Bancroft算法用于坐標初值計算

華 慧，田 力，楊 偉，王修益

（1.上海市靜安區房地產測繪中心，上海 200040；2.測繪出版社，北京 100045；3.成都國騰電子集團有限公司，四川成都 610041）

一、前 言

對于地面固定站，測站的近似坐標可以較為精確地獲取，但是對于動態的測站，如高速運動的飛機，一般很難精確地知道每個觀測歷元的近似坐標。獲取近似坐標一般采用迭代的方法，即不采用任何的坐標信息，而是通過反復迭代得到精確的坐標。但是有時候迭代搜索的收斂速度較慢，時間較長，甚至在有些情況下迭代不一定收斂［1］。另外，在采用GPS進行低軌衛星實時定軌中，也對計算速度有更高的要求。在這些要求下快速獲取定位初值有助于數據處理的快速精確進行。針對這種情況，本文介紹Bancroft算法，并將其應用于低軌衛星初軌計算，結果顯示該算法簡單有效。

二、Bancroft算法

考慮誤差因素，對于衛星j，偽距觀測值的無電離層影響線性組合P定義如下［2］

式中，Pj已經對 GPS鐘差進行了改正；xj、yj、zj為第j顆GPS衛星的坐標。定義b=cδ，將式（2）重新寫為

對式（3）平方得到

對式（4）進行整理得到

定義 Lorentz內積為［2］

根據式（6）的定義，將式（5）寫為

式中，rj為GPS衛星的坐標矢量；r為測站的坐標矢量。對于每一顆衛星的偽距觀測值，都能建立以上方程。式中待求參數為坐標矢量r與鐘差參數b，從理論上來講，只要有4顆衛星就能夠求解。定義

則對于4顆衛星的偽距觀測方程寫為

式中，α為4×1的向量，其分量為

將式（13）代入式（9）有

上面介紹的是基于4顆GPS衛星的解，但是實際上大部分情況下觀測到的衛星會多于4顆，設實際觀測到的衛星個數為n，則式（9）中

α為n×1的向量；τ為n×1的向量（每個元素都是1）。此時由于B不是方陣，不能直接求逆。此時將式（9）寫為

按照與式（14）同樣的計算方法，可以得到式（16）中Α的解為

采用上述Bancroft算法，計算量小，而且不需要迭代。但是由于無法知道測站坐標的初值，因而與坐標有關的各種改正（對流層、相對論效應等）無法求得。值得一提的是，不采用這些改正得到的近似坐標即能夠滿足近似坐標的精度要求。如果需要更為精確的近似坐標，可以在求得概略坐標之后，考慮各種改正，再次采用該算法進行計算。此時的迭代比沒有任何信息所進行的迭代，已經減少了很多的計算量。因而采用該算法能夠大大提高計算速度。并且，由于計算過程中不涉及任何矩陣求逆計算，因而該算法不存在發散的問題。

三、衛星初軌計算

CHAMP衛星距離地面幾百千米，其運動速度遠大于地面載體（＞7 km/s），衛星上搭載了GPS接收機，用于動態定位。與地面測站一致，CHAMP衛星的GPS觀測值也提供了標準的RINEX格式文件。為驗證該算法的有效性，本文對CHAMP衛星2004年191的星載GPS觀測數據進行了分析。圖1表示采用Bancroft算法與采用最小二乘解迭代求解得到軌道之間的差值，其中最小二乘解軌道相對參考精密軌道［3］，差值的 RMS 為 1.21 m，該精度與CHAMP衛星偽距觀測量的精度相當。從圖1可以發現，除少數跳躍點外，Bancroft算法與最小二乘解的差別在分米級，這也說明采用Bancroft算法得到的軌道近似值精度已經在偽距定位的精度范圍之內。

圖1 Bancroft算法與最小二乘解的差值注:為便于區分，X方向加了2 m；Z方向減了2 m。

四、結束語

從公式的推導中可以看出，采用Bancroft算法計算簡單，無需迭代，運算量少。從計算中也可以看出，采用偽距觀測量時該算法得到的軌道初值的精度與最小二乘迭代的結果相當。另外，除了應用衛星軌道初值計算外，該算法還可以應用于所有測距定位中的近似坐標計算（如GPS動態定位、傳統測邊網等）。

［1］ 崔書珍，彭軍還，謝勛峰.未知點初始坐標精度對基線解算結果的影響——Bernese和GAMIT解算結果對比［J］.桂林工學院學報，2006，26（2）:218-220.

［2］ TEUNISSEN P J G，KLEUSBERG A.GPS for Geodesy［M］.Berlin，Heiddberg，New York:Springer-Verlag，1998.

［3］ CHEN Junping，WANG Jiexian.Reduced-dynamic Precise Orbit Determination for Low Earth Orbiters Based on Helmert Transformation［J］.Artificial Satellite，2008，42（3）:155-165.