具有階段結構自食捕食系統的持久性與穩定性

張 雷 （無錫工藝職業技術學院基礎部，江蘇 宜興214206）

具有階段結構種群動力學模型始終是人們研究的熱點問題之一［1－3］，而自食對種群的結構和動力學行為有著重要的影響［4－5］。為此，筆者討論如下具有階段結構自食捕食系統：

其中，x（t）表示食餌種群密度；y1（t），y2（t）分別表示t時刻幼年、成年捕食者的種群密度；a1（t）表示食餌種群的內稟增長率；a2（t），a3（t）分別表示幼年和成年捕食者的死亡率；bi（t）（i＝1，2，3）分別表示種群密度制約因素；β1（t）表示成年捕食者的生育率；β2（t）表示捕食者幼年到成年的轉化率。

1 系統持久性分析

引理1 R3＋為系統 （1）的正不變集。

定理1 若不等式：

證明 設z（t）＝ （x（t），y1（t），y2（t））為系統 （1）的任意正解，由系統 （1）的第1個方程得：

定義U（t）＝ max｛y1（t），y2（t）｝，沿著系統 （1）的正解計算U（t）的右上導數有：

（1）如果y1（t）≥y2（t），則有：

（2）如果y1（t）＜y2（t），則有：

由系統 （1）的第1個方程得：

定義W（t）＝ min｛y1（t），y2（t）｝，沿著系統 （1）的正解計算W（t）的右下導數有：

（1）如果y1（t）≤y2（t），則當t＞T5時：

（2）如果y1（t）＞y2（t），則當t＞T5時：

故當t＞T8時有由此可知系統 （1）是一致持久的。

2 系統穩定性分析

定義下列函數：

定理2 如果定理1的條件成立，且下列條件滿足：

則系統 （1）是全局穩定的。

沿著系統 （1）的正解計算V（t）的右上導數，得：

兩邊同時在區間［T，t］上積分得：

［1］Bence R J，Nisbet R M．Space－limited recruitment in open systems：the importance of time delays ［J］．Ecology，1989，70：1434－1441．

［2］張樹文，譚德君，劉兵 ．捕食者與食餌均具有階段結構捕食系統的研究 ［J］．生物數學學報，2001，16（2）：162－168．

［3］江志超，曹建濤，程廣濤，等 ．具有階段結構的多時滯SIR模型的穩定性分析 ［J］．數學年刊，2011，32A （1）：97－106．

［4］肖燕妮，陳蘭蓀 ．具有階段結構的競爭系統中的自食的穩定性作用 ［J］．數學物理學報，2002，22（2）：210－216．

［5］戴勇，邢鐵軍，雒志學，等 ．具有3個年齡階段的自食單種群時滯模型的周期解 ［J］．數學的實踐與認識，2011，41（8）：85－91．

［6］Barbalat I．Systems d’equations differential d’oscillations nonlinearies ［J］．Rev Roumaine Math Pures Appl，1959，4 （2）：267－270．