矩陣初等變換的應用

梁萌

(駐馬店高級技工學校，河南 駐馬店 463000)

初等變換法是線性代數中最基本的方法之一。初等變換法是線性代數中最基本的方法。在解決線性問題時具有步驟簡單、運算量小、易于掌握等優點。矩陣的初等變換被普遍用于以下方面:求矩陣的逆矩陣、矩陣的秩以及解線性方程組等。本文闡述了初等變換在多項式理論、向量空間以及二次型等方面的重要應用，將有利于全面理解矩陣初等變換乃至高等代數的思想。

1 矩陣初等變換

矩陣初等變換包括矩陣初等列變換和矩陣初等行變換。［1］

初等列變換是指對于數域F上的矩陣A=(aijm×n)作以下三種類型的變換:(1)交換矩陣的兩列;(2)以非零數k乘以矩陣的某一列;(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上。

同理可定義矩陣初等行變換。

2 矩陣初等變換的應用舉例

2.1 利用初等變換求n個多項式的最大公因式

我們在求多項式的最大公因式時一般采用的是輾轉相除法，而輾轉相除法的實質就是反復利用帶余除法。設f(x)、g (x)為兩個多項式，

f(x)=q(x)g(x)+r(x)，(?(r(x)＜?(g(x)))。

如果引入多項式矩陣

則對其進行初等行變換可化為

由最大公因式的定義，可知矩陣初等行變換并不能改變兩個多項式的最大公因式。因此，我們可以利用矩陣的初等變換來求多項式的最大公因式。

定理1［2］設多項式矩陣

經過初等行變換化為

則d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，且d(x)為f(x)與g(x)的最大公因式。

證明:由于對多項式矩陣實行初等變換不會改變兩個多項式f(x)和g(x)的最大公因式，因此，多項式矩陣

經過初等行變換化為:

d(x)=(d(x)，0)=(f(x)，g(x))。即存在一系列初等矩陣P1(x)，P2(x)，…，P1(x)使得:

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，其中d(x)為f(x)與g(x)的最大公因式。

我們可以將這個結論利用數學歸納法推廣到n個一元多項式的情形。

2.2 初等變換在向量空間中的應用

2.2.1 初等變換求極大無關組

在求一組向量的極大無關組時，我們常用初等變換的方法，

定理3［3］設向量α1，α2，…，αn為m維列向量，矩陣A= (α1，α2，…，αn)經初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，…，βn)，則α1，α2，…，αn的任一部分組αi1，αi2，…，αin與βi1，βi2，…，in的線性關系一致，即同時線性無關(或線性相關)。

證明 (1)若αi1，αi2，…，αin線性相關，則矩陣(αi1，αi2，…，αin)的秩為r。而矩陣A經初等行變換化為矩陣B時，矩陣(αi1，αi2，…，αin)就化為矩陣(βi1，βi2，…，βin)。因為初等變換不改變矩陣的秩，故矩陣(βi1，βi2，…，βin)的秩也是r。從而向量組βi1，βi2，…，βin線性無關。反之亦然。

(2)向量組 αi1，αi2，…，αin線性相關當且僅當矩陣(αi1，αi2，…，αin)的秩小于r，而矩陣(αi1，αi2，…，αin)經初等行變換化為矩陣(βi1，βi2，…，βin)，故矩陣(βi1，βi2，…，βin)的秩也小于r，所以向量組βi1，βi2，…，βin也線性相關。反之亦然。

推論1 若矩陣A=(α1，α2，…，αn)經初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，…，βn)，則向量組βi1，βi2，…，βin是向量組β1，β2，…，βn的極大無關組當且僅當向量組αi1，αi2，…，αin是向量組α1，α2，…，αn的極大無關組。

定理3［4］設α1，α2，…，αn為m維的秩為r的列向量組，不妨設前r個向量就是它的一個極大無關組，則矩陣A=(α1，α2，…，αn)經一系列的初等行變換可化為矩陣

且對任j＞r，αj=b1jα1+b2jα2+…+brjαr。

2.2.2 判斷兩個向量組的等價性

設有兩個向量組A∶α1，α2，…，α5及B∶β1，β2，…，βt。若向量組B中每個向量都能由向量組A線性表出，那么稱向量組B能夠由向量組A線性表出。如果向量組A與向量組B能夠互相線性表出，那么稱這兩組向量等價。

定理4 若向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs均線性無關，則向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs等價當且僅當向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為s。

推論2 若向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs的秩均為r，則這兩個向量組等價的充分必要條件是向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩也為r。

由此可知，對于兩個具體的向量組，我們可以利用初等變換的方法驗證它們是否等價。

2.3 初等變換在二次型中的應用

用非退化的線性替換化二次型為平方和與求對稱的雙線性函數在某基下的矩陣是對角陣屬于同一個問題，它們又都可歸結為這樣一個問題:已知n階矩陣A，求可逆矩陣C，使C' AC為對角陣。而且我們知道在數域P上，任一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣。

令C=P1P2…PS，其中Pi(i=1，2，…，s)為初等矩陣。從而C'=P's…P'2P'1，則

C'AC=P's…P'2P'1AP1P2…PS=D。(D為對角矩陣)

同樣C=EP1P2…PS，C'=P's…P'2P'1E。

值得指出的是，前兩種類型的初等矩陣的轉置矩陣:P'(i，j)=P(i，j);P'(i(c))=P(i(c))，(c≠0)。因此A右乘P(i，j)左乘P'(i，j)，A右乘P(i(c))左乘P'(i(c))表明對A施相同的初等行與初等列變換。至于第三種類型的轉置矩陣:P' (i，j(k))=P(j，i(k))，因此右乘P(i，j(k))表明對A施第j列k被加到第i列的初等變換，而A左乘P'(i，j(k))相當于第i列的k倍加到第j列的變換。

由此得到求對稱矩陣A合同于對角矩陣D的初等變換法:

定理5［5］對任意的二次型f(x1，x2，…，xn)一定存在可逆線性替換X=CY將其化為標準形f(x1，x2，…，xn)=λ1y+λ2y+…+λny，其中λ1，λ2，…，λn是二次型f(x1，x2，…，xn)的矩陣A的n個特征值，即存在可逆矩陣C使

3 結束語

利用矩陣的初等變換可以將高等代數中復雜的問題簡單化，使問題的求解更加方便。

［1］張志讓，劉啟寬.線性代數與空間解析幾何［M］.北京:高等教育出版社，2004.4.

［2］楊純富.矩陣的初等變換在多項式理論中的應用［J］.重慶文理學院學報:自然科學版，2008，27(4):55-57.

［3］吳明芬.初等變換的應用［J］.工科數學，2001，17(3): 93-96.

［4］楊子胥等.高等代數習題解(上冊)［M］.濟南:山東科技出版社，1987.

［5］王長群，趙振云，李夢如.線形代數［M］.北京:高等教育出版社，2001.