氟化梯度折射率塑料光纖帶寬特性計算

苗 圃 吳樂南

(東南大學信息科學與工程學院，南京210096)

塑料光纖(POF)由于其數值孔徑大、纖芯粗、柔韌性好、價格低廉、易于與光器件鏈接等優點而越來越多地用于高速寬帶接入網中.研究和測試表明［1－3］，氟化聚合物梯度折射率塑料光纖(PF－GIPOF)在近紅外區域具有較小的衰減和微弱的模式色散且能夠使用石英玻璃光纖(GOF)系統常用的光電器件而成為接入網中最優的傳輸介質選擇.影響帶寬的主要因素是色散［2－4］，因此建立準確的色散模型，選擇最優參量，可有效地提高光纖的帶寬性能和傳輸能力.

國內外眾多學者對光纖的色散模型進行了研究.Kurt 等［5－6］考慮了部分參數作用下的傳輸特性而忽略了其他參數對系統性能的影響，該類模型具有一定的應用局限.Garito 等［7］考慮到了模式耦合但忽略了模式損耗因素，僅在光源滿注入(OFL)條件下成立，給帶寬的預測帶來了限制.Gasulla等［8］推導出的多模光纖色散模型能夠很好地描述其傳輸特性，但實現困難，形式復雜，適用于理論研究卻不利于仿真計算.Yabre［9］分析了模式時延、耦合因子和衰減系數等因素，在限模注入(RML)和OFL 條件下推導出多模光纖色散模型，隨后Ge等［10］在此基礎上使用模式選擇激勵法提高傳輸帶寬，但實驗中細分的模式激勵卻不易準確實現.本文在文獻［8－14］色散計算和模式耦合及損耗定量估計的基礎上，綜合考慮了折射率指數、材料色散、衰減系數、光注入條件和光源特性等因素，分析了全色散模型，借助數值計算研究了帶寬特性，旨在選擇最優的光纖參量進而提升傳輸帶寬.

1 基帶功率傳輸函數分析與推導

假設a 為纖芯半徑，n1(λ)和n2(λ)分別為光纖軸心和包層處的折射率，λ 為激勵光源的自由空間波長，α 為纖芯折射率分布指數，r 為距光纖軸心的距離，則PF－GIPOF 的折射率滿足平方律分布:

圖1 PF-GIPOF 的折射率分布與工作波長關系

光纖中存在許多滿足Maxwell 方程解的模式，每個傳導模式的傳輸速度和傳播常數各有差異，但近鄰傳導模之間的傳播常數和速度卻近似相等，可將這些近鄰傳導模組合為模群.通過WKB 法可計算出單位纖長的模群延遲為［9］

令光纖長度為z，Ω 為基帶角頻率，P(λ，λ0)為時間非相干光源的光譜分布，Ceff(m，λ)和L(m，λ，z)分別為光源對m 模群的激勵系數和傳輸損耗，G(m，λ，z，Ω)為不同光入射條件下的模式耦合效應.假設式(1)所定義的PF－GIPOF 是線性系統，當a 較大且激勵光源頻譜線寬均方根W 滿足［10］

時，所激勵出的模式之間排列就會異常緊密，可認為m 是連續值，那么m 和λ 對功率貢獻的和值計算便可使用積分來代替.則在復頻域內其基帶功率傳輸函數可寫為

假設光源能量主要集中在中心波長λ0處，則Ceff(m，λ)，L(m，λ，z)和G(m，λ，z，Ω)可由它們在λ0處的值來代替，以簡化模型的分析計算.

用泰勒級數對式(2)左半部分展開，可得

為簡化計算，式(5)中第2 項和第3 項系數可分別由它們的平均值D0(λ0)和S0(λ0)來代替，取前3 項代入式(4)中，拆分化簡后可得

其中，色度色散效應傳輸函數為

模式色散效應傳輸函數為

由式(6)～(8)可看出，PF－GIPOF 的基帶功率傳輸函數可由2 個獨立的函數乘積組成，且色度色散與時延相關，而光源激勵、模式時延、差分模式損耗和模式耦合卻決定了模式色散.

2 色度色散效應計算

假設光源功率譜具有高斯線譜分布特征，即

將式(1)、(2)和(9)代入式(7)中，計算得

其中，w1=－ D0(λ0)Wz，w2=(S0(λ0)+2D0(λ0)/λ0)W2z.可看出，即使系統工作在零色散波長附近，由于S0(λ0)的存在，色度色散對帶寬的影響也不能忽略.當遠離零色散波長區域時對色度色散的制約作用可忽略.

3 模式色散效應計算

將式(8)對直流分量Hmd(λ0，z，0)進行歸一化:

式中，R(m，λ0，z，Ω)=Ceff(m，λ0)G(m，λ0，z，Ω)·L(m，λ0，z)e－jΩτ(m，λ0)z為m 模群在復頻域內的能量分布.

3.1 差分模式損耗的擬合

差分模式損耗(DMA)是指傳導模由于路徑不同造成各模式間損耗系數不同的現象.由于PFGIPOF 的制造材料、設備工藝及應用場合不同，因此DMA 至今沒有統一確定的計算公式.模式損耗L(m，λ0，z)=e－αT(m，λ0)z，大量的實驗數據擬合結果表明αT(m，λ0)滿足修正的貝塞爾函數［9］，可表示為

式中，α0(λ)為本征損耗;Iρ為ρ 階修正的第一類貝塞爾函數;η 為權重因子.根據測試數據找出合適的擬合因子ρ 和η，便可得出L(m，λ0，z)的解析表達式.

3.2 模式激勵系數

Ceff表示光耦合進入纖芯后不同傳導模的功率比例，其值與光入射條件有關.在OFL 條件下，光斑直徑與纖芯直徑相當，光錐角大于光纖的數值孔徑，傳導模被均勻地激勵，光波能量均勻分配，此時Ceff=1.而在目前中短距離高速數據傳輸試驗中，所用光源大多選擇受激輻射發光的半導體激光器或垂直腔面發射激光器，其發散角小、光束細且功率譜密度具有高斯線譜分布特征，注入到光纖截面的激光束直徑小于纖芯直徑，那么此時僅有部分傳導模被激勵承載光波能量，且各模式能量大小根據激光束半徑、注入到纖芯截面處的坐標和入射角數值孔徑的不同而各有差異.在RML 條件下，Ceff便可由激勵模式和入射激光電場強度的交迭積分計算得到.

假設激光束中心和光纖截面軸心對齊，與其幾何形狀耦合匹配，在光纖截面則呈現出半徑為w圓對稱的近場光分布.設(x，y)為纖芯截面平面坐標，則該點處的電場強度為

令Hu為u 次厄米特多項式，受激模式的厄米特－高斯場可近似表示為［10］

式中，w0為歸一化激光束半徑.則Ein(x，y)和ψuv(x，y)對纖芯截面的積分為

那么m 模群的功率激勵系數均值為

可求得被激勵的模群數為

MGB(λ)=M(α，λ)·

在一定的波長下，激光束所激勵的初始模群個數與w 有關，受激模群越少，其能量差異就越小，各模群所承載的光功率越易趨于平衡，模群到達接收端的時間就越趨于一致，導致輸出信號的脈沖展寬量就變小.因此，合理選擇激光束半徑，可以有效減小模式色散，提高傳輸帶寬.

3.3 模式耦合函數

傳導模沿光纖傳播時，各模式之間非獨立，能量會隨機地在相鄰模式間轉移，引起能量重新分配.通過以上分析，Ceff，L 和τ 都可得到完整的解析表達，但由于模式之間能量轉換的復雜性，卻很難得出G 的解析表達.在基于傳導模式為連續變量且能量耦合只發生在相鄰模式間的假設條件下［11］，可通過能流方程來測量模式耦合系數.基于此，同樣地可通過求解傳導模的功率流方程來表示R(m，λ0，z，Ω).綜合考慮式(11)中各個函數，參照Gloge 能流方程，可推出傳導模的功率流方程為

式中，d(m，λ0)為歸一化到M2(λ0)的模式耦合系數.對于此類偏微分方程，使用Crank－Nicholson 的格式有限差分法便可以求出R(m，λ0，z，Ω)的數值解，相應地Hmd(λ0，z，Ω)也可計算求解.

4 計算結果與分析

通過以上分析可知，PF－GIPOF 的長度、折射率指數、工作波長、激勵光源等參量影響著色度色散和模式色散，在不同條件下通過式(7)、(8)計算其頻率響應進而可得到其帶寬特性.由于模式耦合對帶寬影響甚微，在以下計算中取G =1.

4.1 傳輸參量計算與仿真

假設參數z =200 m，α =2，λ0=1 300 nm，芯/包直徑為120/490 μm，使用W =5 nm，w =20 μm的光譜高斯分布光源，通過式(1)可得n1=1.348，n2=1.336，Δ=0.009 5，數值孔徑NA=0.186 1.在1 300，850 和650 nm 工作波長下，保持其他參量不變，計算單位長度模群時延，結果如圖2所示.由圖可見，650 nm 的高階模群時延量要小于低階模群，而1 300 nm 的情況與其相反，850 nm 的模群間時延的差異最小.

圖2 不同工作波長下單位長度的模群時延對比

改變w，可得到被激勵的模群數與w 在不同工作波長下的仿真對比，如圖3所示.該類曲線呈開口向上的拋物線狀，不同波長的光源所激勵的模群總數也有所不同，可求得在w =11.76 μm 處的激勵模群最少.因此合理選擇w，使激勵模群總量越少，其能量分配就越易趨向平衡狀態，模群傳播常量差異就愈小，色散效應也就越弱，進而傳輸帶寬可得到相應提高.

圖3 不同光源激勵的模群數目對比

4.2 不同條件下的頻率響應計算與分析

令w =11.76 μm，z =100 m，采用文獻［11－13］中的實驗方法，取ρ =11，η =12.2 對式(12)數值擬合［14］，保持光纖其他參量不變，在考慮DMA 和忽略DMA 情況下，系統頻率響應計算對比如圖4所示.可以看出由于DMA 的作用，－3 dB 帶寬從1.56 GHz 提升到5.12 GHz.由于高階模群衰減大于低階模群，在傳輸一定距離后，高階模群會因劇烈衰減而消失，在輸出端的最大相對延遲不再位于m/M =0 和m/M =1 之間，而是在m/M =0 和某個小于1 的模群之間.因此，高階模的消失在一定程度上減小了模式間的最大時延，導致脈沖展寬減小，模間色散減弱.這從另一方面說明了DMA 對傳導模具有“濾波”作用，其帶寬的提高是色散和損耗的折中結果.取不同纖長的頻率響應，在忽略DMA、考慮DMA、使用Gasulla［8］模型和Tolga［5］模型情況下，計算出的－3 dB 帶寬分別為B1，B2，B3和B4，結果如圖5所示.可看出，B2和B3接近，但B3形式復雜不利于仿真計算，B4從脈沖時延角度統計帶寬，參數考慮不全面，結果與B1近似.

圖4 考慮DMA 和忽略DMA 情況下的頻率響應對比

圖5 －3 dB 帶寬與光纖長度的關系對比

DMA 可提高傳輸帶寬，但為了研究其他參數對帶寬的影響，就必須忽略DMA 以免與其他參數的作用發生混淆.由于α 影響著纖芯折射率的分布情況，α 不同，傳導模的路徑也就不同.保持材料參數和光源參數不變，α 分別取1.8，2.0，2.1，2.16和2.3，得到的頻率響應對比如圖6所示.α 增大，帶寬相應提高，但α 同時又影響著材料色散和模式耦合，并非愈大愈好.當α 逐漸增大以致折射率分布結構愈趨近于SIPOF 時，模式傳播路徑被延長，模式耦合便對傳輸特性起主導作用，帶寬反而急劇下降.因此選擇合理的α 可使模式間路程差最小，耦合效應最低，帶寬最大.計算后可知，α =2.16 時對應的最優－3 dB 帶寬為3.92 GHz.

圖6 不同折射率指數下的頻率響應對比

同樣地，α 仍取2.0，忽略DMA，其他參數同上，λ 分別取650，1 300 和1 550 nm 時，頻率響應對比如圖7所示.經計算可知盡管在1 550 nm 處存在較小的材料色散，但由于DMA 效應要比1 300 nm 處的小，在材料色散和DMA 對帶寬的影響中，DMA 仍占據主導作用，因此－3 dB 帶寬就小于1 300 nm 處的帶寬.所以，波長對帶寬的影響其本質是不同激勵條件下的材料色散和DMA 共同競爭的結果.通過圖4～圖7的頻率響應對比可知，帶寬特性是眾多傳輸參量共同作用的結果，改變單一參量并不能使傳輸性能最優.綜合考慮各個因素對傳輸特性的影響，合理選擇傳輸參量，才能最大程度地提升帶寬性能.

圖7 不同工作波長下的頻率響應對比

5 結語

PF－GIPOF 良好的物理特性和寬帶特性使其成為短距通信的最佳傳輸介質.本文在任意折射率圓對稱光纖傳輸參量計算的基礎上，理論分析了傳輸特性，推導出基帶功率傳輸函數，得到綜合折射率指數、材料色散、光注入條件等因素的色散計算模型，仿真得到模群時延和模式損耗的分布特性，取不同參數計算頻率響應和－3 dB 帶寬.實驗結果表明:DMA 在一定程度上可提高傳輸帶寬，合理選擇激勵光源和光纖傳輸參量可有效提高系統的通信性能.該色散模型可用于任意條件下PF－GIPOF 傳輸參量和帶寬的估算及仿真，為推動POF在數據通信等領域的應用奠定了理論分析和實驗基礎，具有一定的實用價值.

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