基于信息熵生產線模糊順序矩陣不確定性評價

夏春燕，樊樹海

(南京工業大學工業工程系，江蘇南京210009)

運用順序矩陣對車間作業進行分析，從而有助于車間布置。在現實的生產線生產中，工序的先后順序存在著不確定性，各工序間的物料流向也存在不確定性。因此要在保證生產順利進行的前提下，評估生產線的不確定性，從而提高了作業員及設備工裝的工作效率，降低成本。

1 模糊順序矩陣

順序矩陣是以矩陣的形式來表示作業之間的先后順序的約束關系。在圖1所示的作業先后順序圖中，作業1是作業2、3的直接先行作業，是作業4、5、6、7和8的間接先行作業;作業5是作業7的直接先行作業。

常規的順序矩陣［1-2］由0和1組成，行和列的標號都表示作業號。如果作業i是作業j的直接先行作業，則在矩陣里 (i，j)處填1，否則填0。例如圖1的作業順序圖，可以用矩陣A1(圖2(a))來表示。另一種順序矩陣中，只要作業i是作業j的先行作業，就在矩陣里 (i，j)處填1，用該種方法產生的順序矩陣［3-6］，如矩陣A2(圖2(b))。

圖1 作業先后順序圖

圖2 順序矩陣的兩種形式

以上兩種形式的順序矩陣都是上三角矩陣，表示生產是按順序進行的。但實際生產過程中并不是所有的工序都存在嚴格的先后約束關系。例如，圖1中工序1表示下料，工序2表示卷圓，工序3表示鉆孔，工序5表示焊接。工序1(下料)必須在工序2(卷圓)之前，這樣的約束關系不能改變;工序3(鉆孔)和工序5(焊接)工藝上并不要求存在先后約束關系，先焊接再鉆孔或者先鉆孔再焊接都不會影響產品的質量。而工序3和工序5的加工時間不是一樣的，有時可能會為了生產線的均勻化，可能會先進行工序5再進行工序3，同時還會影響到其他工序間的物流，因此增加新物流路線1→5→3→7。新的多物流路線作業順序圖就可以用圖3表示。圖3相對應的順序矩陣就不是只含有0和1，可能存在小數，此時就需要引入模糊順序矩陣來表示這樣的多物流路線作業順序圖。

圖3 多物流路線作業順序圖

模糊順序矩陣是以矩陣的形式表示作業工序之間所發生的物流關系，其中每一個單元格的值表示工序之間發生物流關系的概率。例如，圖3中1→5的概率為0.3，則對應的模糊順序矩陣為:

矩陣中每行的和都是整數，而且等于原作業順序圖中直接后繼的工序的個數，如矩陣A中第一行的和為2，圖3中工序1的直接后繼工序的個數為2，兩者相等。

2 基于信息熵的生產線不確定性評價

信息熵是Shannon在1948年基于熵的概念引入信息論中的［6］，解決了信息量化的問題。它表示一個概率分布的不確定性。在一定的約束條件下，選擇具有最大不確定性的分布。在物理系統中，熵是表征系統運動混亂程度或系統狀態數量豐富程度的物理量，而在信息論中熵又能描述系統的不確定性和復雜程度。把制造系統視為復雜開放系統，按照信息論對熵的定義，設離散型隨機變量X，具有n種可能的取值(x1，x2，x3，…，xn)，且各值的概率分別為 (p1，p2，p3，…，pn)，則X的熵定義為［7-9］:

當n=2時，則有

其中:0≤p1≤1，當p1=0或1時，E(x)=0。

在分析生產線過程中，可以將生產線看作一個系統。系統的不確定程度影響著工作效率以及現場布局，所以需要對這種不確定程度進行評價分析。運用信息熵的理論來分析生產線的不確定性，具體步驟如下:

步驟1，寫出多物流路線作業順序圖。

步驟2，寫出模糊順序矩陣。按照第1節的方法寫出模糊順序矩陣，用模糊順序矩陣表示系統狀態。

步驟3，模糊矩陣信息熵處理。首先對模糊順序矩陣的每個元素進行熵處理:

其中:1≤i，j≤n;0≤aij≤1，當 aij=0或1時，Eij=0。

當Aij=0或1時，Eij=0，表示狀態確定;而當0＜Aij＜1時，Eij＞0，表示狀態存在不確定性。得到所有的Eij，也就形成了信息熵矩陣E。信息熵矩陣的非零元素表示生產線上對應的工序間的物流存在不確定性。

步驟4，計算不確定性指數。設信息熵矩陣中行和列的個數均為n。不確定性指數的計算公式為:

通過取平均值得到的不確定性指數，是整個生產線的不確定性，而不是某兩個工序之間物流的不確定性。而且e的值越大說明該生產線的不確定程度最大，生產系統越混亂。

3 不確定性指數在現實生產中應用

某公司生產線生產一種產品，根據工序先后約束條件，繪制生產線各工序的作業先后順序圖，如圖1所示。各道工序由帶數字結點代替。

(1)寫出多物流路線作業順序圖

由于工序3和工序5，工序2和工序4，工藝上并不要求存在先后約束關系，產生了新的物流路線: 1→5→3→7，1→4→2→6，1→4→2→7，得到多物流路線作業順序圖如圖4所示。

圖4 多物流路線作業順序圖

(2)寫出模糊順序矩陣

根據現場的統計得工序1到工序2，工序3，工序4和工序5之間發生物流關系的概率分別為0.8，0.7，0.2，0.3;2工序到工序4和工序6之間發生物流關系的概率分別為0.8，0.2;工序3到工序5和工序7之間發生物流關系的概率分別為0.7，0.3;工序4到工序2和工序6之間發生物流關系的概率分別為0.2，0.8;工序5到工序3和工序7之間發生物流關系的概率分別為0.3，0.7，工序6和工序7到工序8之間發生物流關系是確定的，用1表示。根據上述物流關系的概率寫出模糊順序矩陣:

(3)模糊矩陣信息熵處理

利用Eij=-(aijlogaij+(1-aij)log(1-aij))對模糊順序矩陣A的每個元素進行信息熵處理:

如E12=-(0.8×log0.8+0.2×log0.2)=0.22，依此類推，計算得信息熵矩陣E。

(4)計算不確定性指數

不確定性指數e為:

4 自動化實現

對模糊順序矩陣信息熵的處理可借助計算機通過公式方式自動計算實現，如使用函數fx=-［C2* Log(C2)-(1-C2)*Log(1-C2)］計算，如圖5所示。

圖5 信息熵處理自動化實現

5 結論

順序矩陣以矩陣的形式來表示作業之間的先后順序的約束關系。然而在現實的生產過程中某些工序間的先后關系并不是確定的，調整順序并不會影響產品生產或質量。文中在現有的順序矩陣理論的基礎上加以改進，定義了模糊順序矩陣來表示生產線工序間存在的物流關系，其中每一個單元格的值表示工序之間發生物流關系的概率。運用信息熵的理論對工序間的物流不確定程度進行評價，提出了評價生產線不確定性的一般步驟，從而得出生產系統的不確定性指數。該評價方法有利于提高作業員及設備工裝的工作效率，降低生產成本。

【1】伊俊敏，鮑新平，馬新建，等.物流工程［M］.北京:電子工業出版社，2005.

【2】齊二石.物流工程［M］.北京:中國科技出版社，2001.

【3】KOURELIS P，CHIANG W C.A Survey of Layout Issues in Flexible Manufacturing System［J］.International Journal of Manufacturing System，1992，20(3):375-390.

【4】樊樹海，肖田元，喬桂秀，等.大規模定制生產線的動態網絡構造與仿真［J］.系統仿真學報，2004，38(1):1-4.

【5】樊樹海，陳金龍，曹霞，等.順序矩陣擴展研究及其在流水車間布置中的應用［J］，工業工程與管理，2008，13 (6):51-54.

【6】王進，樊樹海，陳金龍.面向混流生產線車間布置的順序矩陣方法研究［J］.工業工程，2010，3(13):71-74.

【7】SHANNON C E.A Mathematical Theory of Communication［J］.Bell System Technical Journal，1948(27):379-423，623-656.

【8】饒運清，Efstathiou J.基于信息熵的制造系統復雜性測度及其在調度中的應用［J］.機械工程學報，2006，42 (7):8-13.

【9】汪澤焱，益曉新.基于基點和熵的系統評價指標賦權法［J］.解放軍理工大學學報，2002，3(3):91-95.

【10】張志峰.離散制造企業生產物流的熵模型評價及其應用［D］.武漢:華中科技大學，2008.