一種共用定位銷的多工序夾具布局優化設計準則

張 磊 張志勝 周一帆 戴 敏 史金飛

(1 東南大學機械工程學院，南京211189)

(2 徐州工程學院機電工程學院，徐州221018)

在復雜產品的多工序裝配過程中，夾具系統定位元件的布局對保證產品的裝配質量至關重要.而在進行夾具布局的最優設計時，其設計準則直接影響到裝配的效率和精度.

一個夾具系統布局設計的準則主要依據對夾具系統的功能要求.一些學者將定位精度作為夾具首要的功能要求［1－3］.另外，夾持穩定性也是進行夾具布局設計需要考慮的方面，即確定加持力的大小和夾持位置以使工件在工作載荷下變形最小［4－6］.

然而，上述夾具布局優化設計準則僅局限于單工序，對多工序而言，由于缺少能夠描述多工序偏差傳遞和累積的數學模型，夾具布局優化設計問題鮮有文獻涉及.Jin 等［7］使用狀態空間方法首次建立了用于描述多工序裝配過程偏差傳遞和累積的狀態空間模型.由該模型提取出的夾具布局設計準則被Kim 等［8－11］用于多工序夾具布局設計.

本文將針對一種共用定位銷的多工序裝配夾具系統的布局問題，改進狀態空間方程，提出新的夾具布局設計準則.使用新準則進行多工序裝配夾具系統布局設計，結果表明該準則與Kim等［8］所提出的傳統準則相比同樣有效，且設計效率更高.

1 共用定位銷的多工序裝配過程表達

共用定位銷的多工序裝配夾具系統是指在復雜零件的裝配過程中，不同工序所使用的裝配夾具均共用同一定位銷.如圖1所示，某車輛側板裝配過程由4 個零件經4 道工序完成:工序Ⅰ進行A柱和B 柱的裝配;工序Ⅱ將A 柱和B 柱所組成的裝配部件與頂部側板裝配;工序Ⅲ將工序Ⅱ完成的裝配部件再與后圍側板裝配;工序Ⅳ進行裝配體上關鍵產品特征(KPC)M1～M10的檢測.

圖1 某車輛側板四工序裝配過程

上述4 道工序均使用了一面兩銷定位，若用定位銷(P1，i，k，P2，i，k)(i 代表零件，k 代表工序)表示不同工序上使用的夾具，上述裝配過程可表示為

式中，P1，i，k指定為圓柱銷，限定2 個自由度;P2，i，k為菱形銷，限定1 個自由度.上述裝配過程均使用了A 柱上的P1，1，k(1≤k≤4)作為共用定位銷，因此，本文定義該類夾具系統為共用定位銷的夾具系統.由于該夾具系統使用原有零部件上的銷孔，避免了在裝配體上重新開定位銷孔，簡化了工藝，所以應用廣泛.而如何設計此類夾具系統的最佳布局則是個高維非線性問題，Kim 等［8］所提出的傳統準則需進行高維矩陣計算，運算成本巨大，本文提出一種面向此類系統布局設計的新設計準則，為此需首先建立數學模型.

2 改進的狀態空間方程

共用定位銷的多工序裝配過程可用Jin 等［7］提出的線性狀態空間模型描述:

式中，Ak，Bk，Ck為與工序k 特性相關的常數矩陣;xk－1和xk為對應工序的偏差向量;yk為觀測向量;uk為偏差源;wk和vk為均值是零的系統噪聲.式(1)為尺寸偏差傳遞方程，式(2)為觀測方程.

如圖2所示，工序k 上零件i 所增加的偏差主要有2 部分［7］:重定位偏差dr，i，k和夾具定位元件隨機誤差造成的偏差df，i，k.圖2中，~xi，k－1表示向量的中間狀態.

圖2 工序k 上零件i 的偏差組成

式中，Δxi，k為零件i 在工序k 上增加的尺寸偏差量.如果記零件i 進入裝配線的初始工序為ki，那么，從零件i 進入裝配開始至工序k，其上所增加的偏差之和可表示為

將式(3)代入式(4)，可得

式中，xi，0為零件i 進入裝配前的原始尺寸偏差，不失一般性，記xi，0=0.式(5)可簡化為

測量方程為

式(6)、(7)即為改進后的狀態空間方程通式，對比式(1)、(2)，其區別在于給出了單一零件偏差狀態的構成及計算方法.由于裝配體是由若干零件裝配而成，若能計算出裝配體上某一零件的偏差狀態，則可由動力學分析得到裝配體上所有零件和KPC的偏差狀態.一般地，常用六維向量xi，k= {δxi，k，δyi，k，δzi，k，δαi，k，δβi，k，δφi，k}T表示工序k 上零件i 的實際位置與理想位置的偏差.其中，δxi，k，δyi，k和δzi，k為零件i 沿x，y，z 坐標軸的移動偏差量;δαi，k，δβi，k和δφi，k為旋轉角位移偏差量.若建立模型(1)，隨著工序增多，裝配的零件也愈多.設需要裝配的零件總數為n，則在最終工序N 上得到的xN的維數為6n，即使考慮平面裝配問題，xN的維數也有3n.以圖1的一面兩銷為例，x4為12 維.而建立模型(6)只需考慮單一零件的尺寸偏差傳遞和累積，其維數始終保持不變，這為后續問題的分析降低了難度.本文將運用式(6)、(7)，對共用定位銷的多工序裝配過程進行分析，推導出新的夾具布局設計準則.

3 夾具布局優化新準則

3.1 引理［7］

本文關注的是多工序夾具系統布局中的平面優化設計問題，即一面兩銷中定位銷的布局，故零件i 的偏差狀態可用3 維向量表示，xi，k= {δxi，k，δzi，k，δβi，k}T.根據文獻［7］，若零件為剛體，則有如下3 個引理.

引理1 當一個剛體零件與其理想位置有平移和旋轉時，如果旋轉角度δβ很小，那么在該零件上任取的2 點的偏差{δxa，δza}T和{δxb，δzb}T有下列關系成立:

式中，偏差系數矩陣

其中，(xa，za)，(xb，zb)為兩點的理想坐標.

引理2 零件偏差狀態df，i，k與其上夾具定位銷的隨機偏差存在近似線性關系，假設定位銷隨機偏差與定位銷之距相比很小，則有

式中，偏差系數矩陣

其中，Li，k為P1，i，k和P2，i，k兩點間的歐幾里得距離.

引理3 假設定位銷隨機偏差與定位銷之距相比很小，零件偏差狀態dr，i，k亦與其上夾具定位銷的隨機偏差存在近似線性關系，dr，i，k與定位銷隨機偏差的關系式與式(10)表達形式相同.由于dr，i，k表示的是零件i 從工序k－1 移至工序k 時產生的重定位偏差，故偏差系數矩陣且此時的Li，k指的是重定位時使用的定位銷之距.

引理1 表明了零件上任意2 點間的尺寸偏差關系;引理2 和引理3 表明由夾具定位銷隨機誤差造成的尺寸偏差df，i，k和重新定位帶來的尺寸偏差dr，i，k均與定位銷的隨機誤差存在近似線性關系.上述引理不僅在單一零件上適用，在裝配體上也同樣適用.

3.2 夾具布局優化新準則

對于共用定位銷的多工序裝配夾具布局，共用的定位銷所在零件的偏差狀態十分重要.若共用定位銷點的零件尺寸偏差狀態已知，則由引理1，其上所有KPC 的偏差狀態和與之剛性聯接的裝配體上的所有KPC 的偏差狀態均可知.

現假設共用的定位銷在工序1 的零件1 上，為P1，1，1，工序N 為測量工序，其上所有KPC 的最終偏差狀態由引理1 和式(6)、(7)可得

式中，Kij為零件i 上的第j 個尺寸特征.再由引理1，與零件1 剛性連接的任意零件的偏差狀態和其上KPC 的偏差狀態可表示為

式(15)表明最終裝配體上的Kij的變異與2 個距離有關:①從Kij到所屬零件P1，i，N的距離;②從Kij到零件1 上共用定位銷P1，1，1的距離.用lij和l′ij表示這2 個距離，如圖3所示.

圖3 零件i 上的尺寸特征Kij

由式(15)知，夾具布局優化的最終目標是使KPC 的最終偏差即yi，N最小，也就是最小.由引理2 和3 可知，Kij的偏差狀態僅與夾具定位銷的隨機誤差有關，假設δPs，i，k(x)和δPs，i，k(z)(s =1，2;1≤i≤n;1≤k≤N)獨立同分布，且方差為σ2.有

式(16)的證明如下:由引理2 知

同理可得

對于x1，N，有

則

式(17)加式(18)，得式(16)，證畢.

由式(16)可知，tr(var(yi，N))是yi，N所有項方差的和，故可用其表示Kij的偏差水平.一般地，對于單一KPC，可取下式作為確定夾具布局的設計準則:

設裝配過程有n 個裝配零件，每個零件上有ni個KPC，若使裝配完成后裝配體上所有KPC 的偏差之和最小，也就是使下式取得最小值:

式(20)即為多工序夾具布局的設計準則.由于式(19)中(4N－2)σ2是個固定值，故被略去.Γ表示的是裝配體上所有KPC 對不同夾具布局的敏感程度.與Kim 等［8］所提出的傳統設計準則Smax需進行高維矩陣運算相比，Γ 僅需進行平面定位點間的歐式距離計算，其計算效率必然得到提升.下面通過實例來驗證將Γ 用于夾具布局設計準則的有效性和計算效率.

4 實例驗證與比較

以圖1為算例，取定位銷直徑為10 mm，采用交換算法［12］在Matlab 7.0 中進行驗證.電腦主頻1.66 GHz，雙核處理器Intel T5500.分別采用Γ 和Smax作為夾具布局設計準則，采用交換算法計算最優解，將所得最優解分別轉化成Smax和Γ 的當量值.所得結果如表1所示.

表1 Γ和Smax的比較%

表1表明，采用Γ 作為夾具布局設計準則能夠得到與采用Smax作為夾具布局設計準則相近的結果，但計算所花費的時間卻節約了14%.這說明，所提出的新準則能夠保證解的有效性，同時計算效率更高.圖4為采用Γ 作為設計準則得到的夾具最優布局.

圖4 Γ作為設計準則用交換算法得到的夾具布局

5 結語

在將夾具定位銷的隨機偏差作為影響裝配體KPC 的主要誤差源時，使用傳統多工序設計準則對夾具布局進行設計，需要計算復雜的高維矩陣，影響了計算效率.本文則通過建立單個零件偏差傳遞和累積的多工序狀態空間模型，推導出了一種新的適用于共用定位銷夾具方案的夾具布局設計準則.相較傳統設計準則，該準則僅需計算定位銷點的平面歐式距離.實例證明，使用該準則進行夾具布局設計不僅有效，而且能夠節約計算成本，計算效率更高.

References)

［1］Asada H，By A.Kinematic analysis of workpart fixturing for flexible assembly with automatically reconfigurable fixtures［J］.IEEE Transactions on Robot and Automation，1985，1(2):86－93.

［2］Carlson J S.Quadratic sensitivity analysis of fixtures and locating schemes for rigid parts ［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2001，123(3):462－472.

［3］Zhang X P，Yang W Y，Li M.An uncertainty approach for fixture layout optimization using Monte Carlo method［C］//Proceedings of the Third International Conference on Intelligent Robotics and Applications.Shanghai，China，2010:10－21.

［4］Liu Z H，Wang M Y，Wang K D，et al.Multi－objective optimization design of a fixture layout considering locator displacement and force－deformation［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2012.doi:10.1007/s00170－012－4564－7.

［5］Selvakumar S，Arulshri K，Padmanaban K，et al.Design and optimization of machining fixture layout using ANN and DOE［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2012.doi:10.1007/s00170－012－4281－2.

［6］Dou J P，Wang X S，Wang L.Machining fixture layout optimisation under dynamic conditions based on evolutionary techniques ［J］.International Journal of Production Research，2012，15(50):4294－4315.

［7］Jin J H，Shi J J.State space modeling of sheet metal assembly for dimensional control［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，1999，121(4):756－762.

［8］Kim P，Ding Y.Optimal design of fixture layout in multistation assembly process［J］.IEEE Transactions on Automation Science and Engineering，2004，1(2):133－145.

［9］Kim P，Ding Y.Optimal engineering design guided by data－mining methods ［J］.Technometrics，2005，47(3):336－348.

［10］Tian Z Q，Lai X M，Lin Z Q.Robust fixture layout design for multi－station sheet metal assembly processes using a genetic algorithm［J］.International Journal of Production Research，2009，47(21):6159－6176.

［11］Izquierdo L E，Hu S J，Du H，et al.Robust fixture layout design for a product family assembled in a multistage reconfigurable line［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2009，131(4):81－89.

［12］Cook R D，Nachtsheim C J.A comparison for constructing exact D－optimal designs［J］.Technometrics，1980，22(3):315－324.