厘清概念 掌握重點

重點概念一：線段的軸對稱性

線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.

線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.（線段的垂直平分線的性質）

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.（線段的垂直平分線的判定）

典型例題

例1 如圖1，在直線MN上求作一點P，使PA=PB.

【解析】如圖2，作線段AB的中垂線CD，CD與MN的交點即為所求.

例2 已知：如圖3，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，△ABD的周長等于29 cm，求DC的長.

【解析】由AB的垂直平分線分別交AC、AB于D、E得AD=BD，由BA=AC=12cm，△ABD的周長等于29cm，得AD+BD=29-12=17cm.由AD=BD，得AD=BD=8.5cm.由BA=AC=12cm，得DC=AC-AD=12-8.5=3.5（cm）.

重點概念二：角的軸對稱性

角是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在的直線.

角平分線上的點到角的兩邊距離相等.（角平分線的性質）

角內部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.（角平分線的判定）

典型例題

例3 如圖4，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的平分線交于點O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為D、E、F.

（1）OD與OF相等嗎？為什么？

（2）OE與OF相等嗎？為什么？

（3）OD與OE相等嗎？為什么？

（4）OC平分∠ACB嗎？為什么？

【解析】（1）OD與OF相等.（角平分線性質）

（2）OE與OF相等.（角平分線性質）

（3）OD與OE相等.（等量代換）

（4）OC平分∠ACB.（∵OD=OE，OD⊥BC，OE⊥AC，∴ OC平分∠ACB.）

例4 如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D.

（1）若BC=8，BD=5，則點D到AB的距離是 .

（2）若BD∶DC=3∶2，點D到AB的距離為8，則BC的長是 .

【解析】（1）過點D作DE⊥AB交AB于點E，因為AD平分∠BAC，所以CD=ED=8-5=3.

（2）∵AD平分∠BAC，∴CD=ED=8.

∵BD∶CD=3∶2，

∴BC=BD+CD=12+8=20.

重點概念三：等腰三角形的軸對稱性

等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸.

等腰三角形兩個底角相等.（等邊對等角）

等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（三線合一）

典型例題

例5 如圖7，已知四邊形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN⊥CD.

【解析】連接DM、CM，∠ACB=∠ADB=90°.由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，易證DM=CM=■AB ，又N為中點，等腰三角形三線合一，然后得證.

重點概念四：等腰梯形的軸對稱性

等腰梯形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，是兩底中點的連線所在的直線.同一底上兩底角相等.等腰梯形對角線相等.

典型例題

例6 有下列說法：①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形的對角線相等；③等腰梯形是軸對稱圖形，且只有一條對稱軸；④有兩個內角相等的梯形是等腰梯形.其中正確的有（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【解析】C.等腰梯形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，是兩底中點的連線所在的直線，同一底上兩底角相等.等腰梯形對角線相等.

例7 如圖8，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，CH是高，MN是中位線.求證：MN=CH.

【解析】過點C作CE∥BD交AB延長線于E，則四邊形BDCE是平行四邊形.

∴BE=CD，CE=BD.

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，即AC=EC.

又∵AC⊥BD，

∴AC⊥CE，△ACE是等腰直角三角形.

∴MN=CH.