全等圖形概念透析

在我們的生活中存在著大量的全等圖形，如課本上提供的窗花、郵票等圖案.數學中的幾何圖形有的形狀相同，大小不同；有的大小相同，形狀不同；也有的形狀、大小都不相同.若兩個幾何圖形的形狀、大小完全相同（即能夠完全重合），則稱這兩個圖形是全等的圖形.兩個圖形能不能稱為全等，就是要看這兩個圖形疊放在一起能不能完全重合.若能，則可稱為全等；若不能，哪怕有一點兒不能重合，那么就不能稱為全等.

舉個例子，倘若某人的私章是正方形的，那么蓋出來的圖形都是一模一樣的正方形；學校的公章是圓形的，蓋出來的圖形都是形狀、大小一樣的圓形；假如印章制成三角形的，蓋出來的圖形就是全等的三角形.兩個圖形能不能全等，與圖形之間的位置無關，如圖1所示的兩個圖形能夠完全重合，就可稱這兩個圖形全等.

一、全等三角形的定義和性質

（1）能夠 的兩個三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的對應邊 ，對應角 .

特別要提醒大家注意幾點：1.全等三角形的性質中，三角形全等是條件，對應角、對應邊相等是結論；2. 學習三角形全等概念，關鍵是理解各種對應關系，利用性質，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊和對應角.在寫兩個三角形全等時，一定要把對應頂點的順序寫一致，以方便、準確地找到對應邊和對應角.

例1 如圖2，小強利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（ ）.

A.PO B.PQ

C.MO D.MQ

【分析】利用全等三角形對應邊相等可知要想求得MN的長，只需求得其對應邊PQ的長，據此可以得到答案.

【點評】本題考查了全等三角形的性質，一般情況下，題目以“≌”符號連接兩個三角形全等，各個對應位置上的字母表示的點就是對應頂點，兩個對應位置上的字母表示的線段形成對應邊.所以，本題中只需把實際問題轉化為三角形全等問題，運用三角形全等的性質即可解決.

二、一般三角形全等的判定方法

（1）“邊角邊”即“SAS”，兩邊和它們的 的兩個三角形全等.

（2）“角邊角”即“ASA”，兩角和它們的 的兩個三角形全等.

（3）“角角邊”即“AAS”，兩角和其中一角的 的兩個三角形全等.

（4）“邊邊邊”即“SSS”，___________相等的兩個三角形全等.

需要注意的是，有兩條邊和一個角對應相等的兩個三角形不一定全等（即邊邊角），如圖3，在△ABC和△EFG中，AB=EF，AC=EG，∠B=∠F，但這兩個三角形不全等.

例2 已知：如圖4，點E，A，C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求證：BC=ED.

【分析】俗話說：“證相等找全等.”要證BC=ED可由證明△ABC≌△CED得到，結合已知條件：AB=CE，AC=CD，只需找其夾角相等即可，而該條件可由AB∥CD得到.

【點評】根據題目已有的條件，尋找三角形全等所缺的條件，體會“邊角邊”的判定方法，在證明三角形全等后并能運用全等的性質解決問題.同時，按照“由已知想可知，由未知想需知”的思路，思考由條件出發，能得到什么結論，由結論出發，需要什么條件，前后能否互相銜接，形成證明思路.學習過程中，經常以此思路進行分析，定能不斷提高分析問題和解決問題的能力.

三、直角三角形全等的判定方法

（1）利用一般三角形全等的判定方法都能證明直角三角形全等.

（2）“斜邊、直角邊”即“HL”， 對應相等的兩個直角三角形全等.

例3 如圖5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD.求證：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形.

【分析】（1）由題意可知，△ABD和△BAC均為直角三角形，且有一組直角邊對應相等，結合兩三角形有一公共邊，可用“HL”判定兩個直角三角形全等，從而證得BC=AD；另外也可運用勾股定理，分別求BC、AD，得它們相等.（2）運用（1）中結論BC=AD，可再證△AOD≌△BOC（AAS）得到OA=OB，得△OAB是等腰三角形.此外，也可考慮運用（1）中的全等證得∠CAB=∠DBA獲得結論.

【點評】本題重點考查了直角三角形全等的判定以及全等三角形的性質、等腰三角形的判定等知識，屬于難度較小的基礎題，必須熟練掌握.需要提醒大家注意的是，在書寫證明過程時，我們一定要注意前后的因果聯系，說理時，條件一定要“到位”，千萬不要因為題目中有條件，在說理中就可以不寫，如本題中的直角三角形應由條件AC⊥BC、BD⊥AD得到，如果不寫，那么下結論時，就顯得條件不夠充分，從而不具有說服力.

四、角平分線定理

如果題目的條件中給出一個角和它的角平分線，在其平分線上任取一點，并過該點作兩邊的垂線段，結合隱含條件（公共邊），可通過“角角邊”的判定方法判定兩個三角形全等，得出角平分線定理：“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”.

例4 如圖6，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D4.

【分析】當PQ⊥OM時PQ最小，結合角平分線定理可知：PQ=PA=2.

【點評】角平分線定理實際上就是由三角形全等得到的一個結論，掌握定理的關鍵是抓住角平分線和距離（垂直）.在說理時，要盡量做到條件充分、條理清楚，切不可直接由角平分線就得出結論，一定要由角平分線和兩個垂直得到結論.

同學們在本章內容的學習過程中要做好以下幾點：（1）在表達兩個三角形全等時，要注意對應頂點應寫在對應的位置上；（2）在運用全等三角形的性質時，要理解全等三角形的對應邊相等，對應角相等；（3）在運用全等三角形的判定進行證明時，要注意分析題中的已知條件和結合圖形及圖形中的隱含條件進行思考；（4）在對兩個三角形下全等的結論時，一定要在條件充分的前提下才能進行；（5）在探索三角形全等的條件時，同學們還要注意兩條性質：①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；②三角形具有穩定性，四邊形具有不穩定性.

學好本章內容，同學們一定要注重經歷探索三角形全等條件的過程，體會分析問題的方法，積累數學活動的經驗，注重有條理地思考和表達，逐步學會說理，使說理做到有理有據，真正理解推理的過程.只有這樣才能真正掌握全等圖形的相關概念，做到理解透徹、運用靈活、證明到位.