基于最小二乘法計算三分康托集的盒維數

吳艷秋，張天鳳，常艷雪，關立健

（吉林師范大學 數學學院，吉林 四平 136000）

盒維數的應用是很廣泛的，正是因為它的計算相對容易些.盒維數的計算關鍵是求在直徑最大為δ時能夠覆蓋該集的集的最少個數.大致總結共有五種方法：以半徑為δ的能夠覆蓋該集的最少閉球數；和該集相交的δ-網立方體的個數；覆蓋該集的最大直徑δ的集的最少個數；覆蓋該集的邊長為δ的最少立方體數；球心在該集上，半徑為δ的相互不相交的球的最多個數等.最小二乘法要具有合理的數據，建立關系求出函數，更可以求出未知的數，并能使求出的這些數與實際數之間的差值的平方和最小.在盒維數的計算過程中，用不同方法都能快速得到結果.在此基礎上引入最小二乘法去求解三分康托集的盒維數分析誤差.

1 盒維數分析

對三分康托集的盒維數的計算方法利用最小二乘法計算前提是構建數據，以及一些相關內容.

1.1 數據的選取

三分康托集是不斷的去掉三分之一，得到的是由2k個長度都為3-k的區間的交集組成的.用不同的尺寸盒子去覆蓋三分康托集，這樣建立這樣的關系：H1/3(A)=2,H1/32(A)=22,H1/33.選取這樣的點n.即(ln3j,ln2j),j=0,1,2,…,n.這樣選取的坐標可以直觀的看到函數的關系.

1.2 盒維數

最容易構造與理解的三分康托集顯示了分形的特點，三分康托集是不斷的去掉中間三分之一得到的，是無窮集.一方面取直徑δ∈[3-k,3-k+1)，覆蓋三分康托集的直徑和不大于區間的個數，上盒維數不大于ln2/ln3；另一方面δ∈(3-k-1,3-k]，任意取長度為直徑的區間最多相較于三分康托集中的3-k為長度的一個區間，不小于區間數.下盒維數不小于ln2/ln3，則得到的三分康托集的盒維數是ln2/ln3.

2 最小二乘法

運用最小二乘法計算三分康托集的盒維數的數據構造出來了，設為(xi,yi),i=1,2,…,n，得到y=kx+b這樣的一條直線，進而知道的最小值.首先，對k,b分別求偏導，S'k(k,b)=0，S'b(k,b)=0.

用軟件解出k,b的值，直線也可知，斜率k就是所求的盒維數.

3 實例分析

4 結束語

用的最小二乘法是三分康托集被用長度不同的盒子覆蓋基礎上，與直徑指數建立坐標，求其函數關系.所求的斜率就是三分康托集的盒維數.通過與傳統定義方法求三分康托集的盒維數對比，發現不但有誤差而且計算量大，必須用軟件計算.

〔1〕朱華,姬翠翠.分形理論及其應用[M].科學出版社，2011.

〔2〕肯尼思·法爾科內.分形幾何-數學基礎及其應用[M].東北大學出版社，2003.

〔3〕文志英.分形幾何的數學基礎[M].上海：上海科技教育出版社，2005.

〔4〕張立，謝忠玉，陳凱.基于混沌理論的短時交通流局域預測模型[J].黑龍江工程學院學報，2011,25(2):53.

〔5〕李電生，萬培祥，員麗芬.干散貨航運價格指數分形結構研究[J].北京交通大學學報，2012，11(3):54.