基于李雅普諾夫穩定性的PID控制器參數整定與應用比較

曹淼龍，李強

(浙江科技學院機械與汽車工程學院，浙江杭州310023)

PID控制器[1]是根據系統的輸出輸入誤差，利用比例、積分、微分計算出控制量，具有結構簡單，算法易實現、魯棒性好、適應性強及可靠性高等優點，在控制工程領域應用非常廣泛。

PID控制器的比例項減少對干擾的誤差響應，積分項消除穩態誤差，微分項則抑制動態響應。自Ziegler 和Nichols 提出PID參數整定方法[2]起，國內外學者及研究機構關于此問題的研究此起彼伏，如基于相幅裕度PID控制[3]、模糊自適應PID控制[4]、魯棒PID控制[5]方法等。PID控制器參數整定要滿足閉環系統得到預期響應的前提下，亦要提高系統穩定性，

近年來PID參數穩定域的研究越來越受到重視。文獻[6]基于廣義Hermite-Biehler 定理提出完整的PID參數穩定域，對非時滯對象進行H∞魯棒設計;文獻[7]基于Nyquist 穩定性判據解決PID控制器參數穩定域的計算。作者針對單輸入－單輸出(SISO)閉環反饋控制系統，基于李雅普諾夫穩定性原理，通過對比傳統的Z-N 等整定方法，給出一種較為簡單實用且易推廣可行的PID控制器參數整定方法。

1 問題的描述

圖1為典型的SISO 閉環反饋控制系統的基本結構圖[8]，其中，r、y分別為設定的參考值輸入和控制對象輸出，e為信號偏差量，d為干擾信號，u為控制信號，GK(s)和G(s)分別為PID控制器和控制對象。

圖1 反饋控制系統的結構圖

控制對象的傳遞函數G(s)設為:

式中:s為復變量，n≥m，an≠0;bm≠0，ai和bj均為已知數;i=0，1，…，n;j=0，1，…，m。

式中:θ為對象時滯。

PID控制器的傳遞函數GK(s)如下:

式中:kp、ki和kd分別為比例、積分和微分增益。

由控制對象G(s)與PID控制器GK(s)構成的負反饋閉環系統傳遞函數為:

若GP(s)已知，可通過根軌跡法考察系統的穩定性，判定系統是否穩定或是否符合設計的性能要求。

2 基于李雅普諾夫穩定性的PID參數的計算方法

把s=jω 代入公式(4)，其中ω為信號頻率，可得頻率特性GP(jω)，令幅頻特性|GP(jω)|=1:

武陵自然村調查地面塌陷共37處，主要集中發生在2017年10月16～17日(礦洞透水發生于2017年10月14日)，數量達34處，占調查總數的92%，僅有3處發生在11月20日。塌陷發生期間均有降雨過程。可見礦洞開采透水是本次塌陷發生的誘因，塌陷發生后，受降雨影響，塌陷點的規模逐漸擴大并伴隨新的塌陷點出現。

式中:

δr和δi分別表示GT(jω)的實部和虛部。由李雅普諾夫系統穩定性原理，為使系統穩定，特征方程的全部根，都是負實數或實部為負的復數，位于復數平面的左半平面，要保證閉環系統穩定，即δr=0。

針對最小相角系統，用GT(jω)曲線對 (－1，j0)點的接近程度來表示系統的相對穩定性[9]。當ω趨向于0時，由公式(10)聯列3個方程組即可求出PID控制器kp、ki和kd3個參數值。

3 仿真實例

3.1 典型的工業時滯過程應用

在工業過程控制中，大多數的控制對象都具有一階慣性加純時滯過程的動態特性[10]，因而控制對象傳遞函數G(s)可以表示為:

式中:k為靜態增益，τ為時間常數。

由公式(11)—(13)經計算，kp、ki和kd3個參數值如下:

文獻[10]采用遺傳算法求解魯棒PID控制器的計算公式為:

例1，考慮一階延遲過程[10]:

該對象PID控制器3種整定方法的結果如表1所示。

方法 kp ki k d Z-N[2]2.285 2.673 0.488 IAE-GA[10] 2.219 1 1.982 2 0.437 9文中方法1.25 2 0.5

在t=1 s 和t=15 s時分別加入單位階躍輸入和單位反向階躍干擾信號，y(t)為系統輸出，得到的系統響應如圖2所示。

圖2 例1的閉環仿真輸出響應

從圖2可以看出:Z-N方法和文獻[8]的IAE-GA方法在前期時域跟蹤性表現較差，超調量分別為47%左右和28%左右，在穩態值的±2%誤差范圍內調節時間分別為3.6 s 和2.9 s，但后期具有良好的時域抗干擾性，超調量分別為5.1%和2.3%;而文中方法有一定的折衷性，前期超調量為16%左右，調節時間為4.8 s，但后期超調量稍大，為9%，由此表現出優良的跟蹤性和一定的抗干擾性。

3.2 機電控制工程的應用

機電控制工程常見的傳遞函數為:

文獻[11]應用H∞控制理論派生出的閉環增益成形方法，設計魯棒控制器計算公式為:

kp=ωca1ki=ωca0kd=ωca2

式中:ωc為閉環系統的截止頻率。

由公式(11)—(13)經計算，kp、ki和kd3個參數值如下:

例2，永磁同步直線電機的傳遞函數[11]為:

表2為該對象PID控制器兩種整定方法的結果，經計算文獻[11]的ωc取0.666 4 rad/s。

表2 永磁同步直線電機模型PID參數整定比較

在t=1 s 和t=15 s時分別加入單位階躍輸入和單位反向階躍干擾信號，y(t)為系統輸出，所得到的系統響應如圖3所示。

從圖3可以看出:文獻[9]的魯棒PID控制器跟蹤性和抗干擾性均表現不佳，延遲時間達到4.6 s，后期的超調量為3.1%;而文中方法的時域跟蹤性和抗干擾性都表現得較好，具有良好的魯棒性能。

圖3 例2的閉環仿真輸出響應

4 結論

文中基于根軌跡法確定滿足閉環反饋控制系統穩定性要求的目標方程組;然后在李雅普諾夫穩定性判據基礎上，推導PID控制器參數整定的計算方法，分別對具有代表性的工業工程——一階遲延過程的近似模型和永磁同步直線電機模型進行跟蹤性和抗干擾性仿真分析和比較。仿真分析結果表明:采用該方法設計的PID控制器在保證閉環系統穩定性的前提下，能獲得較好的跟蹤性和抗干擾性。簡化控制系統的傳遞函數后無需類似Z-N 作根軌跡或伯特圖等來確定控制參數，只需通過對閉環系統函數分解并近似后推導出相應的方程組求出控制器參數值。該方法主要優點是參數計算程序化，便捷可行易推廣，適用于各類時滯對象或非時滯對象的魯棒控制，但同時若函數的階數較多，求解方程組復雜，計算工作量較大，通常需借助計算機來完成。

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