現代數學方法與物理學的兩次融合

祖定利

（承德石油高等專科學校 社科與數理部，河北 承德 067000）

數學是產生較早的一門科學，最初的數學經歷了長期的實踐檢驗和豐富發展后才形成今天我們所見到的數學。最初的數學，是人類對自然現象一種經驗性的描述，隨后發展為一個邏輯嚴密的思想體系，而后又在各個方向開枝散葉，形成了龐大的數學體系。在數學不斷發展的過程中，數學的許多特征也表現出來：數學的概念和方法具有很高的抽象性，數學的體系具有極強的邏輯嚴密性。這樣兩個基本的特征決定了數學應用的廣泛性。

1 現代數學方法與物理學的第一次融合

19世紀是數學蓬勃發展的世紀。數學中三個最重要的分支——分析、幾何、代數都有了長足的發展。在幾何學方面，從歐氏幾何過渡到黎曼幾何、再到非黎曼幾何,幾何學的發展并不是沒有原因的,實際上是由于傳統歐氏幾何不能滿足物理學日益發展的需要，進而要求有新的數學工具的產生。幾何學在物理學強烈內在需求的推動下，得到了蓬勃發展，與此同時帶來了物理學上最具影響力之一的愛因斯坦廣義相對論的誕生。

希臘數學家歐幾里得用邏輯方法整理幾何知識，建立起一個比較完整的幾何體系，這個幾何體系被看作嚴格性的典范。這就是我們通常所說的歐氏幾何。它表征的是平直空間，在愛因斯坦狹義相對論中，由于光速恒定，以它為基礎定義的坐標和時間具有均勻和各向同性

的性質，因此狹義相對論所依附的四維時空是一個具有平直性的偽歐是空間。因此歐氏幾何對狹義相對論的貢獻是巨大的，但隨著狹義相對論的發展和更加完善，產生了廣義相對論，然而在有引力場的情況下，光速依賴于坐標，空間的幾何性質發生了變化，不再是平直的了。所以要建立新的引力理論，就需要找到一種新的數學工具。1912年，愛因斯坦在數學家格羅斯曼的幫助下，找到了黎曼幾何，愛因斯坦用黎曼幾何來描述存在引力場的時間和空間寫出了正確的引力場方程，奠定了廣義相對論的理論基礎。愛因斯坦說：“我特別強調剛才所講的這種幾何學的觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論，要是沒有它，下面的考慮就不可能，在相對于一個慣性系統轉動的參考系中，由于洛倫茲收縮剛體的排列定律不符合歐幾里得規則，因此如果我們承認非慣性系也有同等地位，我們就必須放棄歐幾里得幾何。”

這樣以來數學與物理學的關系就更加密切了，盡管數學喜歡純粹并遠離其他科學，但其他科學尤其是物理學卻離不開數學。

總之，事物的發展形式是復雜而多樣的，有的事物的發展具有周期性特點，而有的事物不具有，具有周期性特點的事物的發展服從否定之否定規律，而不具有周期性特點的事物的發展則不遵循這個規律，這表明它并不是普遍適用的。這就要求人們在探討事物發展變化時，從實際出發，對事物的發展作認真、細致的分析，而不要貼標簽，更不要用它來為錯誤的理論辯護。

2 現代數學方法與物理學的第二次融合

現代數學方法中的群論在物理學中的應用也是不可忽視的，眾所周知，我們周圍的世界處在對稱和不對稱的矛盾同一之中，對客觀世界對稱性的研究，能幫助人們更深刻地認識各種物質的運動規律，欣賞客觀世界的自然美。群論是研究系統對稱性的十分有效的數學工具，在群論方法建立之初，伽羅瓦（Galois）就根據代數方程根的置換對稱性證明了五次以上代數方程不能通過有限次加減乘除和開方運算求得方程根的精確解，第一次顯示了群論方法在研究系統對稱性中的巨大潛力。

1890年費德羅夫(Federov)和1891年熊夫利（Schoenflies）相繼用群論方法系統地解決了晶體分類問題，證明了具有周期性排列的規則空間點系共有230種，這是群論在物理中晶體分類問題中的一個杰出貢獻。

20世紀初物理學革命的另一項偉大的成就就是量子理論的建立，這與群論的發展是分不開的。隨著人類對客觀世界的認識逐步深入到微觀領域，物質運動規律呈現出新的特征，實驗和理論研究變得更加困難，量子理論建立后，對稱性的內容更豐富了，更加迫切的需要深入研究微觀系統的對稱性質。用群論的方法研究量子系統的對稱性，可以得到系統的各種定量或定性的重要性質，這些性質直接來自系統的對稱性，與系統的具體細節無關。反之、對這些性質的實驗檢驗，可以鑒別系統是否具有此種對稱性，可以幫助探索系統的基本運動規律，因此、在對微觀世界的深入探索中，近代物理理論和群論理論共同得到了迅速的發展，群論方法已經深入到物理學的各個領域。

數學對物理的作用過去認為，歸結起來是說數學是物理的語言，如廣義相對論中黎曼幾何的作用就是一種語言，但是在量子力學中，數學所起了魔術般的神秘作用，無論如何也不能認為數學只是語言了。翻開量子力學教科書，首先看到的是光的干涉，電子的散射實驗的說明，然后表明光子，電子等的離子狀態可以用波動函數，即屬于某個Hilbert空間的向量來表示并導出若干狀態的波動函數的迭加原理。迭加原理認為，狀態A若是狀態B與C的迭加，則A的波動函數就是B的波動函數與C的波動函數的線性組合，它是量子力學的基本原理。量子力學中首先把復雜至極的物理環境用唯一的波動函數（向量）來表示，從而進行簡單化，數學化的處理，這就是數學藝術美體現。

3 結束語

在當今科學的發展過程中，數學和物理學的關系越來越緊密，尤其體現在19紀末20世紀初相對論和量子理論的建立中，它不僅使人們對物質世界的認識深入到新的層次和領域，發現了宏觀低速領域所不曾發現的物質運動規律，而且揭示了時間、空間、物質、運動之間的有機聯系，揭示了波動性和粒子性、連續性和間斷性、必然性和偶然性之間的辨證關系，結束了機械論自然觀對物理學的長期統治，豐富和發展了辯證唯物主義。[1]

[1]鮑耀三，張純成.簡明自然科學史[M].河南：河南大學出版社，1988.9：260-261.

[2]張奠宙，王善平.陳省身傳[M].南開：南開大學出版社,2004.8.

[3]李浙生.數學科學與辯證法[M].北京：首都師范大學出版社，1995.11：91-102.

[4]MichaelAtiyah.物理對幾何的影響[J].數學譯林,1991,(2)：125-128.

[5]小平邦彥.數學的印象[J].數學譯林,1991，（2）：129-132.