撥云見(jiàn)日

“軸對(duì)稱(chēng)圖形”的主要內(nèi)容是從生活中的圖形入手，學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)及其基本性質(zhì)，欣賞、體驗(yàn)軸對(duì)稱(chēng)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上，利用軸對(duì)稱(chēng)變換，探索等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)習(xí)它的判定方法，并進(jìn)一步學(xué)習(xí)等邊三角形；探索等腰梯形的特征，了解它的性質(zhì)和判定，體驗(yàn)類(lèi)比轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，發(fā)展同學(xué)們的說(shuō)理意識(shí)和主動(dòng)探究的習(xí)慣.

本章是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考熱點(diǎn)問(wèn)題之一.同學(xué)們剛接觸幾何不久，一方面要注意說(shuō)理的嚴(yán)謹(jǐn)，另一方面更要注意難點(diǎn)的突破.下面就本章中的幾個(gè)常見(jiàn)的難點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行分析解剖，借助軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，幫助同學(xué)們迅速找到解題途徑，化難為易，使問(wèn)題迎刃而解，撥開(kāi)云霧見(jiàn)青天.

一、判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形

例1 把一張正方形紙片按如圖1所示的方法對(duì)折兩次后剪去兩個(gè)角，那么打開(kāi)以后的形狀是（ ）

A.六邊形 B.八邊形

C.十二邊形 D.十六邊形

【解析】將圖以對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸兩次對(duì)折后剪去兩個(gè)角，得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形，且相對(duì)稱(chēng)的圖形為八邊形，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)圖形的折疊與展開(kāi)考查軸對(duì)稱(chēng)圖形的特點(diǎn)，可以通過(guò)逆推法依次作出最后一個(gè)圖形關(guān)于折痕的軸對(duì)稱(chēng)圖形，然后判斷，也可以直接動(dòng)手操作驗(yàn)證.

二、設(shè)計(jì)軸對(duì)稱(chēng)圖案

例2 在4×4的方格中有五個(gè)同樣大小的正方形如圖2擺放，移動(dòng)其中一個(gè)正方形到空白方格中，與其余四個(gè)正方形組成的新圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，這樣的移法共有 種.

【解析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，移動(dòng)任一個(gè)正方形，即可得出符合要求的答案.共有13種做法.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)原理設(shè)計(jì)圖案以及分類(lèi)討論的思想.熟練利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對(duì)稱(chēng)的圖形特征，從不同的角度找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)軸.

三、求最短距離

例3 如圖3，已知牧馬營(yíng)地在點(diǎn)M處，每天牧馬人要趕著馬群到河邊飲水.

（1）求到河邊飲水的最短路線(xiàn).

（2）如果飲完水后，需再到草地吃草，然后回到營(yíng)地，試設(shè)計(jì)出最短的牧馬路線(xiàn)圖.

【解析】這是一道實(shí)際生活問(wèn)題，使其轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.（1）可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到直線(xiàn)的最短距離.（2）可得到這樣的數(shù)學(xué)模型：直線(xiàn)a、b間有一點(diǎn)M，試分別在a、b上求出兩點(diǎn)，使M點(diǎn)與這兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)最短. 要求周長(zhǎng)最短，即要求三條線(xiàn)段的和最小，結(jié)合題意，可利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的問(wèn)題.

【點(diǎn)評(píng)】（1）如圖4，利用垂線(xiàn)段最短獲解. （2）如圖5，點(diǎn)A、M關(guān)于直線(xiàn)a對(duì)稱(chēng)，則可得到CA=CM，同理DM=DB，所以MC+CD+DM=AC+CD+DB，這實(shí)際上將ΔMCD的周長(zhǎng)，即三條不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段和轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，由于“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，因此連接AB與直線(xiàn)a、b的交點(diǎn)即為所求的兩點(diǎn).本類(lèi)題目的變式很多，關(guān)鍵是“搬點(diǎn)移線(xiàn)”，把圖形中分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到新的圖形中，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等基本定理來(lái)解決問(wèn)題.

四、折疊類(lèi)問(wèn)題

例4 長(zhǎng)為20、寬為a的矩形紙片（10第二次操作）.如此反復(fù)操作下去.若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止.當(dāng)n=3時(shí)，a的值為 .

【解析】由題意可知，當(dāng)10

則20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15.

∴當(dāng)n=3時(shí)，a的值為12或15.

【點(diǎn)評(píng)】折疊類(lèi)問(wèn)題很多都用到軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì).解決此題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用以及折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在做此題時(shí)，部分同學(xué)常忽略第二種情況.

五、利用等腰三角形的性質(zhì)求角度

例5 如圖7，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB上，BD=BC，AD=DE=BE，求∠A的度數(shù).

【解析】已知條件中，相等的邊較多，且都是在同一個(gè)三角形中，因?yàn)槭乔蟆敖恰钡亩葦?shù)，所以將“等邊”轉(zhuǎn)化為“等角”，充分利用“等邊對(duì)等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180°，求解此題.

解答過(guò)程略，答案為45°.

【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是化邊等為角等，聯(lián)系三角形的內(nèi)角和或外角的性質(zhì)求解.

另外，本章還有個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題是等腰梯形性質(zhì)的應(yīng)用.用各種輔助線(xiàn)如作高、平移對(duì)角線(xiàn)、平移腰、延長(zhǎng)構(gòu)造三角形等將梯形轉(zhuǎn)化為三角形或是特殊四邊形來(lái)解決問(wèn)題.在特殊四邊形學(xué)習(xí)中，同學(xué)們會(huì)接觸到這類(lèi)問(wèn)題.

運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題在近幾年中考中占有相當(dāng)重的比例，同學(xué)們?cè)诜只y點(diǎn)的同時(shí)，要掌握同類(lèi)型變式問(wèn)題的解決方法.其實(shí)萬(wàn)變不離其宗，掌握方法是關(guān)鍵.以方法為基礎(chǔ)，仔細(xì)分析，逐個(gè)擊破，提高解題的信心和能力.