聚焦典例 放飛思維

數學學習離不開例、習題，而課本中許多例、習題都具有典型性、示范性和探索性，所蘊含的內容相當豐富，對它們進行適當的變化、引申與發散，將能得到有價值的新問題、新結論.現以課本“全等三角形”一章復習參考題第5題為例略加改編.

如圖1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分別為E、D.圖中哪條線段與AD相等？并說明理由.

【分析】我們結合圖形從題目的結論出發，認真觀察，可以猜想線段CE與AD相等.進而尋找兩條線段所在載體——三角形，證明△ADC≌△CEB.

解：CE=AD.

因為BE⊥CE ，AD⊥CE，

所以∠ADC=∠BEC=90°，

即∠DAC+∠ACD=90°，

又因為∠ACB=90°，

即∠ACD+∠BCE=90°，

所以∠DAC=∠ECB.

又因為AC=BC，

所以 △ADC≌△CEB（AAS）.

所以CE=AD.

【點評】此題目屬于全等問題里第二層次，從復雜圖形中找出一對全等三角形.我們可以從題目的條件出發，也可從題目的結論出發.特別要關注圖中雙重身份的線段或角.圖中AC與BC既是等腰直角三角形中兩直角邊，又是全等三角形中一對對應邊.這個圖形也是一個經典圖形.

發散一：已知如圖（1），△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.

求證：（1）BD=DE+CE；

（2）若直線AE繞A點旋轉到（2）位置時，BD

（3）若直線AE繞A點旋轉到圖（3）位置時，BD>CE，其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明.

（4）歸納（1）、（2）、（3），請用簡潔語言表述BD、DE、CE的關系.

【分析】此組題目圖形在變化，但基本條件未變，變化中有不變.∠BAC=90°，AB=AC沒變，BD⊥AE，CE⊥AE不變.這就為我們證明三角形全等創造條件.由全等三角形得到對應線段相等，進而說明題目中結論.

證明：（1）因為BD⊥AE，CE⊥AE，

所以∠ADB=∠AEC=90°，

又因為∠BAC=90°，

即∠BAD+∠CAE=90°，

又∠DAB+∠ABD=90°，

所以∠ABD=∠CAE，

又因為AB=AC，

所以 △ABD≌△CAE（AAS），

所以BD=AE，AD=CE，

所以BD=DE+CE.

（2）（3）都可以說明△ABD≌△CAE，得到對應線段相等，從而說明結論.

【點評】三角形全等是證明線段相等、角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結論聯系起來. 條件中沒有現成的全等三角形時，會通過構造全等三角形再用判別方法.有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構造全等三角形.

常見的構造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構造一對全等三角形.

發散二：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥BD的延長線于E，∠1=∠2，試說明：BD=2CE.

【分析】此題也是由原題圖形基礎上改編而來，通過延長BA與CE構造三角形全等可得，見圖3.

證明：因為CE⊥BD，，

所以∠BEC=90°，

所以∠BAC=∠BEC，

又∠BDA=∠CDE，

所以∠1=∠DCE，

因為∠BAC=∠CAG=90°，AB=AC，

所以△ABD≌△ACG（ASA），

所以BD=CG.

又可證△BEG≌△BEC（ASA），

所以CG=2CE，

所以BD=2CE.

發散三： 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF.

求證：∠ADC=∠BDF.

【簡析】我們有了前面經驗的積累，可以嘗試從說明三角形全等出發尋求答案.依托已有條件作BG⊥CB與CF的延長線交于點G，垂足為B，構造出△ACD≌△CBG 得到CD=BG，∠ABC=∠ABG=45°.由D為BC中點，得到BD=BG.可得△BDF≌△BGF，∠ADC=∠CGB=∠BDF（具體解題過程，同學們自行完成）.