“全等三角形”中常見錯(cuò)誤與分析

“全等三角形”是初中數(shù)學(xué)“空間與圖形”中的重要內(nèi)容.它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且還是研究平面幾何問題的重要工具.同學(xué)們初學(xué)時(shí)，由于對(duì)概念、判定、性質(zhì)的理解不深，或?qū)栴}考慮不周密，往往會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.

下面列舉幾種常見的解題錯(cuò)誤并進(jìn)行歸納剖析，希望能引起同學(xué)們的注意.

一、“對(duì)應(yīng)”不準(zhǔn)確

例1 在△ABC和△DEF中，∠A=30°，∠B=70°，AC=5cm；∠D=70°，∠E=80°，DE=5cm.那么△ABC與△DEF全等嗎？為什么？

【錯(cuò)解】△ABC與△DEF全等，證明如下：在△DEF中，因?yàn)椤螪=70°，∠E=80°， 所以∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-80°=30°.在△ABC中，因?yàn)椤螦=30°，∠B=70°，

所以∠A=∠F，∠B=∠D.

又因?yàn)锳C=5cm，DE=5cm，

所以AC=DE.

所以△ABC≌△DEF（AAS）.

【剖析】一對(duì)相等的

對(duì)應(yīng)邊，它們所對(duì)應(yīng)的角

不相等，不符合AAS的兩個(gè)三角形全等的判定要求，所以△ABC與△DEF不全等.

二、誤用“直觀感覺”當(dāng)條件

例2 如圖1，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD.DE、DF分別垂直于AB、AC，垂足為E、F.

求證：BE=CF.

【錯(cuò)證1】

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

因?yàn)锽D=CD，DE=DF，

所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

所以BE=CF.

【錯(cuò)證2】

因?yàn)锳D⊥BC，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

證明△ABD≌△ACD（SAS），

得AB=AC.

再由△AED≌△AFD（AAS），得AE=AF.從而得到：BE=CF .

【剖析】錯(cuò)證1中認(rèn)為DE=DF，并直接將其作為條件應(yīng)用，因而產(chǎn)生錯(cuò)誤；錯(cuò)證2中認(rèn)為AD⊥BC，沒有經(jīng)過推理加以說明，因而也產(chǎn)生了錯(cuò)誤.產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因是審題不清，沒有根據(jù)條件結(jié)合圖形找到證題依據(jù).正解如下：

在△AED和△AFD中，

∠DEA=∠DFA=90°，∠EAD=∠FAD，AD=AD.

所以△AED≌△AFD（AAS），

所以DE=DF.

又因?yàn)锽D=CD，

所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

所以BE=CF.

三、誤用判定方法

例3 如圖2，在四邊形ABCD中，AB平行且等于CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.

求證：AE=CF.

【錯(cuò)證】因?yàn)锳E⊥BD，CF⊥BD，

所以∠AEO=∠CFO=90°，

所以AE∥CF，

所以∠OAE=∠OCF.

又因?yàn)椤螦OE=∠COF，

所以△AOE≌△COF，

所以AE=CF.

【剖析】錯(cuò)解由

△AOE和△COF的三個(gè)

角相等而判定它們?nèi)龋?/p>

根據(jù)是不充分的.僅有三個(gè)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

例4 如圖3，D是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，E是AD邊上一點(diǎn).EB=EC，∠ABE=∠ACE.求證：∠BAE=∠CAE.

【錯(cuò)證】在△AEB和△AEC中：

EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE.

所以△AEB≌△AEC（SAS），

所以∠BAE=∠CAE.

【剖析】上解錯(cuò)在證兩個(gè)三角形全等時(shí)用了“SSA”來判定，這是不正確的，因?yàn)橛袃蓷l邊及其中一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

例5 如圖4，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC.

求證：∠D=∠E.

【錯(cuò)證】在△ACE和△BCD中，

因?yàn)锳C⊥BC，DC⊥EC，

所以∠ACB=∠ECD=90°.

又因?yàn)锳C=BC，DC=EC，

所以△ACE≌△BCD（SAS），

所以∠D=∠E.

【剖析】上面的證明中，錯(cuò)誤地應(yīng)用了“SAS”.∠ACB與∠ECD并不是那一對(duì)三角形的內(nèi)角.

在學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要注意總結(jié)證明兩角相等或兩線段相等的方法，學(xué)會(huì)對(duì)題中圖形進(jìn)行觀察以及對(duì)已知條件進(jìn)行分析，弄明白證明思路.同時(shí)，對(duì)三角形全等的各種條件要記熟并能區(qū)分清楚.