非均勻分段壓裂水平井產能計算

鄭松青

（中國石化石油勘探開發研究院，北京 100083）

非均勻分段壓裂水平井產能計算

鄭松青

（中國石化石油勘探開發研究院，北京 100083）

為考慮非均勻分布裂縫對水平井產能的影響，在保角變換的基礎上，引入局部坐標系，建立非均勻分段壓裂水平井的產能計算模型，考慮裂縫不同長度、不同間距、同水平井呈一定夾角及裂縫間的相互干擾對產能的影響，對紅河地區3口分段壓裂水平井產能進行計算，并同郎兆新等建立的模型進行對比，結果顯示模型具有更小的誤差，但對輸入參數要求更高．

保角變換；局部坐標系；多段壓裂；水平井產能

0 引言

水平井分段壓裂是低滲致密油氣藏、頁巖油氣藏、稠油油藏等復雜油氣藏高效開發的主要技術手段之一［1—3］．產能計算是水平井分段壓裂優化設計的基礎．壓裂水平井產能計算方法有兩類，一是數值模擬方法［4—6］，二是解析、半解析方法［7—19］．在數值模擬方法中，早期一般對裂縫做等效處理［5］，隨著PEBI網格的引入，在一定程度上提高裂縫描述和模擬的精度［6］．解析、半解析方法也可分兩類，一是非穩態模型［7—9］，二是穩態模型［10—19］．同非穩態模型相比，穩態模型計算簡單，應用方便，因而得到更多關注．Norris S O［10］、Rajagopal R［11］、Hegre T M［12］、Guo Boyun［13—14］等通過不同的方式建立計算模型．郎兆新［15］、范子菲［16］、丁一萍［17—18］等也建立一系列模型．其中郎兆新應用位勢理論和疊加原理建立的計算模型得到廣泛應用．在該模型中，假設裂縫為垂直裂縫、等間距分布、高度等于儲層的厚度，且產量相等．寧正福等［19］在此基礎上進行改進，考慮裂縫間的相互干擾，但仍然假設裂縫同井筒垂直、等間距分布．受儲層條件和工藝水平的影響，這些假設過于理想化．

筆者在保角變換的基礎上，引入局部坐標系，建立考慮裂縫非均勻分布的水平井產能計算模型．

1 單條裂縫在平面上的勢分布

單條裂縫的勢分布函數是分段壓裂水平井產能計算的基礎．對于有限長度裂縫的勢分布函數，郎兆新等并未給出推導過程［15］，程林松利用保角變換研究勢的分布函數，但在后續推導中，將橢圓等勢線簡化為圓形等勢線［20］．文中采用保角變換，重新對其進行推導．假設一條裂縫長度為2L，壓開整個儲層，忽略裂縫內部的壓力損失，將三維流動簡化為二維流動．裂縫在Z平面坐標系中的位置見圖1．

采用保角變換的方法研究其勢分布，取變換函數，即

式中：z＝x+i y，Z為平面上一點；x＝u+i v；W為平面上一點．

通過保角變換，將Z平面上半平面變換為W 平面上帶寬為π的右邊無限大平面，將Z平面下半平面變換為W 平面上帶寬為π的左邊無限大平面，將長度為2L的裂縫變換為寬度為π的排液坑道．于是，Z平面上向裂縫的流動經過變換變成W 平面上的坑道流（見圖2，Φ為勢分布）．坑道流勢分布簡單，可據此解決裂縫流動的問題．

圖1 裂縫分布示意Fig．1 Diagram of a fracture in Z plane

圖2 裂縫流動保角變換示意Fig．2 Diagram of conformal transformation

根據雙曲函數的性質，對式（1）實部和虛部分離后，可得

根據式（2），可得u同x，y的關系為

如果裂縫的產量為q，儲層厚度為h，對于W 平面上的坑道流，勢的分布函數Ф為

將式（3）代入式（4），可得單條裂縫在Z平面上勢的分布為

式中：（x，y），（u，v）分別為Z平面和W平面上點的坐標；C為常數．

式（5）勢函數假設裂縫中點在坐標原點，裂縫位于x軸．如果裂縫的中點在（x0，y0），且同y軸夾角為θ，就不能直接使用式（5）．為解決這個問題，引入局部坐標系（見圖3），在局部坐標系下變量為（x′，y′）滿足式，根據全局坐標系同局部坐標系的關系，可得平面上任一條裂縫的勢分布為

圖3 任意位置裂縫局部坐標系與全局坐標系關系示意Fig．3 Diagram of local and global coordinate system

2 產能計算模型

一口水平井壓裂多條裂縫，不考慮未壓裂區域水平井產能，多條裂縫產能可通過勢的疊加原理求得．根據勢的疊加原理，如果存在N條裂縫，空間某點（x，y）的勢為

式中：x′i＝（x—xi0）sinθi—（y—yi0）cosθi；y′i＝（x—xi0）cosθi—（y—yi0）sinθi；qi為第i條裂縫的產量；（xi0，yi0）為第i條裂縫的中點坐標；θi為第i條裂縫同y軸（水平井）的夾角；Li為第i條裂縫的半長．

令

將式（7）簡化為

假設第j條裂縫同水平井井筒交點坐標為（0，yj），該處的壓力為井底流壓pwf，在邊界（xe，ye）處壓力為pe．根據勢同壓力的關系，有

將式（9）代入式（10），可得

式中：μ為原油黏度；K為儲層滲透率；pj為第j條裂縫的壓力（井底流壓）．

則水平井的產能Q為

3 計算實例

分別利用文中建立的非均勻模型和郎兆新等建立的模型，計算紅河油田37井區3口分段壓裂水平井產能，并與實際產量進行對比（見表1）．其中HH37P24井的基本參數見表2～3．

表1 2種模型計算結果與實際結果對比Table 1 2Results comparison between calculation and real data t·d—1

表2 HH37P24井基本參數Table 2 Well parameters of HH37P24well

表3 HH37P24井壓裂參數Table 3 Fractures parameters of HH37P24well

由表3可知，受到地應力及施工工藝、地層物性等影響，壓裂裂縫同水平井完全垂直，長度一致是很困難的．文中非均勻模型考慮裂縫同水平井夾角、裂縫長度不一致等因素影響，得出的結果同實際相比存在較大誤差，但比等效模型結果誤差要?。饕蚴橇芽p間存在干擾，裂縫長度、相對位置、間距等不同，干擾程度不同，整口井的產能也會出現差異．

同郎兆新等建立的模型相比，文中模型雖然誤差較小，但對輸入參數要求更高，這些參數在現場獲取相對困難．

4 結論

（1）在保角變換的基礎上，引入局部坐標系，推導非均勻分段壓裂水平井產能公式．該公式考慮裂縫不等長、非均勻分布及同水平井不垂直等因素的影響，更符合實際情況．

（2）同郎兆新等建立的模型進行對比，文中模型具有更小誤差，但對參數要求更高．

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TE357．11

A

2095—4107（2013）04—0055—05

DOI 10．3969／j．issn．2095—4107．2013．04．008

2013—07—01；編輯：關開澄

中石化科技攻關項目（P12099）

鄭松青（1982—），男，博士，工程師，主要從事油藏工程方面的研究．