基于遺傳算法的風險偏好系數均值方差拓展模型

張 群，張 超，黃曉霞，應海瑤

（北京科技大學 東凌經濟管理學院，北京 100083）

0 引言

Markowitz證券組合投資模型理論是解決證券投資最優策略問題的奠基性研究成果[1]，證券的組合投資風險是為了實現風險一定情況下收益最大化或是收益一定情況下風險最小化，即投資者的組合投資策略在風險和收益的有效前沿處取得。但該模型忽略了投資實踐中的一些重要因素，如只考慮無摩擦市場而勿略了在交易過程中產生的交易費用，假設證券的數目是無限且連續可分的，這些條件在現實市場中難以滿足，因此缺乏實用性。不少學者對該經典模型進行拓展研究，取得了一些研究成果。文獻[2]-[4]考慮了在現實交易過程中產生的交易成本，構建了相應的模型。文獻[5]-[7]等考慮了最小交易批量和最大證券持有量，并構造出求解此類問題的一種啟發式算法。Hamid Reza Golmakani對Markowitz均值方差模型加入了四個限制條件[8]：持有的資金限制，最小交易批量限制，區域資金分散限制，證券數量限制。該論文首次提出了區域分散對模型的影響。張莉,唐萬生討論了概率準則下投資組合模型[9]，并研究了中國目前證券市場的整手股票交易和限制買空賣空的要求對模型解的影響。為了求解該整數規劃模型，作者基于遺傳算法，設計出了相對應的求解方法并在MATLAB中實現了模型算法。利用實例證實了該遺傳算法求解這類模型的有效性和可行性。這些文獻分別考慮了交易過程中的交易成本和最小交易批量限制等現實因素，但未將這兩個因素同時考慮到模型中，并且在模型構建過程中并沒有考慮投資者自己的風險偏好及不同風險偏好投資者對投資策略的影響。基于此，本文引入風險偏好系數的概念，并同時考慮交易成本、資金約束、最小交易批量等限制條件，構建了風險偏好系數均值方差拓展模型。并針對該模型的具體形式，給出了遺傳算法的具體實現過程。

1 投資組合模型

Markowitz于1952年首次從規范經濟學的角度揭示了如何通過建立證券組合的有效邊界來選擇最優證券組合，并分析了如何通過分散投資來降低風險,開創了現代投資組合理論的先河。其核心思想是證券的組合投資是為了實現風險一定情況下收益最大化或收益一定情況下風險最小化，具有降低證券投資活動風險的機制。Markowitz在基于一系列假設條件下，得到了經典的均值方差模型。這些假設條件包括：

(1)投資者進行交易的證券市場是強勢有效的，證券價格反映了證券的內在價值，任何價格的波動都會體現在價格上，且每個投資者都掌握相同的充分信息，了解每種證券的期望收益率及其標準差。

(2)證券投資者以期望收益率來衡量未來收益的水平，以期望收益率的方差來衡量收益率的波動情況，并以這兩個指標作為選擇投資方案的依據。

(3)投資者做出的依據標準是：期望收益率一定的情況下，風險最小；風險一定的情況下，收益最高。

(4)各種證券的收益率服從正態分布，且證券之間有一定的相關性，可用收益率之間的協方差來表示，投資組合的風險即為組合中的協方差乘以權重求和。

(5)每一項資產都是無限可分的，這意味著，如果投資者愿意的話，他可以購買一個股份的一部分。

(6)投資者可以以一個無風險利率貸出(即投資)或借入任意資金。

(7)交易市場是無摩擦的，意味著稅收和交易成本均可忽略不計，盡管這在現實操作過程中難以實現。

根據上述假設，Markowitz得到均值方差模型的基本形式為：

其中：δij為第i種證券和第 j種證券的協方差，E(RˉP)為投資組合的期望收益率，wi為第i種證券的投資權重，ri為第i種證券的期望收益率。

模型利用證券的協方差來度量證券的組合風險，目標函數為投資組合的風險最小化。約束（2）為投資組合收益率需達到預先給定的期望收益率。

Markowitz均值方差模型認為投資者做出的依據標準是：期望收益率一定的情況下，風險最小；風險一定的情況下，收益最高。但在實際操作過程中，投資者個人對風險資產的態度,是影響投資者風險投資決策的主觀因素，通常用效用函數表示，雖然效用函數概念清晰，但是實用性不高。蘇為華等根據證券市場中的投資者對待風險有不同的態度[10]，提出了風險偏好系數的概念。風險系數為投資者在不同的有效收益，風險組合之間做出抉擇提供了依據。基于風險系數提出的均值方差模型為：

其中：δij為第i種證券和第 j種證券的協方差，wi為第i種證券的投資權重，ri為第i種證券的期望收益率，λ為投資者的個人風險偏好系數，介于0和1之間。λ的取值越大，表明投資者越厭惡風險，λ的取值越小，表明投資者越喜好風險。當λ為1時，投資者極端厭惡風險，組合的收益率取值對決策無影響，唯一目標是使得投資組合的風險最小。當λ為0時，投資者極端喜好風險，組合的收益率是唯一對決策有影響的因素，無論投資組合的風險的取值為多少，這兩種為極端情況。一般投資者的風險偏好系數大于0，而小于1。投資者在確定的風險偏好下，在不同的收益，風險組合之間抉擇，從而達到組合值的最大化。

2 風險偏好系數均值方差拓展模型

經典Markowitz的均值方差理論為了達到簡化的目的，很多條件都做了理想化的處理。首先模型沒有考慮買進賣出所產生的費用，但在現實市場買賣證券過程中，存在印花稅、過戶費、傭金、等其他費用，不可避免的交易成本會對收益產生影響，不考慮交易費用的模型往往導致無效的投資組合。在研究過程中，交易函數的表現形式主要有三種常用的交易費用函數，分別是反S交易費用函數，折線型費用函數以及V型交易費用函數。本文模型認為無風險資產的買賣不收取交易費用，而風險證券買賣則收取一定的交易費用。風險證券的交易成本函數為：買入單位風險證券的交易成本為買入價格的a倍，賣出單位風險證券的交易成本為賣出價格的b倍。因而在該交易成本下的第i種證券實際收益率為：

則對某一投資組合的方差為：

假設投資者將資金投資在風險資產和無風險資產上。根據風險偏好系數均值方差模型，考慮交易成本建立的風險偏好系數均值方差模型如下：

其中：δij為第i種證券和第 j種證券的協方差，wi為第i種證券的投資權重，ri為第i種證券的期望收益率，λ為投資者的個人風險偏好系數，wf為無風險資產收益率，rf為無風險資產的投資權重。

式（8）中單只證券的收益率不再是資本的股價變化率，而是考慮了交易成本的收益率。式（9）表示投入在風險證券和無風險證券權重之和為1，意味著所有資金分配到風險證券和無風險證券上。

傳統的均值方差模型的另一個假設為所有證券無限可分，投資在每只證券上股數可以是任意正數。在這樣的假設前提下，投資在每只證券上的股數和權重是連續的，對應的有效前沿是一條連續無間斷的曲線。但在實際交易過程中，每個國家都是以整數股進行交易的，且有最小交易單位。例如我國證券市場規定A股的最小交易單位為一手，即100股，每次交易量必須是一手的整數倍。因此資產無限可分的近似程度有可能導致很大的誤差，使得投資者無法達到預先設定的投資目標，甚至帶來損失。因此，將最小成交批量的限制考慮到模型當中，有很強的現實意義。

最小交易單位限制條件的構建過程為：qi表示第i種風險證券要求交易的最小單位，pi0為第i種證券在決策時點的價格，xi為購買的第i種風險證券的最小單位倍數，則qixi為購買的第i種風險證券的在總數量，其中xi為整數。對于無風險證券，則無最小交易批量的限制。

對于投資者而言，由于籌集到的資金有限，投資在風險證券上的資金也會受到限制。因此，投資者在進行實際投資時會受到投資資金總額的限制。假設B為資金總額的限制，意味著投資在風險證券和無風險證券上的資金總額必須小于或者等于B。除去資金總額的限制約束，投資者有可能會為每只證券設定持有股數的上下限（bounds on holdings）或者投入資金的上下限，從而達到盡可能的分散風險的目的。甚至有些投資者會根據自身預期，需要與偏好，也會對不同股票的投資金額設定一個范圍。

則投資組合的期望收益率可以表示為：

該式的前半部分表示無風險證券的收益率，后半部分表示風險證券的組合收益率，相加得到含有風險證券和無風險證券的組合收益率。投資組合的方差為：

綜上所述，得到風險偏好系數均值方差模型的拓展形式如下：

其中：λ為投資者的個人風險偏好系數，rf為無風險資產的投資權重，wi為第i種證券的投資權重，a為買入股票時的交易成本費率，b為賣出股票時的交易成本費率，ri為第i種證券的期望收益率，δij為第i種證券和第j種證券的協方差，li為第i種證券要求的投資最低額的限制，ui為第i種證券要求的投資最高額的限制，pi0為第i種證券在決策時點的價格，qi為第i種證券要求的最小交易批量，B為資金總額的限制，xi為投資于第i支股票的批量數，我國股市要求最小交易批量單位為“手”（100股），因此xi為大于0的整數。

3 求解模型的遺傳算法設計

由于得到的模型是一個非線性整數規劃問題，而且一般備選股票規模都較大（25--2000），用傳統分支定界等方法無法對該問題求解，如文獻[11]研究了帶有最小交易量限制的投資組合問題，但根據傳統算法得到的最優解不是整數，無法滿足模型的全部約束條件。因此，對本模型只能通過一些啟發式算法進行求解。遺傳算法（Genetic Algorithms，GA）以達爾文的進化論作為依據，模擬自然界的生物進化過程，通過優勝劣汰最終獲得最優的結果。最近十幾年遺傳算法得到了很大的發展和廣泛的應用，遺傳算法具有很強的穩健性和很高的效率，可以以較大的概率得到全局最優解。傳統遺傳算法只能求解無約束優化問題，為了對本模型進行求解，需要對遺傳算法進行設計。設計遺傳算法的總體思路是：采用整數編碼方案進行編碼，每個基因位對應備選股票，同時基因位的值表示當前方案中投資備選股票的批量數，在染色體生成過程中將染色體的基因位數值限制在約束（13）范圍內。對每一個染色體，判斷其是否滿足約束（15），如果不滿足則隨機選擇一個基因位進行調整，調整后再進行判斷，以此循環，直到滿足約束條件。遺傳操作中交叉操作和變異操作均采用雙點操作，選擇操作則采用輪盤賭方法來進行。遺傳算法的具體實現過程如下：

（1）編碼

采用整數編碼，每個染色體含n個基因位(代表n只證券)，基因的數值代表投資于該證券的總手數。并且每個基因位取值都滿足約束（13）限制的范圍。即編碼為{x1,x2,…,xn}且li≤pi0qi(1+a)xi≤ui，i=1,2,…,n

（2）初始化

按照上述編碼方式隨機生成N個染色體構成初始種群。

（3）約束處理

初始化產生的個體一定滿足約束（13），但不一定滿足約束（15）。因此需要對不滿足約束條件的染色體進行可行化處理，以使其滿足約束。對約束（15）按下文方式處理。

①將xi,i=1,2,…,n代入式（14）計算得wi,i=1,2,…,n。并驗證是否滿足約束（15），如果滿足則處理下一條染色體，直到所有染色體均滿足約束（15）。

②對不可行的染色體隨機生成需要調整的基因位，對該基因位的數值乘調整系數α（0＜α＜1），執行操作①。利用調整系數可以控制調整的速度。

（4）交叉算子

采用雙點交叉算子，隨機生成兩個交叉點，交換兩個父體交叉點中間的部分，交換后的染色體滿足約束（13），但可能不滿足約束（15）。利用前文中約束處理操作對不滿足約束（15）的染色體進行可行化處理。

（5）變異算子

采用雙點變異算子，隨機生成兩個變異點，對父體中變異點中間的部分進行變異操作，按照編碼方案隨機生成變異點中新的基因。變異后的染色體滿足約束（13），但可能不滿足約束（15）。利用前文中約束處理操作對不滿足約束（15）的染色體進行可行化處理

（6）選擇更新操作

將父代種群，交叉，變異后得到的新個體混合后得到一個新的種群，利用選擇操作在這個新種群中選擇N個個體形成新的父代種群。采用輪盤賭選擇方法，將適應度大的以較大的概率選為父體進行迭代。由于本模型是求極大值，則當目標函數值大于零時可直接定義適應度值為目標函數。具體操作如下：

①由于模型求極大值，因此可以用目標函數定義適應度函數。計算種群中每個個體的目標函數值，如果目標函數值大于零，定義適應值函數為目標函數，如果目標函數值為負則定義適應值為0。

④利用[0，1]上的均勻分布隨機生成一個數r，若PP(k-1)＜r＜PP(k)，則選擇第k個染色體

⑤重復上述操作中④N次，得到N個染色體作為父代種群。

（7）暫存機制

為了防止最優解在搜索過程中丟失，設立了暫存機制。建立了一個暫存變量用以記錄在搜索過程中找到的最優解，在每次更新操作過程中計算種群中所有染色體的適應度值，并將適應度最大值與暫存變量的適應度進行比較，若該值大于暫存變量的適應度值則更新暫存變量為當前值。由于這個機制不在遺傳算法內，因此該機制不影響整個遺傳算法。

4 結論

由于現實交易的證券市場無法滿足Markowitz投資組合理論苛刻的假設條件，因而傳統的均值方差模型在實際操作中存在一定的局限性。有鑒于此，文章基于前人的研究成果進行了一些嘗試性的工作。文章討論了考慮交易成本、資金約束、最小交易批量等限制條件并引入風險偏好系數構建了風險偏好系數均值方差拓展模型。由于該模型為純整數非線性規劃，難以得到解析解。因此，針對該模型的具體形式，構建了遺傳算法的具體實現過程。

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