波浪對豎直板的水彈性沖擊

范從軍，孫昭晨，馬小劍，高 哲

（大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，大連116024）

波浪對豎直板的水彈性沖擊

范從軍，孫昭晨，馬小劍，高 哲

（大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，大連116024）

基于線性水波理論，采用模態疊加法和有限差分法研究了受波浪沖擊作用的豎直板的水彈性響應。流體假定為不可壓縮、理想勢流。首先基于模態疊加法給出了二維邊界條件和四周簡支板的運動響應的解析解，與有限差分法求解結果進行對比完全一致，然后運用有限差分法給出了四邊固定彈性板運動響應的數值解，最后分析了厚度、波長對板振動、輻射波高的影響。研究發現在有邊界約束條件下水彈性作用會加劇板的振動。

豎直板；四周邊界；水彈性響應；波浪沖擊

隨著對海洋資源的不斷開發，海岸和近海工程建筑物的安全問題已成為研究的熱點，特別是波浪對海上建筑物的沖擊作用問題。眾所周知，由于波浪在船舶和港口岸壁之間的不停反射使得?？吭诟劭趦鹊拇闹墉h境與開放海域大不相同。豎直墻或者岸邊的存在對于港口內的浮體結構和?？看坝休^大的影響，波浪的反射能夠引起結構的動響應，從而使結構發生疲勞等各種損害。隨著結構向大型化、輕薄化發展，結構水彈性效應將更突出，對豎直板的水彈性研究也將有助于工程上對結構動態響應的預報，避免發生重大事故。

目前國內外對水平板的水彈性研究較多，提出了各種各樣的方法［1-4］，而對于豎直板的研究則甚少。Newman［5］給出了一個描述豎直圓柱振動的正交多項式集，計算了波浪作用下下端固定的懸臂彈性圓柱的振動響應。Sturova［6］基于線性勢流理論，通過傅里葉、拉普拉斯變換，得到了一個與彈簧相連的豎直板在波浪作用下時域內運動方程，豎直板仍然假定為剛性的。Peter和Meylan［7］第一次假定板為彈性，采用加速度勢推導了板和波浪作用的耦合方程，求解該方程能得到各模態的振幅，再利用譜理論得到時域內板的響應。He G. H［8］在2D水域內，運用BEM-FEM方法研究了板在非線性波沖擊作用水彈性響應以及波浪對板變形的響應。分別考慮了板的各項同性和異性，對于耦合方程整體求解。上述文獻都只考慮二維板邊界條件，即把板當做彈性梁，而實際工程中的模型往往需要考慮板四周的邊界條件。

本文將采用勢流理論，在頻域內利用速度勢推導豎直板在波浪沖擊作用下的耦合作用方程，分別用有限差分法和模態疊加法對方程進行求解，對板在不同波浪參數和邊界條件下的振動響應進行系統分析研究，分別考慮水彈性和不考慮水彈性，對兩者結果做一個對比。

1 問題分析

如圖1所示，在均勻水深d中有一塊厚度為t的豎直彈性板，板長度為D，彈性模量為E。假定流體為無粘性，運動無旋、不可壓縮理想流體，滿足勢流理論。入射波為頻率為ω的周期諧波，則速度勢可以寫成分離出時間變量形式分別表示入射勢、反射勢和輻射勢。對于入射勢和反射勢可以表示成

方程解為［9］

由線性理論下伯努利方程得壓力

根據歐拉板理論［10］，板振動方程為

假定在簡諧波作用下板的振動為

把（4）帶入（3）并結合方程（2）可得

2 方程求解

本文將采用有限差分法和模態疊加法分別求解并對兩種結果進行對比驗證，分別考慮二維板和三維板邊界條件，二維板條件下對耦合方程化簡為

2.1 數值解法

采用有限差分法對方程進行離散，離散采用中心差分格式

帶入方程（6）得到二維板邊界下離散方程

對于三維邊界條件，假定橫向和豎向離散距離相等，同樣采用中心差分格式可以得到方程的離散形式如下

對于不同邊界下面給出主要的三種邊界差分格式［10］：

2.2 模態疊加法

二維板邊界條件下

四周簡支板

2.2.1 簡支邊界

對于兩邊簡支邊界

對方程（6）右邊第一項進行正弦級數展開

帶入方程（6），同時利用模態的正交性得

對于四周簡支板

利用上述三角級數展開同樣可以求得

2.2.2 其他邊界

本文只考慮兩個常用的邊界，一個是一端固定，一端自由和兩端都固定。

一端固定，一端自由

兩端固定

把模態（18）帶入方程（5），最后寫成矩陣形式

3 算例結果

由于板振動方程是建立在薄板小撓度振動理論的基礎上，其必須滿足Kirchhoff的假設［13］這要求厚度和長度滿足）。根據數值試驗得到，當彈性模量E為1011數量級或者更大，板的振動為10-4數量級，無需再考慮。取彈性模量E為109∶1010，泊松比μ=0.3，密度比＜10.0為板密度，ρ為水密度，則本文適用范圍。

以實驗室常用的有機玻璃為算例，參數如下：彈性模量E=3.15×109Pa，密度ρ=1.19×103kg/m3，泊松比μ= 0.3，厚度為t=0.01 m，則β=0.029，γ=0.011 9，在上述適用范圍內，板寬D=1.0正方形板，水深為d=1m，入射波長L/D=2，入射波幅H/D=0.2。分別考慮下端固定，上端自由、兩端固定、兩端簡支和四邊簡支4種不同情況。利用有限差分離散時，對二維板劃分30單元，四邊簡支、固定時劃分20×20單元。

從圖2～圖3可以看出，在4種不同邊界條件下有限差分解和解析解吻合的比較好，這也驗證了兩種方法的正確性。同時可以看出邊界約束越多，板撓度就越小，固定邊界的約束作用最大。

圖4～圖5可以看出在不同的邊界下水彈性對板的撓度影響呈現出了截然不同的結果。圖4在上端沒有約束下，水彈性作用十分明顯，較大的變形產生的附加質量和附加阻尼使得上端變形迅速變小。圖5兩端固定，水彈性的作用卻加強了板的振動，這是因為邊界的約束作用，使得能量在板上聚集，造成結構位移響應強烈。從附加阻尼矩陣來看，有邊界約束時，耦合項中出現了和非耦合項同一量級的數值，但符號相反，從而使得變形增大。

圖6～圖7分別表示考慮水彈性和不考慮水彈性下最大撓度變化值、輻射波高值與不考慮水彈性情況下最大撓度、入射波高比值。圖6可以看出，撓度增大的相對值隨著波長的和無量綱剛度和質量的β、γ增大而降低，當L/D≥5.0時，相對值已經接近于零。附加阻尼、質量矩陣隨著波長的變大而變小，所以長波作用下水彈性影響很小。圖7中，輻射波高隨著波長先增大后降低，L/D≈4.0時，達到最大值，同時無量綱剛度和質量β、γ越大，其值也越小。輻射波高與板振幅大小和入射波頻率有關，振幅越大，頻率越大，輻射波高也就越大。當波長較小時，由于振幅增長較快，所以波高增大，當波長超過一定值后，振幅增長緩慢，甚至幾乎不變，但其入射頻率越來越小，使得波高逐漸降低。

4 結論

本文基于線性波浪理論，采用模態疊加法和有限差分給出了頻域內各種邊界條件下板在波浪沖擊作用下的響應。通過對比兩種方法得出的結果一致，驗證了方法的正確性。同時定性的揭示了邊界條件、厚度、波長對板振動和輻射波高的影響。和水平板水彈性作用相比，豎直板的水彈性作用在邊界約束下能夠加劇板的振動。通過數值試驗得出如下的結論：

（1）根據彈性薄板理論并結合數值試驗，本文方法的適用范圍：

（2）因為水彈性作用豎直彈性板的振幅增加和振動所產生的輻射波高隨著無量綱剛度和質量β、γ的增大而降低；

（3）波長越小，振幅增加相對值越大，在短波作用下必須考慮水彈性作用，當L/D≥5.0時，則無需考慮；

（4）輻射波高隨著波長變化有一個極值，即L/D≈4.0時，輻射波高達到最大；

（5）在各種邊界條件下，兩邊簡支邊界在波浪沖擊作用下，產生的輻射波波高和振動加劇最大。

同時通過傅里葉變換可以很方便地把本文解變為時域內解，特別是二維邊界條件下，由于附加阻尼給出了解析的式子，求解十分方便，并不存在求解高頻附加阻尼出現的各種困難。

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［7］Peter M A，Meylan M H.Time-dependent interaction of water waves and a vertical elastic plate［C］//Hang Shoon Choi，Yonghwan Kim.The 23rd International Workshop on Water Waves and Floating Bodies.Keroa：Seoul National University Press，2008.

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［13］徐芝綸.彈性力簡明教程：第二版［M］.北京：高等教育出版社，1989.

Hydroelastic analytic of a vertical elastic plate under wave action

FAN Cong-jun,SUN Zhao-chen,M A Xiao-jian，GAO Zhe
(State Key Laboratory of Coastaland Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Based on the dynamical theories of water waves,hydroelastic analytic of a vertical elastic plate under wave action was presented using mode-expansion method and finite difference method.The fluid was supposed to be incompressible,inviscid and irrotational.Firstly,the analytic solution of response of plate with two dimensional boundary conditions and completely simple support was given by mode-expansion method,and it was fully consistent with the finite difference method result.Then,the response of plate with completely support was computed with finite difference method.Finally,the responsive amplitudes,radiation wave height affected by wavelength and plate thickness were analyzed.The study results show that the vibration of plate with boundary can be aggravated by hydroelastic effect.

vertical elastic plate;surrounded by boundary;hydroelastic response;wave action

TV 139.2；O 242.1

A

1005-8443（2013）05-0380-07

2012-11-12；

2013-01-08

國家自然科學基金（50921001）

范從軍（1988-），男，江蘇省南通人，碩士研究生，主要從事波浪與建筑物的水彈性作用方面的研究。

Biography：FAN Cong-jun（1988-），male，master student.