一類求解廣義特征值問題的瀑布型多重網格法

白建軍，胡 曄 （呂梁學院數學系，山西 呂梁033000）

筆者研究滿足Lipschiz條件的常系數連續電磁場Maxwell方程組［1］，即求向量場u滿足：

式中，Ω∈R2為連通多項式域，?Ω表示Ω∈R2的邊界；n表示?Ω的外法向單位向量。通過有限元離散，最終將式 （1）中特征值的計算轉化為求解線性方程組的問題，對于大型矩陣計算問題，筆者以并行保域逆迭代法為光滑子，結合新外推方法提出一類求解廣義特征值的方法。

1 有限元離散

為了離散式 （1），先將區域Ω作三角剖分。根據變分原理［2－5］，由有限元逼近［4］將問題轉化為：

定義：

則式 （2）和式 （3）可導成A X＝λB X形式。其中，A和B都是n×n實矩陣。

2 光滑過程并行保域逆迭代算法 （PDS）

周樹荃［6－7］等提出并行保域逆迭代算法有效避免了漏根、迭代過程的不收斂等缺點，提高了解的精度。

算法1（對稱不定矩陣LDLT分解在標準存儲格式下的并行計算） 由于矩陣A∈Rn×n具有對稱性，利用該算法求單位三角矩陣L＝（lij）和對角方陣D，使A＝LDLT成立。當i＞j時，lij將元素Aij覆蓋；當i＝j時，di將元素Aij覆蓋。

步5 k←k＋1，如果k＞n，停止；如果k≤n，執行步2。

步4 利用Rayleigh商處理近似的特征值，使其盡量精確化

步8 控制迭代，設kk為任意大于零的整數 （一般設置為6）如果k≤kk，執行步2；若不滿足k≤kk，執行以下步驟。

3 瀑布型多重網格法 （NCGMGE）

文獻 ［8］只能對u進行更新，而不能更新λ。而以特征值共軛梯度法［9］為基礎的特征值瀑布型多重網格方法 （NCGMGE）［10］，在循環迭代過程中，能使 （λ，u）中的λ和u同時得到更新。具體算法如下：

end

4 新的瀑布型多重網格算法 （WPECMG）

為了提高運算的收斂速度，文獻 ［11］提出并改進了外推方法，筆者結合新外推方法，以PDS法為光滑子給出求解特征值問題一類新的瀑布型多重網格算法 （WPECMG）。具體算法如下：的精確解

end

根據文獻 ［12］可以得到，在有限元進行離散以后，對于模小的特征值可以得到逼近程度較好的解。

5 數值試驗

考慮模型如 （1）所示，僅考慮二維平面下的方程，求解區域為Ω＝［0，a］×［0，b］，方程組的真解為：

表1 PDS、NCGMGE與WPECMG的數值結果

表2 PDS、NCGMGE與WPECMG的時間結果

［1］Arbenz P，Geus R．Solving Maxwell eigenvalue problems for accelerating cavities ［J］．Phys Review ST Accel Beams，2001 （4）：20－23．

［2］王生楠 ．有限元素法中的變分原理基礎 ［M］．西安：西北工業大學出版社，2005．

［3］林金木 ．有限單元法變分原理與應用 ［M］．長沙：湖南大學出版社，2003．

［4］Hiptmair R．Canonical construction of finite element［J］．Math Comput，1999，68 （5）：1325－1346．

［5］Watanabe K，Igarashi H．Robustness of nested multigrid method for edge－based finite elem－Ent analysis ［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2009，45 （3）：1088－1091．

［6］周樹荃，曾嵐 ．求解廣義特征值問題的并行保域行列式查找法 ［J］．南京航空航天大學學報，1995，27（2）：148－154．

［7］周樹荃，戴華 ．求解對稱帶狀矩陣廣義特征值問題的保域行列式查找法 ［J］．南京航空學院學報，1985，17（4）：23－30．

［8］Chen C M，Hu H T，Xie Z Q，et al．Analsis of extrapolation cascadic multigrid method ［J］．Science in china Series A：mathematics，2008，51 （8）：1349－1360．

［9］劉寒兵 ．一種有效的廣義特征值分析方法 ［J］．固體力學學報，2003，24（4）：419－426．

［10］匡前義，李郴良，李明 ．一種求解廣義特征值的瀑布型多重網格方法 ［J］．云南民族大學學報，2009，18（3）：202－205．

［11］Chen C M，Xie Z Q，Li C L，et al．Study of A New Extrapolation Multigrid Method［J］．湖南師范大學自然科學學報，2007，30（2）：1－5．

［12］Weiss B，Biro O．Edge element multigrid solution of nonlinear magnetostatic problems ［J］．Comple，2001，20 （2）：357－365．