正弦振動的數學描述與試驗技術

肖榮軍，陳貴如

（1.中國科學院半導體研究所元器件檢測中心，北京 100083 2.北京市新能源汽車發展促進中心，北京 100101）

引言

正弦振動是運動量隨時間按正弦(或余弦)函數變化的振動，常在電工電子產品和艦船、飛行器、各類車輛等存在旋轉、脈動、振蕩現象的裝置上出現。

正弦振動試驗就是在試驗室模擬電工電子產品和艦船、飛行器、各類車輛等系統在運輸、貯存、使用中所經受的振動，并考核其適應環境的能力。

正弦振動試驗有定頻和掃頻兩種試驗類型，掃頻試驗又有線性和對數兩種掃描頻率方式。

1 正弦振動的數學描述

振動是物體圍繞平衡位置進行往復運動，通常以振動體的一些參數(如位移、速度、加速度)隨時間變化的函數來表征振動的時間歷程。我們可以將振動看作是一個質點或物體對于一個基準位置的運動。振動的時間歷程分為非周期振動和周期振動。非周期振動在圖形上不重復，不能用簡單的函數關系來描述。周期振動是經過一定的時間間隔后仍精確地重復的運動，可以用振動位移x(t)為時間t的函數關系表示

周期振動的最簡單形式是簡諧振動，其時間歷程是正弦或余弦曲線，環境試驗中一般用正弦曲線來描述。

1.1 正弦振動可用下述函數描述

式中ω=2πf 為角頻率(f-振動頻率)

X —位移，D —最大位移(即單振幅位移，簡稱振幅,單位mm)，t —時間，φ —初相角。

為方便計算，對振動試驗可取φ=0，則

運動質點的速度是位移對時間的變化率，即速度是位移函數(4)的導數

當sin(ωt +)=1時，V取峰值

Vp=ωD(mm/s)=2πfD×10-3(m/s)

加速度是速度對時間的變化率，所以加速度是速度函數的導數

當sin(ωt +π)=1時，A有峰值

其矢量表示法如圖1所示：矢量D以等角速度作逆時針旋轉，其在縱軸上的投影表示質點的運動。振動位移、速度、加速度的振動頻率均為f=，周期為T=。速度矢量超前位移，加速度矢量超前速度矢量。

1.2 振動幅值描述量及其相互關系

根據需要，振動幅值具有不同的描述量，其相互關系如圖2及表1。

2 正弦振動試驗技術

做正弦振動試驗除了要掌握設備的操作技術外，還應當掌握有關振動的理論知識，必要時還要進行參數計算。

2.1 首先根據下式計算振動臺的推力能否達到試驗要求

式中：F—推力(激振力)(N)

m1—振動臺運動部分有效質量(kg)

m2—輔助臺面質量(kg)

m3—試件質量(kg)

m4—夾具、安裝螺釘質量(kg)

A— 試驗加速度(m/s2)

例 如：當m1=5kg，m2=10kg，m3=35 kg，m4=50kg，A=49 m/s2時，F=4900N。

根據經驗F應略偏高，需乘系數1.2，則 F應=1.2F=1.2×4900N=5880N。所以當設備推力大于等于5880N時，可以試驗。

2.2 驗證速度和位移是否滿足要求

用公式V=A/2πf或者公式 V=2πfD ×10-3驗證速度是否小于等于振動臺的額定速度。例如：

V = A/2πf = 196/2×3.14×80.8≈0.39 m/s

圖1 簡諧振動的矢量表示法[2]

圖2 振動幅值描述量

表1 振動幅值描述量的相互關系

如果速度小于等于振動臺的額定速度，則可以試驗。

2.3 定振級掃頻試驗平滑交越點頻率

交越頻率是振動試驗中一種振動特性量變為另一種振動特性量時的頻率，該頻率點稱為交越點。在交越點兩種振動特性量值都能得到滿足，故稱為平滑交越點，該點的頻率稱為平滑交越頻率。

正弦振動試驗可以規定一個交越點，也可以規定多個交越點。對只有一個交越點的試驗，通常在交越點以下位移恒定，加速度成正比例變化，因為低頻時對產品影響的主要是位移量；在交越點以上加速度恒定，位移成反比例變化，因此在高頻段位移量變得很小，加速度幅值相對較大，根據加速度正比于作用力的原理，此時，對產品影響的主要是加速度量。對有多個交越點的試驗，可以定位移—定加速度—定位移—定加速度等，也可以定位移—定速度—定加速度等。

平滑交越頻率是重要的試驗參數，在試驗時非常重要，有時需要計算才能得到。

2.3.1 加速度與速度平滑交越點頻率(Hz)的計算公式

2.3.2 速度與位移平滑交越點頻率的計算公式

2.3.3 加速度與位移平滑交越點頻率的計算公式

公式(11)亦可簡化為：

公式(11)是上述3個公式中最重要的，實踐中經常用到，例如：GJB 548B-2005 規定器件作等幅簡諧振動“振幅兩倍幅值為1.52mm±0.15mm”，“峰值加速度按試驗條件A、B或C的規定(20%,0)m/s2,在交越頻率以下，試驗條件應由振幅大小控制，在交越頻率以上試驗條件應由峰值加速度控制。”[3]

該標準給出了兩倍振幅、峰值加速度，但未給出交越頻率，需要計算，以條件A為例：

同理可求另外兩個條件的交越頻率。結果如表2。

加速度幅值20g的試驗曲線圖如圖3。圖中橫坐標頻率由10Hz到2000Hz，縱坐標為加速度（g），拐點即交越點（0.76mm，20g ，80.8Hz）。

2.4 掃描時間和掃描速率的確定

2.4.1 線性掃描：

式中：S1—掃描時間(s或min)

fH-fL—掃描寬帶，其中fH為上限頻率，fL為下限頻率(Hz)

V0—掃描速率(Hz/min或Hz/s)

2.4.2 對數掃頻

2.4.2 .1 倍頻程

頻率比為2n的兩個頻率之間的頻段稱為n個倍頻程，即fH/ fL=2n[4]，該式兩邊取以2為底的對數：log2fH/fL= log22n=n，則

式中： n—倍頻程(oct)

fH—上限頻率(Hz)

fL—下限頻率(Hz)

例如：GJB 360-2009 中4.4 規定在10Hz～55Hz～10Hz范圍內連續來回定位移掃頻，“對數掃頻：掃頻速率為1oct/min。[5]”就需要計算倍頻程從而決定掃頻時間。

所以，來回掃頻一次需要2×2.5= 5min。

值得關切的是，正弦對數掃描指相同時間掃過的頻率倍頻程數是相同的，n就是下限頻率到上限頻率經過了n個倍頻程。例如從10～40Hz是兩個倍頻程，從100～400Hz也是2個倍頻程，在對數掃描的情況下，掃過這兩段的時間是相同的，就是說對數掃描低頻掃得慢而高頻掃得快。其結果是雖然在高頻段振動頻率較高，但在每個頻率點上的掃描停留時間較短[6]，而在低頻段情況則正好相反。

表2 三種試驗條件下的峰值加速度和交越頻率

圖3 GJB 548B-2005 試驗條件A 試驗曲線圖

2.4.2 .2 掃描速率與掃描時間的換算

式中：R—掃描速率(oct/min或)

fH—上限頻率(Hz)

fL—下限頻率(Hz)

T—掃描時間

n—倍頻程(oct)

由(15)式可得

3 結語

正弦振動特別是正弦掃頻振動是環境試驗常用的試驗方法，在國標、國軍標和有關行業標準都有規定，但是這些標準并沒有將試驗所需的參數值全部給出，如上文中的GJB 548B-2005就沒有給出交越頻率和單峰位移，需要試驗人員進行計算才能得到。實踐中，常出現試驗人員不知道計算交越頻率的情況，沒有遵循在低頻段定位移，高頻段定加速度的試驗規則，從而不能進行正常試驗，或者使樣品經受過于嚴酷的試驗條件，造成不必要的損失。本文通過對正弦振動的系統闡述，從數學描述中推導出參數的計算公式，并且列舉了計算與試驗實例，可以為檢測人員提供指導，正確完成試驗。

[1]邱景湖，鐘瓊華. 振動臺與振動試驗介紹[EB/OL].: http://www.KeKaoXing.com，2004-12.

[2]刑天虎. 力學環境試驗技術[M]，西安：西北工業大學出版社，2003：29

[3]GJB 548B-2005. 微電子器件試驗方法和程序[S].

[4]胡志強，法慶衍，洪寶林. 隨機振動試驗應用技術[M]. 北京：中國計量出版社，2003：174

[5]GJB 360B-2009. 電子及電氣元件試驗方法[S].

[6]陳福利. 正弦掃頻振動試驗方法的初步探討[J]. 光電對抗與無源干擾，2001,（4）：51