FCB全等（角角邊定理），可得∠EBC=∠FCB.所以HB=HC.

解題后反思：類似的圖形，不同的條件、結論，課堂中進行這種簡單的變式訓練有利于鍛煉中等水平的同學的基本功，夯實基礎.

延展二：

如圖8，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（ ）.

A. 6個 B. 7個

C. 8個 D. 9個

解題后反思：頂角為36°的等腰三角形是一個很重要的基本圖形，圖中的每一個銳角等腰三角形形狀相同（即后面將要學到的相似三角形），同樣每一個鈍角等腰三角形形狀也都相同，這里只是研究角度，事實上這個圖形適當變化還可以放到梯形中.

延展三：

如圖9，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD.

（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；

（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明△ABC是等腰三角形.

解題后反思：這是一道開放型的問題，所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結論不確定的數學問題，通常需要經過觀察、比較、分析、綜合后進行必要的邏輯思考得出結論，對激發學習興趣，培養想象、發散性思維能力十分有利，開放型試題重在開發創新思維，提高數學素養，利于考生發揮水平，是近幾年中考試題的熱點考題.開放題的特征很多，如條件的不確定性、結構的多樣性、思維的多向性、內涵的發展性等.

本題第一問考查了同學們的分類思想和綜合分析問題的能力.在選擇條件時首先得學會有序排列，同時還要分析選擇的條件能否證明出等腰三角形.這題已知①、③或已知②、③均可推出等腰三角形.

互動練習：

1.等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（ ）

A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm

D. 以上都不對

2.從等腰三角形一個頂點出發的一條直線將原三角形又分成兩個等腰三角形，求原等腰三角形的頂角度數.

3.（2012甘肅蘭州）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，則∠AMN+∠ANM的度數為（ ）.