基于一維PCA-EIR技術的二維SVD-FIR濾波器設計

王 浩 包永強 奚 吉 趙 力 鄒采榮

(1東南大學水聲信號處理教育部重點實驗室,南京 210096)

(2南京工程學院通信工程學院,南京 210093)

1D和2D數字濾波器在數字信號處理領域具有重要且廣泛的應用.根據沖擊響應的性質,1D和2D數字濾波器可分為1D和2D有限沖擊響應(FIR)濾波器以及1D和2D無限沖擊響應(IIR)濾波器.FIR數字濾波器具有嚴格的線性相位響應以及穩定的系統響應,是數字濾波器研究及應用領域的重要組成部分.然而,在相同的幅度頻率響應指標前提下,與IIR數字濾波器相比,FIR數字濾波器的階數較高,故其延時和硬件執行復雜度(用乘法器和加法器個數來衡量)也較高.當數字濾波器過渡帶較窄時,FIR數字濾波器硬件執行復雜度高的問題尤其突出.為減少1D FIR數字濾波器的硬件執行復雜度,Neuvo等[1]提出了一種內插有限沖擊響應濾波器設計方法;Lim等提出了1D屏罩法[2]和1D外插法[3-7].其中,1D外插法利用1D低通或高通FIR數字濾波器系數的類周期性來降低濾波器的硬件執行復雜度.為了減少2D FIR數字濾波器[8-9]的硬件執行復雜度,Mersereau等[10]提出了一種基于McClellan變換的2D FIR數字濾波器設計方法;Lim等[11]提出了2D屏罩法;Trettel 等[12-15]提出了一種基于奇異值分解(SVD)的2D FIR(2D SVD-FIR)數字濾波器設計方法;Lu等[16]提出了一種基于系數稀疏的低復雜度2D FIR濾波器設計方法.2D SVD-FIR數字濾波器由若干2D FIR子濾波器并聯構成,每一個2D FIR子濾波器由2個1D FIR子濾波器串聯構成[13].

本文基于1D EIR技術合成了2D SVD-FIR數字濾波器的所有1D FIR子濾波器.仿真結果表明,該方法可以有效降低2D FIR數字濾波器的硬件執行復雜度.

1 1D EIR濾波器設計

(1)

由于類周期性,一般能找到3個正整數M,d,R,使得以下的近似關系成立:

h1≈α1h0,h2≈α2h0, …,hR≈αRh0

式中,h0為基向量;α1,α2,…,αR為尺度因子,可以通過線性規劃的方法獲得.上述近似關系即為原始1D EIR技術的基本原理.以此為基礎,原型1D FIR 數字濾波器可采用Zhou等[5]提出的1D EIR濾波器結構近似實現.為改進原始1D EIR技術的性能,Yu等[4]提出了一種基于半無限規劃(SIP)的1D EIR(1D SIP-EIR)技術,即采用SIP技術對原始1D EIR濾波器設計中的未知參數進行聯合優化.然而,SIP技術是一種非線性規劃,其設計執行需要一個較好的迭代初值,該初值一般通過其他1D EIR濾波器設計技術獲得.因此,1D SIP-EIR技術并非一種獨立的1D EIR技術.基于主分量(PCA)分析的1D EIR(1D PCA-EIR)技術[5-6]是一種獨立且效果較好的1D EIR 技術.該技術通過選用矩陣HHT的若干最大特征向量,對矩陣H中的每一列向量進行線性近似.Wang等[6]提出了一種可以獲得分析解的方法以減弱1D PCA-EIR數字濾波器的量化效應.此外,Yu等[7]對如何設計具有離散系數的1D EIR濾波器進行了研究.本文僅考慮具有連續系數的1D EIR濾波器設計.

2 基于SVD的2D FIR濾波器設計

線性相位2D FIR濾波器可由其沖擊響應矩陣或者頻率響應矩陣來表示.本文僅考慮沖擊響應為實數的2D FIR數字濾波器,而且在無額外說明的情況下均假定2D FIR數字濾波器具有嚴格的線性相位.設Φ為一個L1×W1的矩陣,表示任一實系數2D FIR 數字濾波器的沖擊響應;Ω為一個L2×W2的矩陣,表示任一實系數2D FIR數字濾波器的理想零相位頻率響應.分別對矩陣Φ和Ω進行奇異值分解可得

式中,U1,V1,U2,V2均為正交矩陣;S1和S2為對角矩陣.這些矩陣均無明確的物理含義,都是由濾波器系數矩陣Φ和頻率響應矩陣Ω推導得到.

式中,u1k,v1k,u2k,v2k分別為矩陣U1,V1,U2,V2的第k個列向量.設矩陣Φ,Ω的秩分別為r1和r2,則K1≤r1,K2≤r2.u1k,v1k(k=1,2,…,r1)分別為同時鏡像對稱或反對稱;u2k,v2k(k=1,2,…,r2)亦分別為同時鏡像對稱或反對稱.如果K1=r1(或者K2=r2),那么Φ(或者Ω)可以被這些1D列向量零誤差表示.對2D FIR數字濾波器的沖擊響應矩陣Φ進行SVD操作時,可令u1k和v1k(k=1,2,…,K1)為1D FIR濾波器的沖擊響應序列.對2D FIR 數字濾波器的頻率響應矩陣Ω進行SVD操作時,可令u2k和v2k(k=1,2,…,K2) 為1D FIR數字濾波器的頻率響應序列.利用SVD技術,由矩陣Φ(或者Ω)表示的2D FIR 濾波器可以通過K1(或者K2)個2D FIR子濾波器并聯在一起取和實現或者近似實現,其中每一個2D FIR子濾波器由2個1D FIR子濾波器串聯構成.

3 1D FIR子濾波器合成

設ρ(n)為2D SVD-FIR數字濾波器中的某一個1D FIR子濾波器的系數，2l+1為子濾波器的階數或長度.利用1D PCA-EIR 技術合成這類1D FIR子濾波器的步驟如下：

① 選取參數M，d，R，將濾波器系數ρ(n)(M+1≤n≤1)組成矩陣,即

② 采用1D PCA-EIR技術合成由ρ(n)表示的1D FIR子濾波器,即選取矩陣ρρT的p個最大特征向量,對矩陣ρ中的每一個列向量進行線性近似.

③ 計算合成后的1D FIR子濾波器的頻率響應,并與原型1D FIR子濾波器的頻率響應進行比較.二者的差值為頻率范圍內的最大絕對誤差.若二者的差值在一個很小范圍內,且1D EIR子濾波器的執行復雜度小于原型1D FIR子濾波器,則1D EIR子濾波器可替代原型1D FIR子濾波器.否則,原型1D FIR子濾波器保持不變.參數ε表示原型子濾波器與合成子濾波器的頻率域差值,該參數直接影響合成的2D SVD-FIR濾波器的通帶波紋和阻帶衰減.

在實際濾波器設計中,參數ε一般通過嘗試獲取,即先設定ε為某一值,然后計算所合成的2D SVD-FIR濾波器的通帶波紋和阻帶衰減參數.若合成濾波器的通帶波紋參數和阻帶衰減參數滿足濾波器的設計要求,則設計結束;否則,減小ε的取值(ε越小,說明原型1D子濾波器與合成的1D EIR子濾波器越接近),直到濾波器的通帶波紋和阻帶衰減滿足設計要求.在給定參數M,d,R的情況下,參數p可通過完整搜索來獲得最優取值.該最優值既可滿足通帶波紋和阻帶衰減參數的指標要求,又能使所設計濾波器的復雜度最小.本文基于1D PCA-EIR技術合成了2D SVD-FIR濾波器中的1D FIR子濾波器,其基本原理是利用PCA技術對子濾波器系數矩陣ρ進行降維.需要指出的是,在以往文獻中,1D EIR技術主要用于設計低通或高通FIR數字濾波器,而本文中需要合成的FIR子濾波器是任意的FIR濾波器.

4 仿真

下面通過2個設計實例來驗證所提方法的有效性.

設計實例1假定需要設計的2D FIR橢圓低通濾波器的理想頻率響應為

(2)

式中,ap，bp分別表示濾波器頻域水平和垂直方向上的通帶截止角頻率；as，bs分別表示濾波器頻域水平方向和垂直方向上的阻帶截止角頻率；ω1，ω2分別表示濾波器頻域水平方向和垂直方向上的角頻率.此處，ap=0.31π;bp=0.56π;as=0.51π;bs=0.76π.所期望的通帶和阻帶最大波紋均為-30 dB.

設計實例2假定需要設計的2D FIR橢圓帶通濾波器的理想頻率響應為

(3)

式中,ap1，ap2表示帶通濾波器頻域水平方向上的通帶截止角頻率；bp1，bp2表示帶通濾波器頻域垂直方向上的通帶截止角頻率；as1，as1表示帶通濾波器頻域水平方向上的阻帶截止角頻率；bs1，bs2表示帶通濾波器頻域垂直方向上的阻帶截止角頻率.此處，ap1=0.31π;bp1=0.56π;ap2=0.51π;bp2=0.76π;as1=0.11π;bs1=0.36π;as2=0.71π;bs2=0.96π.所期望的通帶和阻帶最大波紋均為-20 dB.

下面分別采用窗函數法、沖擊響應矩陣SVD法、頻率響應矩陣SVD法來設計滿足以上指標要求的2D FIR數字濾波器,并采用1D PCA-EIR技術合成2D SVD-FIR 數字濾波器中的所有1D FIR子濾波器.

針對設計實例1和2,采用上述5種方法設計的2D FIR數字濾波器的性能指標分別見表1和表2.從表1中可以看出,對于設計實例1,5種方法所設計的濾波器通帶波紋和阻帶衰減均達到-30 dB.方法4較之方法2能節約13.16%(25個)的乘法器和17.58%(64個)的加法器;方法5較之方法3能節約7.37%(14個)的乘法器和13.19%(48個)的加法器.從表2中可以看出,對于設計實例2,5種方法所設計的濾波器通帶波紋和阻帶衰減均達到-20 dB.方法4較之方法2可節約8.85%(17個)的乘法器和13.15%(48個)的加法器;方法5較之方法3可節約8.13%(13個)的乘法器和14.47%(44個)的加法器.此外,在設計實例1中,方法2設計的2D SVD-FIR數字濾波器具有5個并行結構(對于2D SVD-FIR數字濾波器而言,每個并行結構由2個1D FIR子濾波器級聯,故此處共10個1D FIR子濾波器).采用方法3對設計實例1中的10個子濾波器進行外插時,參數M,p,d,R的取值情況見表3.針對設計實例1,采用方法4設計的2D FIR數字濾波器的幅度響應見圖1(a);針對設計實例2,采用方法5設計的2D FIR數字濾波器的幅度響應見圖1(b).

表1 橢圓低通濾波器的性能指標

表2 橢圓帶通濾波器的性能指標

表3 基于方法3設計的2D SVD-FIR濾波器參數

圖1 2D SVD-FIR數字濾波器的頻率響應

5 結語

本文基于1D PCA-EIR技術設計合成了2D SVD-FIR 數字濾波器中的1D FIR 子濾波器.仿真結果表明,在2D SVD-FIR數字濾波器頻率響應性能未受影響的前提下,采用1D PCA-EIR 技術設計2D SVD-FIR 數字濾波器中的1D FIR子濾波器,較之傳統的2D SVD-FIR數字濾波器設計,可以減少硬件執行所需的乘法器數目和加法器數目,從而驗證了本文方法的有效性.由此可知,1D EIR技術可用于合成任意1D FIR數字濾波器.

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