電力系統(tǒng)無功優(yōu)化算法性能比較及分析

周文俊，吳 熙 ，施偉成

(1.鎮(zhèn)江供電公司調(diào)度控制中心，江蘇鎮(zhèn)江212000；2.東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南京210096)

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化是保證系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)運行的有效手段，是提高電力系統(tǒng)電壓質(zhì)量的重要措施之一。所謂無功優(yōu)化，就是指在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及負(fù)荷情況給定、無功電源較為充裕的情況下，通過調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓或出力、調(diào)整變壓器抽頭變比、改變無功補償裝置的出力等措施來調(diào)整無功潮流，在滿足所有指定約束條件的前提下，使系統(tǒng)的某一個或多個性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)時的無功調(diào)節(jié)手段。通過無功優(yōu)化不僅使全網(wǎng)電壓在額定值附近運行，且能取得可觀的經(jīng)濟(jì)效益，使電能質(zhì)量、系統(tǒng)運行的安全性和經(jīng)濟(jì)性完美的結(jié)合在一起，因而無功優(yōu)化的前景十分廣闊[1-3]。

1數(shù)學(xué)模型

1.1無功優(yōu)化模型

無功優(yōu)化通常的數(shù)學(xué)描述為：

式（1）中：u為控制變量，是人為可調(diào)節(jié)的變量，通常可取發(fā)電機(jī)端電壓、可調(diào)變壓器的抽頭位置和節(jié)點裝設(shè)無功補償設(shè)備的補償容量；x為狀態(tài)變量，包括除發(fā)電機(jī)節(jié)點和平衡節(jié)點外所有節(jié)點的電壓、發(fā)電機(jī)無功出力和線路無功功率；f（u，x）為無功優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，本文取最小網(wǎng)損；h（u，x）為等式約束條件，即節(jié)點潮流方程；g（u，x）為控制變量與狀態(tài)變量須滿足的約束條件。

1.2算例模型及控制變量

本文以IEEE30節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)為例進(jìn)行研究，IEEE30節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中，含6臺發(fā)電機(jī)和4臺可調(diào)變壓器；2個無功補償節(jié)點。取節(jié)點l為系統(tǒng)平衡節(jié)點，節(jié)點10，24安裝無功補償設(shè)備，每組并聯(lián)補償裝置中有電容器2 Mvar×16組，電抗器為-2Mvar×8 組;支路 4-12，6-9，6-10，28-27為有載可調(diào)變壓器支路，變壓器最大變比1.1，最小0.9，分接頭數(shù)目為16個。控制變量對應(yīng)為發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓、4臺可調(diào)變壓器的變比K及2臺無功裝置的補償電納值。狀態(tài)變量x則為發(fā)電機(jī)的無功出力和所有PQ節(jié)點電壓。

圖1待研系統(tǒng)

2基于序列二次規(guī)劃的非線性規(guī)劃法

二次規(guī)劃法將目標(biāo)函數(shù)作為二階泰勒級數(shù)展開，把非線性約束轉(zhuǎn)化為一系列線性約束，構(gòu)成二次規(guī)劃優(yōu)化模型，從而通過多次二次規(guī)劃來逼近最優(yōu)解[4]。即：

在matlab中，可用fmincon函數(shù)求多變量有約束非線性函數(shù)的最小值。fmincon運行時首先檢查有無梯度表達(dá)提供，如有則選擇大規(guī)模算法，如果沒有梯度表達(dá)式提供，fmincon選擇序列二次規(guī)劃（SQP）算法。需要

式（3）中：fmax為上代群體最優(yōu)適應(yīng)值；favr為上代群體平均適應(yīng)值；fc為要交叉的兩串中較大適應(yīng)值。指出的是，該算法僅能用于控制變量為連續(xù)變量的優(yōu)化，優(yōu)化的最后結(jié)果必須進(jìn)行離散化。二次規(guī)劃法計算結(jié)果統(tǒng)計如表1所示，計算得到有功網(wǎng)損最小值為1.980 8 p.u.。在此取進(jìn)行離散化后的最小有功網(wǎng)損1.982 6 p.u.。

表1二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果

3改進(jìn)遺傳算法

遺傳算法是由美國學(xué)者Holland提出的一種基于達(dá)爾文生物進(jìn)化論及門德爾基因遺傳理論的仿生學(xué)概率性迭代搜索算法，同時也是一種組合優(yōu)化算法。其最大特點就是不依賴函數(shù)性質(zhì)，對函數(shù)是否連續(xù)，是否能求二階導(dǎo)數(shù)沒有要求，非常適合求解非線性規(guī)劃問題。該方法主要包括編碼、控制參數(shù)、適應(yīng)值函數(shù)、遺傳算子（交叉及變異）、選擇及終止條件。 遺傳算法雖在復(fù)雜的工程優(yōu)化問題中得到了廣泛應(yīng)用[2，5，6]，但由于算法隨機(jī)搜索而帶來的算法收斂速度慢及計算穩(wěn)定性差已成為其應(yīng)用的最大阻礙。為了改善算法的性能，已對其進(jìn)行了大量研究，提出了不少改進(jìn)方法。為了彌補遺傳算法在工程應(yīng)用上的不足，本文針對無功優(yōu)化問題采用了一種改進(jìn)的遺傳算法。

3.1混合編碼方式

IEEE30節(jié)點系統(tǒng)總共有12個控制量，其中包括6個連續(xù)可調(diào)的發(fā)電機(jī)端電壓，2個離散可調(diào)的無功補償和4個離散可調(diào)的變壓器變比。發(fā)電機(jī)端電壓采用實數(shù)編碼，直接表示機(jī)端電壓；其他兩種離散變量采用整數(shù)編碼，通過對定義數(shù)組的搜索得到其對應(yīng)實際值。

3.2優(yōu)選父代自適應(yīng)交叉操作

借助優(yōu)生學(xué)原理，該操作在進(jìn)行交叉操作時，提高被交叉父代個體的質(zhì)量，以期望產(chǎn)生高質(zhì)量的子代。具體操作是從上代群體中隨機(jī)選擇2個個體，保留適應(yīng)值大的個體(如二者適應(yīng)值相同，則隨機(jī)保留一個)，再進(jìn)行一次上述兩兩優(yōu)選操作。對保留下來的2個個體進(jìn)行交叉。為了保證交叉質(zhì)量，交叉概率采用自適應(yīng)方式產(chǎn)生，即交叉概率由進(jìn)化程度來控制。自適應(yīng)交叉概率為：

3.3非一致自適應(yīng)變異操作

變異算子保證算法能搜索到解空間中的每一點，使算法具有全局收斂性。使用實數(shù)編碼時，變異算子不再像二進(jìn)制編碼時僅是簡單的恢復(fù)群體的多樣性，它已成了一個重要的搜索算子。變異對經(jīng)過優(yōu)選交叉的個體進(jìn)行，具體采用實數(shù)編碼的非一致變異方式。該算子的結(jié)果同進(jìn)化代數(shù)密切相關(guān)，使得在進(jìn)化初期，變異范圍相對較大，而隨著進(jìn)化代數(shù)的推進(jìn),變異范圍越來越小，起一種對進(jìn)化系統(tǒng)微調(diào)的作用。

3.4產(chǎn)生新種群

將原種群和雜交變異生成的新種群依照網(wǎng)損最小原則進(jìn)行排序，并去處相同的個體。考慮到目標(biāo)函數(shù)計算時，加入了罰函數(shù)，單純依照網(wǎng)損最小原則選擇前30%的個體會照成種群多樣性的下降，出現(xiàn)“早熟”。而且對于狀態(tài)量越界的個體，某幾位變異后可能得到更優(yōu)解，所以不能單純的排除這些越界個體。為了解決這個問題，采用了保留網(wǎng)損最小的個體 （也就是最優(yōu)個體），對其他個體采用平均概率法選擇出其中的剩余新父代個體的方法。這樣既保證了遺傳算法的收斂性，也盡可能的保證了父代種群的多樣性，有利于避免過早收斂的問題。初始種群為30個個體，交雜生成40個新個體，變異生成60個新個體，將這130個個體放在匹配池。首先保留最優(yōu)個體，再在剩下的個體中選擇出另外29個個體作為新的父代。最大迭代次數(shù)為100次，當(dāng)十次迭代最優(yōu)值不變時，則認(rèn)為計算收斂，輸出最優(yōu)個體的控制參數(shù)和網(wǎng)損。改進(jìn)遺傳算法流程圖如圖2所示。改進(jìn)遺傳算法計算結(jié)果統(tǒng)計如表2所示。

圖2改進(jìn)遺傳算法流程圖

表2改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

4改進(jìn)粒子群算法

粒子群算法[7-9]是1995年由美國社會心理學(xué)家James Kennedy和電氣工程師Russell Eberhart共同提出，其基本思想是受他們早期對鳥類群體行為研究結(jié)果的啟發(fā)，并利用生物學(xué)家Frank Heppner的生物群體模型。粒子群算法與其他進(jìn)化類算法相類似，也采用“群體”與“進(jìn)化”的概念，同樣也是依據(jù)個體（粒子）的適應(yīng)值大小進(jìn)行操作。所不同的是粒子群算法不像其他進(jìn)化算法那樣對于個體使用進(jìn)化算子，而是將每個個體看作是在n維搜索空間中的一個沒有重量和體積的粒子，并在搜索空間中以一定的速度飛行。該飛行速度由個體的飛行經(jīng)驗和群體的飛行經(jīng)驗進(jìn)行動態(tài)調(diào)整。 設(shè) Xi=（xi1，xi2，…，xin）為粒子 i的當(dāng)前位置；Vi=（vi1，vi2，…，vin）為粒子 i的當(dāng)前飛行速度；Pi=（pi1，pi2，…，pin）為粒子 i所經(jīng)歷的最好位置，也就是粒子i所經(jīng)歷過的具有最好適應(yīng)值的位置，稱為個體最好位置。對于最小化問題，目標(biāo)函數(shù)值越小，對應(yīng)的適應(yīng)值越好。Pg為所有粒子經(jīng)過的最好位置。基本粒子群算法的進(jìn)化方程可描述為：式（4）中：下標(biāo)“j”為粒子的第 j維；“i” 為粒子 i；t為第t代；c1，c2為加速常數(shù)， 通常在 0～2 間取值；r1，r2為 2個相互獨立的0到1之間的隨機(jī)數(shù)。為了減少在進(jìn)化過程中，粒子離開搜索空間的可能性，vij通常限定于一定范圍內(nèi)。

對于不同的問題，如何確定局部搜索能力與全局搜索能力的比例關(guān)系，對于其求解過程非常重要。甚至對于同一個問題而言，進(jìn)化過程中也要求不同的比例。為此，Yuhui Shi 1998年提出了帶有慣性權(quán)重的改進(jìn)粒子群算法[8，9]。 其進(jìn)化方程為：

進(jìn)化過程中動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重以平衡收斂的全局性和收斂速度：

其中，MaxNumber為最大截止代數(shù)。這樣，將慣性權(quán)重看作迭代次數(shù)的函數(shù)，可從0.9到0.4線性減少。改進(jìn)粒子群算法的流程如圖3所示。其計算結(jié)果統(tǒng)計如表3所示，且結(jié)果表明粒子群法收斂速度快，收斂點相對穩(wěn)定，較其他算法表現(xiàn)出更多的優(yōu)良特性。

圖3改進(jìn)粒子群算法流程圖

表3改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化結(jié)果

5算法比較

各種不同算法的結(jié)果匯總?cè)绫?所示。

表4優(yōu)化結(jié)果匯總

通過以上結(jié)果來看，序列二次規(guī)劃法、和粒子群算法所得的結(jié)果最優(yōu)，在同時處理連續(xù)變量的情況下，PSO算法的平均值沒有二次規(guī)劃法好，但最優(yōu)值比二次規(guī)劃法略好。由于實際的電力系統(tǒng)中無功補償容量和變壓器變比是離散變量，因此將所得結(jié)果離散化后再和直接處理離散變量的PSO算法相比較，發(fā)現(xiàn)PSO算法更優(yōu)。PSO算法也存在一些弱勢，比如算法還不夠穩(wěn)定，不是每次所得結(jié)果都能收斂到一個點，但總體來每次結(jié)果相差很小。二次規(guī)劃法是傳統(tǒng)優(yōu)化方法，具有穩(wěn)定性好，局部尋優(yōu)能力強的等特點，而粒子群法屬于現(xiàn)代算法，具有對目標(biāo)函數(shù)要求低，能可靠地收斂到較優(yōu)解等特點。

遺傳算法和粒子群法同屬進(jìn)化算法，但PSO算法在進(jìn)化過程中同時保留和利用位置與速度 （即位置的變化程度）信息，而遺傳算法僅保留和利用位置的信息。 如果將 xij（t+1）=xij（t）+vij（t+1）看作一個變異，則PSO算法與進(jìn)化規(guī)劃很相似。所不同之處在于，在每一代，PSO算法中的每個粒子只朝一些根據(jù)群體的經(jīng)驗認(rèn)為是好的方向飛行，而在進(jìn)化規(guī)劃中可通過一個隨機(jī)函數(shù)變異到任何方向。也就是說，PSO算法執(zhí)行一種有“意識”的變異。從理論上講，進(jìn)化規(guī)劃具有更多的機(jī)會在優(yōu)化點附近開發(fā)，而PSO則有更多的機(jī)會更快地飛到更好解的區(qū)域，如果“意識”能提供有用的信息。

總體來說，從理論上講粒子群算法比遺傳算法要表現(xiàn)出更多的優(yōu)良特性，但在優(yōu)化領(lǐng)域中，有一個值得一提的著名理論，“No Free Lunch Theorems for Optimization”，即無免費午餐定理。在這2種算法的比較中也有所體現(xiàn)，PSO算法雖然能得到較好的結(jié)果，全局搜索能力強，但其局部搜索能力就相對較差，若用兩次最優(yōu)解不變作為算法的收斂條件，很容易就會返回一個較差的解，因為在搜索到較好解區(qū)域后，其局部搜索能力較差，往往會連續(xù)幾次都不能找到更好的解，但遺傳算法的局部搜索性能就相對較好，往往能很快在小區(qū)域內(nèi)搜索到最優(yōu)解，不過遺傳算法往往更容易陷入局部最優(yōu)解，因為其變異是沒有方向的，尋到更好解區(qū)域的概率較小。另外，對于這2種算法本身，無免費午餐定理也有一定體現(xiàn)，首先看遺傳算法，在遺傳算法中，父代基因的保留個數(shù)和變異雜交概率率是此算法中最重要的兩個量，父代基因保留得越全變異雜交率越小，則越容易收斂到局部最優(yōu)解。反之則越難收斂，最極限的情況就是將變異概率置為無窮，不保留父代基因，則該算法就等同于隨機(jī)搜索。粒子群算法也一樣慣性權(quán)重取得越大，則越容易搜索到全局最優(yōu)解，搜索速度最慢，反之取得越小，局部搜索能力越強，越容易收斂。理論上可以通過調(diào)節(jié)速度因子來使PSO算法的搜索能力更強，但這種調(diào)節(jié)是非常難做到的，目前位置并沒有統(tǒng)一的調(diào)節(jié)方案，Yuhui Shi的調(diào)節(jié)方法也僅僅是一種指導(dǎo)性的方案，對于不同的對象，慣性權(quán)重的取法是很有講究的，因為很難確定是否已經(jīng)進(jìn)入了全局最優(yōu)解區(qū)域，若過早將慣性權(quán)重調(diào)小，則容易收斂到局部解，若慣性權(quán)重過大，則粒子每次位置變動過大，不但局部搜索能力變差，還很容易越界。

6結(jié)束語

本文分析了3種常用的優(yōu)化方法在解決電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題時的優(yōu)劣性。結(jié)果表明序列二次規(guī)劃法屬于傳統(tǒng)算法，收斂性和穩(wěn)定性非常好，每次都收斂到同一個點，且速度較快。遺傳算法和粒子群算法屬于現(xiàn)代搜索算法，對原函數(shù)要求低，搜索能力強，但穩(wěn)定性和速度不如序列二次規(guī)劃法。遺傳算法比粒子群算法的局部收斂能力強，但更容易收斂到局部最優(yōu)解，而粒子群全局搜索能力強，但局部搜索能力不如遺傳算法。總體來說，這3種算法中粒子群算法最優(yōu)，它能處理離散變量，計算速度較快，并且優(yōu)化所得到的結(jié)果最好。

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