基于強(qiáng)擾動理論的蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁模型研究

趙雨辰 萬國賓

（西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，陜西 西安710129）

引 言

吸波材料的多功能化是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)之一，在軍事和民用領(lǐng)域都有十分重要的應(yīng)用價值.與早期的吸波材料相比，兼具吸波性能和承載功能的新型輕質(zhì)多功能吸波結(jié)構(gòu)已經(jīng)成為了吸波材料研究中的主要方向［1］.

蜂窩結(jié)構(gòu)復(fù)合材料不僅能夠較大幅度地減少材料的使用量，而且具有優(yōu)良的力學(xué)與電磁學(xué)性能.這些優(yōu)點(diǎn)使得蜂窩結(jié)構(gòu)復(fù)合材料在飛行器雷達(dá)隱身設(shè)計中占有重要的地位.然而蜂窩結(jié)構(gòu)本身幾何結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性往往會降低雷達(dá)吸波材料多功能化設(shè)計的效率.相比于實(shí)物測試［2］和全波分析［3］，一種更為方便快捷的方法是將蜂窩結(jié)構(gòu)等效為一定參數(shù)的平板模型［4］.這樣既不需要制作多個實(shí)物進(jìn)行測試，又可以避免全波分析中復(fù)雜的理論推導(dǎo)和數(shù)學(xué)建模，對提高多功能復(fù)合吸波材料的設(shè)計效率具有重要的意義.

國內(nèi)外許多學(xué)者都對蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁模型進(jìn)行了深入的研究.趙伯琳［5］采用介質(zhì)波導(dǎo)理論導(dǎo)出了蜂窩結(jié)構(gòu)吸波材料的特征方程，并指出寬頻帶內(nèi)蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁參數(shù)具有色散特性.Quievy等［6］同樣根據(jù)波導(dǎo)理論研究了填充有吸波泡沫的金屬蜂窩的吸波特性.Smith［7］通過使用時域有限差分法計算了蜂窩結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)，進(jìn)而提取并分析了不同情況下等效電磁參數(shù)的變化趨勢.Johansson等［8］和張永杰等［9］使用有限元法得到了蜂窩結(jié)構(gòu)的宏觀電磁參數(shù)，并指出Hashin-Shtrikman（HS）理論可以很好地描述蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁參數(shù)，而且HS上下界分別適用于不同的情況.賈寶富等［10］以及何燕飛等［11］將蜂窩孔簡化為橫截面為圓形的纖維，采用強(qiáng)擾動理論推導(dǎo)了蜂窩結(jié)構(gòu)吸波材料等效電磁參數(shù)的表達(dá)式并研究了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)時的吸波性能.總體來說，現(xiàn)有研究一方面表明了蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁參數(shù)具有色散特性，另一方面也給出了諸如HS上下界等方便使用的等效模型，但卻沒能將兩者結(jié)合起來，提出能在寬頻帶內(nèi)描述蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁參數(shù)色散特性的閉式數(shù)學(xué)表達(dá)式.

強(qiáng)擾動理論是一種解決該問題的可供選擇的方法.強(qiáng)擾動理論開始主要用來解決顆粒混合媒質(zhì)的問題［12］，進(jìn)而又被用來描述結(jié)構(gòu)型吸波材料的等效電磁參數(shù)［10-11，13］.對比兩類研究可以發(fā)現(xiàn)，在描述結(jié)構(gòu)型吸波材料的電磁參數(shù)時，以上文獻(xiàn)都是在長波長近似下，忽略了相關(guān)項的影響，從而得到了與頻率以及結(jié)構(gòu)單元尺寸無關(guān)的等效電磁參數(shù)的閉式表達(dá)式，而在描述顆粒媒質(zhì)的等效電磁參數(shù)時，考慮了相關(guān)項后，所得的表達(dá)式則能夠反映頻率以及顆粒尺寸的影響［14］.

本文旨在建立寬頻帶內(nèi)蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模型.通過建立蜂窩結(jié)構(gòu)的仿真模型，在雷達(dá)工作頻段2～18GHz的頻率范圍內(nèi)采用傳輸反射法提取了蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁參數(shù).其次對強(qiáng)擾動理論進(jìn)行了簡要的推導(dǎo)，通過對強(qiáng)擾動理論中的相關(guān)項進(jìn)行修正，建立了能夠描述蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁參數(shù)色散特性的等效模型，并在不同情況下對等效模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗證，且當(dāng)?shù)刃щ姶艆?shù)的色散特性發(fā)生變化時，采用優(yōu)化算法進(jìn)一步修正了強(qiáng)擾動理論中的相關(guān)項部分.最后對全文進(jìn)行了總結(jié).

1 蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁參數(shù)提取

圖1為蜂窩結(jié)構(gòu)的示意圖，蜂窩孔為正六邊形，y方向的尺寸為r.單個蜂窩孔由骨架材料包圍芯體材料構(gòu)成，骨架的厚度為w.虛線框所示為蜂窩結(jié)構(gòu)仿真模型所采用的單元結(jié)構(gòu).通過仿真計算可以得到蜂窩結(jié)構(gòu)的傳輸反射系數(shù)，即S11和S21參數(shù).根據(jù)傳輸反射法，蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁參數(shù)可由S參數(shù)表示為［15］

圖1 蜂窩結(jié)構(gòu)模型

式中：d是蜂窩材料厚度；k是自由空間波數(shù)；n和z分別是蜂窩材料的折射率和波阻抗.在寬頻帶內(nèi)使用傳輸反射法時，需要處理算法中的多值性［16］.

在雷達(dá)工作頻段內(nèi)高次模均為衰減模的條件下，取骨架材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為4和1，芯體材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為12-j1和3-j1，其中j為虛數(shù)單位，并保持兩種材料的占空比不變，即w＝0.1r，可得蜂窩結(jié)構(gòu)等效介電常數(shù)隨頻率以及蜂窩孔尺寸r的變化趨勢，如圖2所示.

圖2 r不同時等效介電常數(shù)的色散特性

從圖2可知，蜂窩結(jié)構(gòu)等效介電常數(shù)是具有色散特性的，并且其色散特性受到蜂窩孔尺寸的影響.等效磁導(dǎo)率具有相同的變化規(guī)律.由以上分析可以看出，蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模型應(yīng)具備反映其等效電磁參數(shù)色散特性的能力，僅由各組分材料的電磁參數(shù)和占空比是不能夠在寬頻帶內(nèi)準(zhǔn)確描述蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁參數(shù)的.

2 基于強(qiáng)擾動理論的等效模型

根據(jù)強(qiáng)擾動理論，若定義隨機(jī)媒質(zhì)的等效本構(gòu)張量為Ceq，則其表達(dá)式為［14］

式中：R是相關(guān)項；Cg是隨機(jī)媒質(zhì)的靜態(tài)等效本構(gòu)張量.Cg可以展開為

式中：εg和μg分別表示靜態(tài)介電常數(shù)張量和靜態(tài)磁導(dǎo)率張量；Ceq也可以展開成類似的形式.

當(dāng)頻率為0時，即長波長極限條件下，不存在相關(guān)項的影響，則可得

上式表明，Cg代表了頻率為0時隨機(jī)媒質(zhì)的等效本構(gòu)張量.若假設(shè)混合媒質(zhì)由N種成分組成，則其靜態(tài)等效本構(gòu)矩陣可由下式表示為

此時強(qiáng)擾動理論退化為Bruggman理論，即強(qiáng)擾動理論的零階近似，也就是文獻(xiàn)［10］～［11］，［13］所采用的等效模型.式中εi、μi、vi、Li分別是混合媒質(zhì)中第i種單質(zhì)的介電常數(shù)張量、磁導(dǎo)率張量、占空比以及退極化張量.蜂窩孔可以等效為橫截面為圓形的一致取向的纖維材料，并且由于骨架材料與芯體材料的取向一致，兩者退極化張量相同.一致取向纖維的退極化張量L表示為

當(dāng)不滿足長波長極限時，相關(guān)項的影響不能忽略，而相關(guān)項反映了等效介電常數(shù)εeq與頻率以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系［14］，因此在寬頻帶內(nèi)建立蜂窩結(jié)構(gòu)等效模型的關(guān)鍵是計算式（4）中的積分部分，即體現(xiàn)相關(guān)項R影響的部分.目前并沒有針對蜂窩結(jié)構(gòu)等效模型中相關(guān)項部分的研究，因此，本文給出了其經(jīng)驗公式.參考文獻(xiàn)［14］，寬頻帶內(nèi)蜂窩結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)可以表示為：

式中：等效模型在長波長極限下取HS理論的預(yù)測值，記為εHSg；＊表示取共軛；g（kgai）是影響等效電磁參數(shù)色散特性的核心部分，是波數(shù)kg以及各組份材料尺寸a的函數(shù)，其一般表達(dá)式為

式中，A、B等為待定系數(shù).骨架材料和芯體材料的尺寸 分別為w以及r-w.類似可得等效磁導(dǎo)率的表達(dá)式.

3 等效模型的驗證和修正

3.1 等效模型的驗證

在不同情況下對所建立的等效模型進(jìn)行驗證.首先以圖2中r＝2mm，w＝0.2mm的蜂窩結(jié)構(gòu)為例，骨架材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為4和1，芯體材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為12-j1和3-j1，屬于骨架材料電磁參數(shù)較小而芯體材料電磁參數(shù)較大的情況，經(jīng)驗公式中B取0.25-j0.125，其余系數(shù)為零.等效模型的效果如圖3所示.

從圖中可以看出，所建立的寬頻帶內(nèi)蜂窩結(jié)構(gòu)等效模型能夠較為準(zhǔn)確地描述其等效介電常數(shù)隨頻率的變化趨勢.進(jìn)而保持骨架材料和芯體材料的電磁參數(shù)和占空比不變，對r＝1mm，w＝0.1mm和r＝4mm，w＝0.4mm的情況進(jìn)行驗證，如圖4所示.

由圖4可知，當(dāng)蜂窩孔尺寸較小時，等效模型能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測蜂窩結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)，而當(dāng)蜂窩孔尺寸較大時，在頻率較低的情況下，等效模型的準(zhǔn)確性依然較高，但當(dāng)頻率進(jìn)一步增大時，等效介電常數(shù)隨頻率的變化趨勢較低頻時平緩，此時原等效模型已經(jīng)不能準(zhǔn)確預(yù)測蜂窩結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)，需要進(jìn)一步對等效模型中的g（kgai）項進(jìn)行修正.

圖5研究了骨架材料電磁參數(shù)較大的情況，其中蜂窩結(jié)構(gòu)的單元尺寸分別取r＝2mm，w＝0.2mm和r＝4mm，w＝0.4mm，骨架材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為24-j1和3-j1，芯體材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為6-j0.2和1，經(jīng)驗公式中B取0.4-j0.2，其余系數(shù)為零.

圖5顯示等效模型在蜂窩孔尺寸較小時能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測蜂窩結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)，而當(dāng)蜂窩孔尺寸較大但頻率較低的情況下，等效模型能夠較為準(zhǔn)確地反映等效介電常數(shù)的色散特性，但當(dāng)頻率進(jìn)一步增大時，預(yù)測值與實(shí)驗值的偏差較大.

以上的幾個算例對應(yīng)于蜂窩孔內(nèi)填充吸波泡沫等材料的情況，而另一種具有實(shí)際價值的例子是蜂窩壁上涂覆一層吸收劑，其結(jié)構(gòu)如圖6所示.

對于這種情況，計算時先使用式（9）計算由吸收層包圍空氣組成的較小的蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁參數(shù)，進(jìn)而將所得到的等效電磁參數(shù)與骨架材料的電磁參數(shù)再代入式（9）即可得到整個結(jié)構(gòu)的等效電磁參數(shù)［10-11］.分別取r＝2mm 和r＝4mm，并保持w＝0.1r，d＝0.3（r-w）不變，骨架材料和吸收材料的電磁參數(shù)與圖3實(shí)驗相同，經(jīng)驗公式中B取0.5-j0.167，其余系數(shù)為零.等效模型的效果如圖7所示.從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，等效模型對于涂覆型蜂窩結(jié)構(gòu)是適用的，但當(dāng)蜂窩孔尺寸較大且頻率較高的時候，等效模型同樣不能夠準(zhǔn)確描述等效介電常數(shù)隨頻率的變化趨勢.

圖7 涂覆型蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模型驗證

3.2 相關(guān)項部分的修正

以上的驗證分析一方面說明強(qiáng)擾動理論是建立寬頻帶內(nèi)蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁模型的有效方法，另一方面也顯示現(xiàn)有相關(guān)項部分的經(jīng)驗公式并不足以描述所有情況下蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁參數(shù)的色散特性，特別是當(dāng)蜂窩孔尺寸較大且頻率較高的時候.因此，本小節(jié)通過優(yōu)化算法對相關(guān)項的修正進(jìn)行了初步的討論.以圖4中r＝4mm的蜂窩結(jié)構(gòu)為例，g（kgai）分別取式（10）中的前三項和第二項，記為g1（kgai）和g2（kgai）.在2～18GHz內(nèi)選取一定數(shù)目的參考頻點(diǎn)，定義優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)為這些參考點(diǎn)處等效模型預(yù)測值與實(shí)驗值之差的絕對值之和，進(jìn)而通過運(yùn)行優(yōu)化算法即可得到相關(guān)項中的各個待定系數(shù).

g1（kgai）和g2（kgai）的逼近效果如圖8所示.其中，優(yōu)化算法以2GHz為起點(diǎn)，間隔1GHz選取一個參考點(diǎn)，共17個參考點(diǎn).運(yùn)行優(yōu)化算法可得g1（kgai）的待定系數(shù)分別為-0.318 7-j0.476 1、1.602 5-j0.156 9、-0.312 2＋j0.008 7，g2（kgai）中的待定系數(shù)為0.631 8-j0.150 6.由圖8可知，當(dāng)蜂窩孔尺寸較大時，g（kgai）取更多的項等效模型的逼近效果越好，說明此時所對應(yīng)的相關(guān)項的表達(dá)式更為復(fù)雜.而蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁模型中相關(guān)項部分更一般的閉式表達(dá)式還有待進(jìn)一步研究.

圖8 g1和g2的逼近效果比較

4 結(jié) 論

本文基于強(qiáng)擾動理論，對寬頻帶內(nèi)蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁模型進(jìn)行了研究，得到以下結(jié)論：

1）強(qiáng)擾動理論是建立寬頻帶內(nèi)蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁模型的有效方法，其中的相關(guān)項是影響等效模型色散特性的核心部分；

2）當(dāng)蜂窩孔尺寸較小或者蜂窩孔尺寸較大但頻率較低時，本文所建立的等效模型能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測不同情況下蜂窩結(jié)構(gòu)的等效電磁參數(shù)；

3）當(dāng)蜂窩孔尺寸較大且頻率較高時，蜂窩結(jié)構(gòu)等效電磁參數(shù)的色散特性會發(fā)生變化，需要進(jìn)一步修正強(qiáng)擾動理論中的相關(guān)項部分.

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