金屬多面體上低剖面天線的矩量法分析

劉玉龍 金元松 何紹林

（中國電波傳播研究所，山東 青島266107）

引 言

現代通信環境越來越復雜，對天線的要求也越來越高，天線設計不僅要考慮增益、方向性、掃描角等電氣技術指標的要求，還必須考慮天線本身的機械特性、空氣動力學特性等，特別是車輛、軍艦、飛機等快速移動載體上的天線更是如此.低剖面天線因其輪廓低、重量輕、風阻小及易于實現與載體共形等特點，很好地解決了上述問題.

國外早在20世紀70年代就開始了對低剖面天線的研究，國內也進行了相關的研究，如適合于飛機和艦艇的橫電磁波線天線［1］，火車與站臺通信的倒L型天線，適用于轎車、飛行器上的倒F天線以及廣泛用于便攜電話的平面倒F型天線等［2-3］.

采用矩量法分析了經典文獻［4］中金屬平板上的單極子天線，對細線結構、面結構及線面連接處，分別選用三種類型的三角形基函數，在面結構單元重合時采用了精確快速的奇異性處理方法［5］，并首次應用該方法進行了基于電場積分方程的阻抗矩陣推導，將計算結果與FEKO軟件結果作比較，驗證了方法的有效性.采用本文方法分析了金屬立方體上的電小環天線.

1 理論分析

1.1 模型分解和基函數選取

對于任意形狀金屬導體上的線天線目標，為了使模型盡量逼近真實電流分布以及滿足各連接處電流連續性，可以將導體模型分成三個部分：細線模型、表面模型和線面連接模型.對于細線模型采用直線分段，面結構采用三角形剖分.三角形面元由于其靈活性在分析任意形狀物體的電磁問題時有不可替代的優越性.而對于細線模型、表面模型和線面連接模型的基函數分別選取分段三角基函數、RWG（Rao-Wilton-Gisson）矢量基函數［6］和線面連接基函數［3］，基函數的變量如圖1（a）、（b）、（c）所示.

圖1 基函數示意圖

基函數的表達式分別為

式中：W 表示細線結構；S表示面結構；J表示線面連接處.

根據上述三種模型及基函數可以得到導體面上的電流為

細線結構上的電流為

式中NS，NW，NJ分別為面結構、細線結構以及線面結合處未知電流展開系數的個數.

1.2 建立矩陣方程

將本文分析的目標看作理想導電體，對于導體表面采用電場積分方程（EFIE），

式中：下標“tan”表示切向分量；格林函數G（r′，r）＝e-jkR/4πR，R＝｜r-r′｜表示場點和源點之間的距離.對于線天線，由于是細線結構，天線上電流分布的電場積分方程可由式（6）簡化得到，設沿天線方向的單位矢量為，則有

對方程（6）和（7），采用伽略金方法，即加權函數仍采用展開基函數fWn，fSn，fJn，可以得到如下矩陣方程

式中：Zγβ，（γ，β＝S，W，J）分別表示面結構、細線結構和線面連接處之間的相互作用及自作用矩陣；Iβ，Vβ（β＝S，W，J）分別代表不同結構模型的電流展開系數矩陣和電壓矩陣.

對矩陣方程（8）的求解主要是求解阻抗矩陣元素Z，對于相互作用的矩陣元素，為簡化求解過程可以采用中心近似，但自作用矩陣元素必須處理積分奇異性.以面結構為例，矩陣元素的表達式為

式中：F（r，r′）＝（r±′-r±ni）·（r±-r±mj）-4/k2，r′，r分別是源點和場點；A±n、A±m，rin，rmj（i，j＝1，2，3）分別為源點、場點三角形的面積和頂點；lni，lmj分別是頂點對應的公共邊的邊長.

1.3 積分奇異性的處理

對于細線單元的奇異性，可以將源點和場點分別選在細線的中心和表面，消除奇異性.而對于三角形面元重合時需要計算奇異性函數的兩重面積分（即4維積分），該積分的計算直接影響到矩陣方程的計算效率和求解精度.對該積分的外層面積分一般采用直接數值積分法，而對應于源點的內層奇異性積分常采用奇異值提取技術［7］和Duffy坐標變換法［8-9］.奇異值提取法的奇異性積分部分具有解析結果，但非奇異性積分部分的被積函數不滿足連續可導的條件，嚴重影響積分精度.Duffy坐標變換法具有廣泛的適用性，但計算量較大.

利用參數坐標變換、相對坐標變換將奇異性積分的積分區域進行重新分區；然后利用廣義Duffy坐標變換將奇異性積分轉化成非奇異性積分；同時，在此過程中4維積分的某些維積分可以解析求出，降低了數值積分的積分維數，提高了數值積分效率和計算精度.

當場源三角形單元重合時，將場源三角形的空間坐標分別用面積坐標（ξ1，ξ2），（η1，η2）表示后，交換ξ2和η1的積分次序并引入相對坐標（u1，u2）變換

可以將原4維積分式（10）（以三角形面元重合時的Z＋＋nn為例并簡記為Z）拆為6個4維的分區域積分，

式中：ξ＝（ξ1，ξ2）、u＝（u1，u2），6個4維積分的積分區間劃分見文獻［5］.

利用式（11）可將場源之間的距離R表示為

式（13）表明，距離R僅是相對坐標u的函數，與面積坐標ξ無關.由于對u積分區域的對稱性可以將式（12）的6個積分合并成為3個積分［5］：

對于平面三角形單元上的RWG矢量基函數，式（14）中的F（ξ，u）和F（ξ＋u，-u）總是ξ的二次多項式，且距離R與ξ無關，因此，式（14）中關于ξ的積分可解析求出，并表示為

對式（15）的外兩層積分作廣義Duffy坐標變換［5］，可將每個積分Pl均轉換為非奇異性積分：

三角形面元重合時的自阻抗矩陣元素為

式中：場源之間的距離R為

式中：

（rn1，rn2，rn3）為場源三角形單元的三個公共結點坐標 .從式（18）可以看出積分區域內無論取何值總有R（x）≠0，因此含有奇異性的積分式（12）就轉換成了非奇異性積分.經過復雜的積分運算可以求出式（17）中Ql（ω，x）的解析表達式：

式中：

i，j＝1，2，3，i與j的取值由三角形面上RWG矢量基函數的方向決定.

由于式（17）的被積函數總是可以寫成ω的多項式和e-jkωRl（x）相乘的形式，ω 的積分可以解析的求出，從而式（17）也可進一步化成相關的一維數值積分.由于化簡過程更加繁瑣，本文直接用二維數值積分.

2 數值結果

首先選擇經典文獻［4］中平板及單極天線的尺寸，平板0.914m×0.914m，單極天線高度0.421 m，線徑0.008m，頻率范圍140～200MHz，饋電在線面連接處采用δ電壓源，各頻率點的輸入阻抗如圖2所示.

從圖2可以看出，本文方法與FEKO軟件計算結果吻合很好，證明了本文公式推導及計算方法的正確性.

采用本文方法分析金屬立方體上不同位置的低剖面電小環天線，如圖3所示.

線高度0.3m，寬度0.8m，線徑0.01m；立方體邊長8m×8m×8m.天線饋電端為a1，負載端為b1，在位置1、位置2及位置3處的坐標分別為a1（4.4，4，8），b1（3.6，4，8）a2（4.4，5.6，8），b2（3.6，5.6，8），a3（4.4，7.2，8），b3（3.6，7.2，8）.頻率為 30 MHz時，環天線在三個不同位置的輸入阻抗如表1所示，遠場區總場輻射方向圖如圖4所示.

表1 金屬立方體上環天線的輸入阻抗

由表1及圖4可以看出：電小環天線的阻抗特性隨位置變化不敏感，并且通過調節可以獲得較好的心形輻射.因此，在對電特性影響較小的情況下可以將環放在金屬載體的不同位置，這對在有限空間上（如車輛頂部、軍艦艦體兩側、飛機兩翼）設計低剖面天線或天線陣提供了有利條件.

圖4 金屬立方體上低剖面電小環天線的方向圖

3 結 論

采用矩量法將任意導體上的低剖面天線進行整體分析，并首次對文獻［5］的精確快速算法進行了完整的公式推導及應用.雖然，文中是以金屬立方體上的單副電小環天線為例進行分析，但方法本身適用于任意形狀金屬導體上低剖面天線或天線陣的分析與設計.

［1］MITTRA R.Computer Techniques for Electromagnetics［M］.Oxford：Pergainon Press，1973.

［2］秦 益.飛行器載低剖面倒F天線特性分析［J］.遙測遙控，2004，25（5）：35-43.QING Yi.Characteristics of inverse F antenna onboard aircraft［J］.Telemetry ＆ Telecontrol，2004，25（5）：35-43.（in Chinese）

［3］SATO K，MATSUMOTO K，FUJIMOTO K，et al.Characteristics of planar inverted-F antenna on a rectangular conducting body［J］.Trans IECIE，1988，J71-B：1237-1243.

［4］HWU S U，WILTON D R.Electromagnetic Scattering and Radiation by Arbitrary Configurations of Conducting Bodies and Wires［R］.Houston：University of Houston，1987.

［5］趙延文，聶在平，徐建華，等.基于RWG基函數的伽略金法中奇異性積分的精確快速計算［J］.電子學報，2005，33（6）：1019-1023.ZHAO Yanwen，NIE Zaiping，XU Jianhua，et al.Accurate and efficient calculation of singular integrals in Galerkin method with RWG basis functions［J］.Acta Electronica Sinica，2005，33（6）：1019-1023.（in Chinese）

［6］RAO S M，WILTON D R，GLISSON A W.Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape［J］.IEEE Trans Antennas and Propagat，1982，30（3）：409-418.

［7］GRAGLIA R D.On the numerical integration of the linear shape functions times the 3-D Green’s function or its gradient on a plane triangle［J］.IEEE Trans Antenna and Propagat，1993，41（10）：1448-1455.

［8］DUFFY M G.Quadrature over a pyramid or cube of integrands with a singularity at a vertex［J］.SIAM J Numer Anal，1982，19（6）：1260-1262.

［9］CHEW W C，JIN J M，MICHIELESSEN E，et al.Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics［M］.Boston：Artech House，2001.