高等幾何教學中應注意的問題

馬麗君

（集寧師范學院 數學系，內蒙古 烏蘭察布 012000）

高等幾何教學中應注意的問題

馬麗君

（集寧師范學院 數學系，內蒙古 烏蘭察布 012000）

高等幾何是數學專業的一門必修課，主要是讓學生對圖形的幾何性質有更深入的了解，從而擴大學生的知識領域.高等幾何教學中融合了現代數學的思想和學習方法，內容抽象，豐富.學習高等幾何，有助于提高學生對于幾何學的認識，有助于提高學生的空間想象能力，對培養學生思考問題的方式有很大的作用.然而高等幾何的內容比較抽象，有很強的邏輯性，解題也有很強的技巧性，使學生理解起來比較困難.本文主要對高等幾何教學中的注意事項進行闡述，旨在提高高等幾何的教學水平.

高等幾何；教學；現狀

高等幾何是在學生學習了初級幾何、解析幾何、高等數學的基礎上開設的課程.高等幾何是在克萊因的觀點上進行定義的，它是以變換群的思想為指導思想，通過一些重要的定理，對平面射影幾何的相關知識進行講解，對射影幾何、歐式幾何、解析幾何、橢圓幾何等多種幾何學的相關知識進行了內在的聯系.克萊因的變換群認為，每一個幾何學都有一個變換群與之對應，而幾何學研究的就是圖形在對應的變換群中保持不變的圖形的性質和不變量.從功能上進行理解，高等幾何是在高層面上對幾何空間的特征、研究方法、內在聯系的深入認識和研究，以便于進一步掌握幾何學的本質特征，使學生能夠更好的應用幾何學的知識.高等幾何自身的特點決定了用高等幾何解析幾何學中的難題變得更加普遍.

1 高等幾何教學的現狀

高等幾何是利用變換群的觀點將仿射幾何學、射影幾何學、歐式幾何學、非歐幾何學等幾個幾何學的分支統一起來，包含著重要的數學思想，是學習幾何和數學的重要的基礎，它能夠豐富學生的思維邏輯能力和空間想象力，高等幾何對提高學生的數學素質具有至關重要的作用.然而，由于高等幾何的抽象，學生認為它知識面廣，內容抽象，使學生難以理解.而教師認為高等幾何中的內容抽象，在授課的過程中很難為學生進行描述，另外，高等幾何在高校教學中的計劃課時很少，使教師的教學計劃也受到了一定程度的制約，難以達到教學任務.由于部分高校對高等幾何在整個數學專業課中的作用認識不足，導致高校對高等幾何的教學缺乏有效的改革方式，從而教師教授高等幾何缺乏動力，使學生對高等幾何缺乏足夠的興趣，而高等幾何這門課程大多被安排在大四，這段時間學生往往忙于工作，無暇重視高等幾何的學習.同時，多數教師往往重視教學研究，在教學方法上只是采用“滿堂灌”的形式，一味的傳授理論知識，而不忽略了對學生的引導，這些都會影響高等幾何教學質量的提高，影響高等幾何在現階段的進一步發展.

2 高等幾何教學中應注意的事項

針對當前高等幾何教學的現狀，以現代科技發展的趨勢，以高等幾何課程的特點，以高等教師對學生的認知情況，總結了高等幾何教學中應注意的事項，現闡述如下：

2.1 明確教學目的

在高等幾何課程開課初期，教師要讓學生了解幾何學的發展歷史，激發學生對于幾何學的興趣，同時教師向學生介紹高等幾何的作用及學習高等幾何的目的和要求.“興趣是最好的老師”，引起學生的興趣是讓學生主動走近高等幾何的第一步，也是關鍵的一步.這一階段主要是向學生介紹高等幾何內容的豐富性和應用的廣泛性，讓學生初步理解高等幾何所涉及內容的大概范圍，了解到初等幾何與高等幾何的區別和聯系，初步認識仿射幾何學、射影幾何學，了解射影幾何學產生和發展的過程，和與現實世界的聯系方式，從而讓學生從思想上認識到射影幾何在幾何發展中的作用和意義.通過教師對高等幾何的初步介紹，讓學生對高等幾何建立良好的印象，從而愿意接受高等幾何，為教師進一步教學奠定基礎.

高等幾何能夠使學生居高臨下的看待初等幾何的內容，對整個幾何學的應用有很大的幫助作用，教師要明確教學的目的，經常引導學生，使學生重視學習的目的和要求，在激發學生興趣的同時，也可以提高學生對于學習高等幾何的積極性和自覺性.

2.2 注重概念教學

高等幾何是以變換群和公理化的方法討論了幾何體系的總體性質與結構，它包含了大量的現代數學思想，大量的公理和定理等內容.學生深入理解并掌握高等幾何中涉及到的公理、定理等概念問題，才能夠更好的去運用它們.如果對概念認識不清，就可能沒有辦法進行正確的判斷和推理，不能正確的解決問題.但在實際教學過程中，教師往往不夠重視概念的教學，只是對概念一帶而過，讓學生記住，而不進行深入的解釋，導致了學生對概念不夠重視，理解也不全面.因此教師在授課的過程中，應該注意對概念來源、內容、用途的解釋，讓學生理解概念更容易.概念是從具有某些共性的事物中進行抽象的結果，對概念的解釋要遵循從特殊到一般，從具體到抽象的過程.教師在授課過程中，要對概念的內容、關鍵字、使用概念時的注意事項等進行強調，并對概念進行一定的拓展和延伸，加深學生對概念的理解和認識.

高等幾何中對中心投影、仿射不變性、度量不變形、二次曲線的射影性質、射影不變量等內容都進行了分析和研究，可以讓學生深入理解幾何學的內容.在高等幾何的學習中，“透視仿射對應”是一個重要的概念，教師在介紹概念之前，可以先用生活中的例子來引導學生，從所列的例子中總結它的共性，并將透視對應的概念進行抽象，從而使學生更加透徹的理解“透視仿射對應”的概念.在透視對應的應用中，有限個透視對應鏈就可以構成一個射影對應，而利用“透視仿射對應”對完全四點形的調和性質定理、巴斯加定理、巴布士構圖方法等進行了證明，同時利用透視也說明了三種特殊射影變換的正確性，揭示了雙曲射影變換的性質等.因此，在高等幾何的學習中，學生對概念進行深入理解對于提高學生的數學思維有很大的幫助，而教師在授課過程中更應該注重概念教學方法，旨在提高高等幾何的授課質量，從而提高學生的數學素質.

2.3 加強重點難點教學

高等幾何中涉及的內容范圍廣，且抽象，有很多的重點難點問題，而學生在理解重點難點問題時就很困難，如果教師對這些問題處理不當，就容易引起學生厭煩的心理，對學生掌握相關知識很不利.因此，教師在講解重點難點問題時，要透徹的分析，并反復強調，讓學生接受起來更容易，并能夠牢記.在克萊因變換群的觀點來理解幾何學，高等幾何研究的是從變換的角度研究圖形的不變性和不變量，并且高等幾何用變換群的觀點把不同的幾何學進行了統一.而從群論的角度來定義幾何學，對幾何學的發展有很大的推動作用.它將幾何學的系統知識與幾何中的圖形分開來理解，并且得到了對立事物的統一性質.我們知道，非歐幾何是仿射幾何學的一部分，仿射幾何學是射影幾何學的一部分，因此，射影幾何就是學習的重點，對于初等幾何的認識有很大的幫助.同時，高等幾何中的許多內容都是從克萊因變換群的角度進行理解的，而克萊因變換群本身就是高等幾何中的重點難點問題.在實際教學中，教師可以對仿射幾何、歐式幾何的基本內容作簡要的介紹，重點介紹仿射幾何、歐式幾何、射影幾何和它們相應的變換群以及它們之間的聯系.明白了這些問題，仿射幾何、歐式幾何中基本的概念的相關性質就很容易理解了.另外，高等幾何中的重點難點問題不是教師講一遍，學生就可以理解的，教師應該利用仿射幾何、歐式幾何的性質來引導和啟發學生，在授課過程中反復的利用基礎知識將重點難點問題進行強化，加深學生的印象，在多次的引導下，更易于學生對于這些問題的理解，從而提高高等幾何的教學質量.

2.4 化抽象式教學為具體式教學

高等幾何中涉及的內容比較抽象，不易于學生的理解.教師要結合課程的特點，將高等幾何涉及到的知識進行簡化，使學生理解起來更加清晰.教師在授課的過程中要隨時總結，將學生難以理解的知識點進行總結，然后將抽象化的知識進行處理，使知識點以更加直觀的形式呈現在學生的面前.我們知道，高等幾何的知識是初等幾何知識的延伸，高等幾何為初等幾何提高了理論依據.而高等幾何很抽象，初等幾何很直觀，結合兩者的特點及聯系，高等幾何的知識可以從初等幾何的角度進行初步理解，從而讓學生理解起來更加的方便.例如在學習高等幾何中的定理：完全四點形的一對對邊被過此二邊交點的對邊三點形的兩邊調和分離.學生在初接觸這個定理時很難理解，不明白它要表示的是什么.因此，教師就要發揮自身的作用，教學生換一種形式去理解，即經過對邊點X有一個調和直線組，其中一個對是過X的對邊a、b，另一對為過X的對邊三點形的兩邊c、d，另兩個對邊點也做類似的處理，這樣就將抽象的問題變為了具體式的教學，使學生理解起來更加的輕松.

2.5 重視習題課教學

學生在課堂上掌握了高等幾何的基本內容，對于較復雜的問題，學生往往是在課堂上聽得懂，課后做題就很困難，這說明了學生還沒有真正掌握高等幾何的概念，不能很好的進行應用.要解決這個問題，在習題課教學中教師首先要注意選取典型的例題.好的例題往往更容易啟發學生的思維，更容易培養學生自主運用的能力，更容易讓學生記住.習題課的內容主要將本課程的重點、難道進行答疑，并將學生具有共性的問題進行分析，因此，對于習題課上例題的選擇很重要.在選題的過程中要注意例題的代表性、典型性、針對性.并注意選取“一題多解”的例題進行訓練，讓學生從不同的角度對題目進行分析、理解、掌握，從而真正的掌握到同一類題目的解題技巧.如在處理共點、共線、共圓的問題時，可以從平面幾何、解析幾何、高等幾何等多種角度進行理解.類似這樣的例題還有很多種類型，它們能夠發散學生的思維，使學生能夠舉一反三，從而加深學生對高等幾何的理解.

高等幾何中的證明題的難度相對比較大，必須能夠靈活的運用所學的知識，才能將其進行論證.通過習題課上的講解，教師要教給學生解決問題的技巧，以便提高學生的解題能力.比如采用綜合法的解題思路，即從高等幾何的定義、公理、定理的角度進行考慮，經過嚴密的邏輯推理來驗證命題的正確性.這樣方法是從原因來導出結果的過程.在證明的過程中也可以利用分析法，即建立射影坐標系，設立點的坐標和曲線方程，將幾何問題轉化為代數問題，從而方便學生的得出結論.

3 結語

高等幾何有助于提高學生的空間想象能力和邏輯推理能力，培養學生的抽象思維，為學生學習其他數學科目奠定基礎.在高等幾何的教學中，教師要明確教學目的，注重概念教學和習題課教學，加強對重點難點問題的教學，同時通過一定的努力，將抽象化的教學轉變為具體式的教學，提高學生對于高等幾何的理解.總之，教師需要不斷的加強理論知識的學習，掌握各個知識點之間的聯系，研究學生易于接受的教學方法，充分調動學生學習高等幾何的積極性，這樣才能更好的提高高等幾何的教學質量，促進高等幾何教學的進一步發展.

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