不同參數(shù)下封閉矩形聲腔的結(jié)構(gòu)-聲耦合特性分析

王 園 張建潤 顧 偉 黎文瓊

(東南大學(xué)機械工程學(xué)院，南京211189)

工程中許多結(jié)構(gòu)如車輛駕駛室、車廂和船艙等，可以近似看成由彈性板圍成的聲腔結(jié)構(gòu).對這類聲腔結(jié)構(gòu)耦合機理的研究，在噪聲與振動主動控制方面有著十分重要的現(xiàn)實意義和工程應(yīng)用價值.對于由彈性板-聲腔組成的系統(tǒng)的振動與聲場特性，文獻［1-4］提出了彈性板-聲腔組成的耦合系統(tǒng)的求解方法.Pan 等［5］利用模態(tài)耦合分析法研究了簡支板-矩形聲腔組成的耦合系統(tǒng)的自由振動特性，重點分析了簡支板的模態(tài)密度(對應(yīng)板厚度)、阻尼對耦合系統(tǒng)的影響，但沒有考慮聲腔的深度和壁面聲阻抗對板-聲腔耦合系統(tǒng)的影響.Kim 等［6］提出了分析簡支板與聲腔耦合特性的阻抗-導(dǎo)納法.靳國永等［7］在Kim 等的研究基礎(chǔ)上，將板-聲腔耦合系統(tǒng)類比成反饋與前饋控制系統(tǒng)，對簡支板與聲腔的耦合特性進行了研究，并且詳細分析了板厚和聲腔深度對第一階板控模態(tài)共振頻率的影響，但沒有對其他板控模態(tài)和腔控模態(tài)的影響進行分析.基于彈性板和聲腔的耦合特性，國內(nèi)外學(xué)者［8-11］對彈性板封閉聲腔內(nèi)的聲場主動控制進行了廣泛的研究.綜上所述，當(dāng)聲腔深度不變，而彈性板的模態(tài)密度和阻尼變化時，板和聲腔的耦合特性已得到深入研究;但當(dāng)聲腔參數(shù)如聲腔深度改變時，板-聲腔的耦合特性會發(fā)生顯著的變化.而目前尚沒有文獻就聲腔參數(shù)變化對板-聲腔系統(tǒng)耦合特性的影響進行深入研究.

本文在Pan 等［5］對簡支板-聲腔耦合特性研究的基礎(chǔ)上，進一步分析了聲腔深度改變對板-聲腔系統(tǒng)耦合特性的影響.首先，基于耦合前板和剛性壁面聲腔模態(tài)參數(shù)，利用模態(tài)耦合法對板-聲腔組成的耦合系統(tǒng)的自由振動特性進行求解，得到反映耦合系統(tǒng)固有屬性的模態(tài)特征;接著分析了聲腔深度對板-聲腔耦合系統(tǒng)模態(tài)特征的影響，包括系統(tǒng)模態(tài)共振頻率、模態(tài)衰減時間，并詳細研究了板模態(tài)與聲腔模態(tài)隨聲腔深度改變時的耦合過程.

1 分析模型

彈性板-聲腔耦合系統(tǒng)模型如圖1所示，封閉矩形聲腔的尺寸為Lx，Ly，Lz，位于z =Lz處的彈性板的尺寸為Lx，Ly，邊界形式為簡支;平面波Pin 作用在彈性板上，方位角和仰角分別為θ，α.聲腔內(nèi)聲壓的波動方程為

式中，p，c0分別為聲腔內(nèi)的聲壓和聲速.聲腔內(nèi)部聲場在聲腔壁面處的邊界條件為

圖1 彈性板-聲腔耦合系統(tǒng)模型

式中，ρ0為聲腔內(nèi)聲場的介質(zhì)密度;n 為聲腔壁面法向;Za為聲腔壁面z≠Lz處聲阻抗;w(x，y，t)為彈性板法向位移;ω 為角頻率.

對于聲腔上的彈性薄均質(zhì)板，在受聲腔內(nèi)外聲場激勵時，彈性板彎曲振動方程為

式中，定義力的方向指向聲腔外為正;ρ，E，μ，h 分別為彈性板的體密度、彈性模量、泊松比和厚度;fp為聲腔外作用在彈性板上的總聲壓，這里指作用在彈性板上的平面聲波Pin 和其反射聲波之和，并令入射平面波和反射波的聲壓相等，忽略板向聲腔外輻射聲對其振動的影響.

利用簡正模態(tài)振型函數(shù)的正交性，剛性壁面聲腔內(nèi)點r 處聲壓p(r，ω)、無阻尼彈性板σ 點處振動速度v(σ，ω)=jωw(x，y，t)和施加在彈性板上平面波性質(zhì)的外力fp(σ，ω)，分別可表示為

式中，pq，ve，F(xiàn)e分別為聲腔內(nèi)聲場、板振動速度和外力的模態(tài)幅值;φq，se分別為剛性壁面聲腔聲場分布和無阻尼板振動的振型函數(shù).Pan 等［5］把φN，sM作為分析帶有阻尼的彈性板、具有聲阻抗的聲腔壁面的板-聲腔耦合系統(tǒng)的基函數(shù)，本文分析也采用此方法，即

式中，(l，m，n)為N 階聲腔模態(tài)的模態(tài)序數(shù);(u，v)為M 階板模態(tài)的模態(tài)序數(shù).考慮式(2)的聲腔壁面邊界條件，利用格林函數(shù)，式(1)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中，Af為z =Lz處彈性板表面;Al為z≠Lz處聲腔壁面;β 為壁面Al處的聲導(dǎo)納率，β =ρ0c0/Za;Ga為聲腔格林函數(shù)，即

式中，Gp為板的格林函數(shù).

式(13)展開可寫成

式中，I 為單位矩陣;λ =－jk;A11和A12分別為(N+M)×(N+M)階零矩陣和單位矩陣.

式中，kaN=ωaN/c0，kaN，ωaN分別為剛性壁面聲腔的第N 階聲模態(tài)波數(shù)和共振角頻率;kpM= ωpM/c0，kpM，ωpM分別為耦合前的第M 階板模態(tài)波數(shù)和共振角頻率;BN，M為第M 階板模態(tài)和第N 階聲腔模態(tài)之間的耦合系數(shù);MpM，MaN為第M 階板模態(tài)和第N 階聲腔模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量，MpM=ρhΛM，MaN=ρ0ΛN;ηpM，ηaN分別為第M 階板模態(tài)和第N 階聲腔模態(tài)的阻尼損耗因子，它們與對聲腔壁面導(dǎo)納率β 積分有關(guān)［5］，ηpM=4.4π/(TpMc0)，ηaN=4.4π/(TaNc0)，TpM，TaN分別為第M 階板模態(tài)和第N 階聲腔模態(tài)的60 dB 衰減時間.分析時假定所有TpM都相等，TaN都相等.

2 彈性板-聲腔耦合特性分析

2.1 模態(tài)耦合系數(shù)

模態(tài)耦合系數(shù)BN，M是板和聲腔的模態(tài)匹配程度，決定板模態(tài)和聲腔模態(tài)間是否耦合.由式(17)可知，耦合系數(shù)不為零，板模態(tài)(u，v)和聲腔模態(tài)(l，m，n)必須滿足條件:u+l 和v +m 均為奇數(shù).

2.2 傳遞因子

模態(tài)耦合系數(shù)決定板模態(tài)和聲腔模態(tài)之間是否耦合，而傳遞因子決定它們耦合的程度［5］，其中第N 階聲腔模態(tài)與第M 階板模態(tài)的傳遞因子FN，M為

其中

由式(19)和(20)可知，當(dāng)模態(tài)耦合系數(shù)BN，M≠0 時，傳遞因子FN，M≠0，此時第N 階聲腔模態(tài)與第M 階板模態(tài)之間的能量傳遞由以下因素決定:ωaN－ωpM，Lz等.傳遞因子FN，M趨于0，第N 階聲腔模態(tài)與第M 階板模態(tài)之間能量傳遞也趨于0;而當(dāng)FN，M?1，此時板與聲腔的模態(tài)耦合比較重要，有大的能量傳遞出現(xiàn).

2.3 耦合系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)衰減時間

板-聲腔耦合系統(tǒng)模態(tài)存在腔控模態(tài)和板控模態(tài)2 種.對于腔控模態(tài)，耦合系統(tǒng)的大部分能量儲存在聲腔聲場中，板控模態(tài)［5］與之相反.

由上面的理論分析可知，當(dāng)耦合系統(tǒng)不受激勵時，即Y=0，式(14)變成求解耦合系統(tǒng)的自由振動特征問題，可得到2(N+M)個特征值λL和其共軛值λ*L，其中L =1，2，…，N+M，耦合后的第L 階共振頻率和模態(tài)衰減時間分別為fL= Im(λL)c0/(2π)，TL=6.91/(Re(λL)c0).當(dāng)有外部激勵時，即Y≠0，對式(14)進行求解，得到的向量X 就是耦合系統(tǒng)受激勵時的板振動和聲腔聲場的模態(tài)坐標(biāo)，代入式(4)和(5)即可求得聲腔聲壓和板振動速度的分布.

得到聲腔內(nèi)聲場和板振動的模態(tài)坐標(biāo)后，聲腔內(nèi)聲勢能EaN和板振動能量EpM為

式中，ΛaN和ΛpM分別為N ×N 維和M ×M 維對角矩陣，對應(yīng)的對角線上的元素分別為ΛN和ΛM.

3 理論計算與分析

根據(jù)圖1的板-聲腔耦合系統(tǒng)模型，設(shè)頂面是7 mm 厚的鋁板，密度為2 770 kg/m3，楊氏模量為71 GPa，泊松比為0.33.聲腔內(nèi)空氣密度為1.21 kg/m3，聲速為344 m/s.

3.1 聲腔深度對板-聲腔耦合特性的影響

矩形聲腔聲場模態(tài)的共振頻率為

由式(23)可知，聲腔模態(tài)序數(shù)中n≠0 的共振頻率fl，m，n隨著聲腔深度Lz而改變.再由式(19)可知，當(dāng)聲腔模態(tài)和板模態(tài)間耦合系數(shù)不為零時，聲腔和板的模態(tài)間傳遞因子分為2 種情況:①當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n≠0 時，傳遞因子由對應(yīng)耦合前共振頻率差決定，差值越小，耦合越強;②當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n=0 時，其共振頻率不隨聲腔深度變化，此時傳遞因子由聲腔深度來決定，其隨聲腔深度增大而減小.

圖2 板模態(tài)和聲腔模態(tài)隨聲腔深度變化的傳遞因子(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

圖2(a)為板模態(tài)(1，1)和聲腔模態(tài)隨聲腔深度變化的傳遞因子，只有聲腔模態(tài)(0，0，0)和板模態(tài)(1，1)在分析的聲腔深度范圍有大的傳遞因子，但值小于1，并且隨著聲腔深度的增加，傳遞因子逐漸減小;由于此時聲腔模態(tài)序數(shù)n =0，傳遞因子由聲腔深度決定.圖2(b)中，只有聲腔模態(tài)(0，0，1)和板模態(tài)(3，1)在聲腔深度0.99 m 處傳遞因子約為1，其他聲腔模態(tài)和板模態(tài)(3，1)的傳遞因子都遠小于1.板模態(tài)(1，1)與聲腔模態(tài)(0，0，0)之間的傳遞因子由聲腔深度來決定，而板模態(tài)(3，1)和聲腔模態(tài)(0，0，1)之間的傳遞因子則由對應(yīng)耦合前共振頻率差決定.

由圖3可知，前5 階板控模態(tài)的共振頻率隨聲腔深度的增加，逐漸趨向于耦合前的板共振頻率.這是由于此聲腔深度范圍內(nèi)與板模態(tài)起主要耦合作用的聲腔模態(tài)序數(shù)n =0，傳遞因子大小由聲腔深度決定，對應(yīng)圖2(a)中傳遞因子隨聲腔深度的增加逐漸變小(板模態(tài)(1，2)、(2，1)、(1，3)、(2，2)與此相似)，并且在所分析的聲腔深度范圍內(nèi)都小于1，即板模態(tài)和聲腔模態(tài)間耦合逐漸變?nèi)酰⑶覠o強耦合.而隨著聲腔深度的變化，板控模態(tài)(2，3)、(3，1)、(1，4)的共振頻率出現(xiàn)向高頻躍變現(xiàn)象，其中板控模態(tài)(3，1)的共振頻率躍變出現(xiàn)在0.99 m 的聲腔深度處，對應(yīng)圖2(b)中傳遞因子約為1 的聲腔深度，即在此深度，板和聲腔的模態(tài)耦合前共振頻率接近相等.與板控模態(tài)(3，1)一樣，在板控模態(tài)(2，3)、(1，4)的共振頻率出現(xiàn)躍變的聲腔深度處，傳遞因子約為1.

圖3 聲腔深度對板控模態(tài)共振頻率的影響(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

對應(yīng)圖3中板控模態(tài)的共振頻率變化情況，圖4中前5 階板控模態(tài)衰減時間TL隨聲腔深度的增加逐漸趨于恒定值;而板控模態(tài)(2，3)、(3，1)、(1，4)的衰減時間則出現(xiàn)了峰值，這是由于在出現(xiàn)峰值處耦合最強，并且有大的能量傳遞.

圖4 聲腔深度對板控模態(tài)衰減時間TL 的影響(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

3.2 彈性板模態(tài)與聲腔模態(tài)耦合機理分析

由圖2(b)知，當(dāng)聲腔深度在0.956～1.03 m之間時，板模態(tài)(3，1)和聲腔模態(tài)(0，0，1)的傳遞因子出現(xiàn)約為1 的峰值，其余傳遞因子值遠小于1，滿足強耦合分析條件.分析時令作用在板表面處平面波Pin 的幅值Pin0為2 Pa，仰角α 和方位角θ均為0°，激勵頻率分別為腔控模態(tài)和板控模態(tài)的共振頻率.

當(dāng)板模態(tài)(3，1)和聲腔模態(tài)(0，0，1)的傳遞因子約為1 時，圖5(a)中腔控模態(tài)(0，0，1)與板控模態(tài)(3，1)的板振動能量與聲腔內(nèi)聲勢能之比接近相等;距離能量比相等處越遠，能量比相差越大.圖5(b)顯示隨著聲腔深度增加，與圖5(a)相同，板控模態(tài)(3，1)的衰減時間先增加到峰值點再減小，而腔控模態(tài)(0，0，1)則相反;在耦合最強的聲腔深度處，腔控模態(tài)(0，0，1)和板控模態(tài)(3，1)的衰減時間趨于相等.

圖5(c)中，隨著聲腔深度增加，腔控模態(tài)(0，0，1)和板控模態(tài)(3，1)的共振頻率變化有3 個特點:①共振頻率隨聲腔深度變化的曲線相交于一點，在相交點處耦合最強;并且離耦合最強點越遠，其偏離耦合前的固有頻率越小.②腔控模態(tài)(0，0，1)的共振頻率由高于耦合前的共振頻率變成低于耦合前的，出現(xiàn)了躍變現(xiàn)象，而板控模態(tài)(3，1)的共振頻率則相反.③腔控模態(tài)(0，0，1)的共振頻率變成了板控模態(tài)(3，1)共振頻率的延續(xù)，而板控模態(tài)(3，1)的共振頻率是腔控模態(tài)(0，0，1)共振頻率的延續(xù).

圖5 聲腔深度對板與聲腔耦合的影響(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

當(dāng)聲腔深度為0.990 4 m 時，耦合系統(tǒng)中板和聲腔2 部分的響應(yīng)如圖6和圖7所示，板的振型和耦合前(3，1)模態(tài)振型一樣，聲腔模態(tài)(0，0，1)的模態(tài)幅值遠大于其他階聲腔模態(tài).驗證了分析的耦合系統(tǒng)分別是腔控模態(tài)(0，0，1)和板控模態(tài)(3，1).

圖6 板振動速度分布(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

圖7 聲腔聲場模態(tài)幅值(TaN =15 s，TpM =0.5 s)

4 結(jié)論

1)模態(tài)耦合系數(shù)決定板模態(tài)和聲腔模態(tài)是否耦合.當(dāng)模態(tài)耦合系數(shù)不為零時，模態(tài)之間有可能耦合;反之，則一定不耦合.而傳遞因子決定板和聲腔的模態(tài)耦合程度，傳遞因子越大耦合越強，板和聲腔的模態(tài)之間能量傳遞也越大.

2)聲腔深度Lz對傳遞因子的影響分為2 種:①當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n=0 時，聲腔深度直接決定傳遞因子大小;②當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n≠0 時，傳遞因子由對應(yīng)耦合前共振頻率差決定.

3)調(diào)整聲腔深度使聲腔和板的模態(tài)間傳遞因子越大，則它們之間的耦合越強，耦合后的系統(tǒng)共振頻率、模態(tài)衰減時間較耦合前偏離越大.

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