雙基地多入多出雷達收發(fā)方位角聯(lián)合估計算法

陳顯舟 楊 源 韓靜靜 李立萍

（1.中國電子科技集團公司第十研究所，四川 成都610036；2.中國人民解放軍93975部隊，新疆 烏魯木齊830005；3.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都611731）

引 言

為了適應(yīng)現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭的需要，與傳統(tǒng)相控陣雷達相比，在目標(biāo)探測、雜波抑制、抗干擾、低截獲、目標(biāo)參數(shù)估計精度、目標(biāo)識別等方面具有明顯優(yōu)勢的多入多出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷達的概念和相應(yīng)的信號處理技術(shù)日益受到科研工作者的廣泛關(guān)注.傳統(tǒng)雙基地雷達在反隱身、抗干擾、抗反輻射導(dǎo)彈等方面極具優(yōu)勢，但是時間、角度、頻率（相位）如何同步技術(shù)上很難實現(xiàn).將MIMO技術(shù)引入到雙基雷達中，在無需角度同步先決條件下，實現(xiàn)二維收發(fā)方位角的同時測量，回避了雙基雷達“角度同步”難題，雙基MIMO雷達集合前兩種技術(shù)優(yōu)勢于一身，發(fā)展前景極為廣闊.

小陣元間距收發(fā)天線分置的雙基MIMO雷達，通過多個發(fā)射天線同時向外輻射一組正交信號，利用波形分集和接收端多通道相干處理，增加了系統(tǒng)的自由度和可檢測目標(biāo)數(shù)目，角度空間分辨率和參數(shù)的估計性能也進一步得到提高.針對此種雙基MIMO雷達高精度目標(biāo)定位方法，文獻［1］和［2］分別提出了基于二維多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）和Capon譜峰搜索的收發(fā)方位角的聯(lián)合估計算法，但是二維譜峰搜索運算負擔(dān)極為繁重，且運算復(fù)雜度和估計精度均與搜索的步長有關(guān)，不便于實際應(yīng)用.為了降低運算復(fù)雜度，文獻［3］將旋轉(zhuǎn)不變子空間（Estimating signal parameters viarotational invariance techniques，ESPRIT）算法［4-5］同時應(yīng)用到發(fā)射端和接收端，利用信號子空間的旋轉(zhuǎn)不變性，來估計目標(biāo)的發(fā)射和接收方位角，但需要額外的角度配對.文獻［6］在文獻［3］的基礎(chǔ)上，根據(jù)兩次ESPRIT的關(guān)系，避免了目標(biāo)的二維方位角參數(shù)配對過程，但仍需要兩次樣本協(xié)方差矩陣估計及特征分解過程，算法的運算復(fù)雜度仍不容小覷.文獻［7］利用 MIMO雷達形成的虛擬陣列數(shù)據(jù)來構(gòu)造兩個二階統(tǒng)計量并對其進行聯(lián)合對角化得到了目標(biāo)方位角和俯仰角的閉式解.該方法解決了存在一維角度兼并時目標(biāo)的二維波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計問題，且無需二維譜峰搜索和參數(shù)配對.但該方法陣列孔徑損失較大，尤其是當(dāng)接收陣元數(shù)較少時，將出現(xiàn)較大的角度估計偏差.文獻［8］基于MIMO雷達虛擬陣元孔徑擴展效應(yīng)，在發(fā)射端配置兩個或三個天線，在接收端虛擬出發(fā)射陣元，從而可以在接收端利用DOA矩陣方法同時估計目標(biāo)的去波方向（Direction of Departure，DOD）和DOA，在多目標(biāo)情形下，利用此方法得到的二維收發(fā)方位角由于特征值和特征向量的一一對應(yīng)特性能夠自動配對.但是，該方法沒有充分利用接收端的虛擬發(fā)射陣元效應(yīng)來改善DOD和DOA的角估計性能，陣元利用率不高，且有效角度估計范圍較小.文獻［10］通過解耦合處理，將二維的收發(fā)方位角分離為兩個一維方位角估計過程，采用兩次多項式求根分別進行估計，避免了二維譜峰搜索，極大降低了計算量，且無需額外的配對算法，最大可定位數(shù)目不少于接收陣元數(shù)目.不足之處是該方法僅利用了特征值信息，沒有聯(lián)合利用特征矢量信息，角估計性能有進一步提升的空間.

在文獻［8］構(gòu)造的雙發(fā)射天線小間距雙基MIMO雷達模型基礎(chǔ)之上，提出了一種基于多項式求根理論的DOD和DOA聯(lián)合估計算法.所提方法相對于文獻［8］方法，最多可檢測目標(biāo)數(shù)目翻番，空間角分辨率更高，有效測角范圍更加寬廣，穩(wěn)健性更好，運算復(fù)雜度相對于文獻［8］方法略微增加，但以此代價換取性能的極大改善是值得的.所提方法相對于文獻［8］和［10］方法，在低信噪比或短采樣數(shù)據(jù)情形下角估計性能更好.最后，通過多次相互獨立的蒙特卡洛實驗驗證了所提算法的有效性和實用性.

1 數(shù)據(jù)模型

考慮如圖1所示的雙基MIMO雷達系統(tǒng)，發(fā)射和接收布置成小天線間距均勻線陣，其中發(fā)射和接收天線數(shù)分別為M，N，天線間距分別為dt，dr.假定空域存在P 個目標(biāo)，其中（φp，θp），（p＝1，2，…，P）為目標(biāo)相對于發(fā)射和接收陣列的方位角.設(shè)定雷達工作在窄帶遠場平面波條件下，且接收和發(fā)射位于同一相位中心，M個發(fā)射陣元同時向外輻射一組相互正交的重復(fù)周期相位編碼信號，滿足＝1，2，…，M 且i≠j，si和sj分別表示第i和j個陣元發(fā)射的信號矢量，L為在每個重復(fù)周期內(nèi)的相位編碼個數(shù)，也即一個脈沖內(nèi)的碼長.假定在每個重復(fù)周期內(nèi)目標(biāo)的雷達散射截面積（Radar Cross-Section，RCS）保持不變，而在不同重復(fù)周期之間目標(biāo)的RCS是獨立變化的，并且不同目標(biāo)的RCS波動是不相關(guān)的.發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量分別記作at（φ）＝，相應(yīng)的目標(biāo)反射系數(shù)分別為α1，α2，…，αP，由于不同目標(biāo)的反射系數(shù)及路徑損耗不同，假定αP服從均值為0、方差為σ2p的復(fù)高斯分布.則接收陣列的回波信號表示為［9-10］

圖1 雙基MIMO雷達系統(tǒng)示意圖

式中：fdp＝（vtp＋vrp）/（λfr）表示第p 個目標(biāo)的歸一化多普勒頻率，vtp和vrp分別表示第p個目標(biāo)相對于發(fā)射和接收陣列的徑向速度，fr為脈沖重復(fù)頻率，λ為載波波長；S＝［s1… sM］T；W 為均值為0、方差為σ2w的加性復(fù)高斯白噪聲矢量，且與信號部分相互獨立.利用M個發(fā)射信號分別對每個接收陣元接收的Q個脈沖的回波信號進行匹配濾波，將匹配后的接收信號寫成矩陣形式，可表示為

式中：Z＝［Z1…ZQ］∈CMN×Q，Zq∈CMN×1，q＝1，2，…，Q，表示第q個發(fā)射脈沖時回波信號通過相關(guān)接收機組得到的 MN×1維矢量；A（φ，θ）＝At（φ）□Ar（θ）＝［at（φ1）?br（θ1）… at（φP）?br（θP）］，□ 和 ?分別指代Khatri-Rao乘積和Kronecker直積，αpq（p＝1，2，…P；q＝1，2，…，Q）為第p個目標(biāo)在第q個發(fā)射脈沖掃描時的目標(biāo)反射系數(shù).由式（2）可知，接收陣列可等效為陣元數(shù)為MN的虛擬陣列，其輸出數(shù)據(jù)的快拍數(shù)為Q.

2 所出算法描述

假設(shè)發(fā)射端包含兩個發(fā)射陣元，即M＝2，則由式（2）可得第一、二個發(fā)射陣元對應(yīng)的接收信號矩陣分別為

式中：A1＝Ar（θ）；A2＝A1D，D＝diag；V1和V2為加性高斯白噪聲矢量.

鏈接陣列輸出數(shù)據(jù)Z1，Z2，有

式中：

為擴展導(dǎo)向矢量.

由以上假設(shè)可得，擴展陣列協(xié)方差矩陣為

式中：Γ＝E （Σ（tq）ΣH（tq））為P×P維非奇異矩陣；σv2＝（1/L）σ2w；E（·）為對隨機變量取期望操作符；（·）H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置.

對R進行特征分解，可得

R的P個大特征值Λs＝diag（λ1λ2… λP）對應(yīng)的特征矢量張成信號子空間，（2 N-P）個小特征值Λn＝diag（λP＋1λP＋2… λ2N）對應(yīng)的特征矢量張成噪聲子空間，兩者相互正交.二維收發(fā)方位角估計通過最小化式（10）可得，且有

整個偽譜峰值搜索在一個二維平面內(nèi)展開，運算復(fù)雜度極高，難以適應(yīng)實時測向系統(tǒng).

依據(jù)式（7）和（10）的代價方程可改寫為如下形式：

式中，子陣Un1和Un2維數(shù)相同，

且U1＝Un1UHn1，U2＝Un1UHn2，U3＝Un2UHn1，U4＝Un2UHn2.

通過如上的解耦合處理，使得二維最小化問題變成兩個相互獨立的一維最小化問題，大大降低了運算量，便于實時處理.

令

br（θ）可改寫為

此時，矩陣Θ 為μ 的方程.θp，p＝1，2，…，P，可通過求解μ的如下等式獲得

θp的估計問題就轉(zhuǎn)換成一個多項式求根問題，可以通過計算高效的求根算法得到其解.

μ的多項式可以表示為如下形式

式中：

因而，mk為μ的多項式，其第i個系數(shù)由Uk（k＝1，2，3，4）的第i條對角線的和得到，其中i＝-N＋1為下對角線，i＝N-1為上對角線.設(shè)uk＝［uk，1… uk，i… uk，2N-1］T表示多項式mk系數(shù)的列向量，有

式中：

可以得到如下關(guān)系式為

因此，多項式m1m4和m2m3的系數(shù)分別等于矩陣u1u4T和u2u3T的反對角元素的和 .令gq＝［gq，1… gq，f… gq，4N-3］T為包含4N-3個系數(shù)的列向量，

式中：H1＝u1uT4；H2＝u2uT3.則可以得到

由此式（16）可以改寫為

式（26）的根可以通過高效的多項式求根算法得到.θp，p＝1，2，…，P，可通過求解如下等式獲得：

同時，φp，p＝1，2，…，P，由p對應(yīng)的最小特征值的特征矢量得到，即

μp表示多項式用于求解p的一個根 .根據(jù)多項式系數(shù)的對稱性，我們可以選擇P個最靠近單位圓的不等根作為μp的估計值.

多項式det｛Θ｝的自由度為4 N-4，包含4 N-3個系數(shù).因此，根的總數(shù)為4 N-4，由于其根成對出現(xiàn)，所提方法最多可以估計2（N-1）個信號源的二維收發(fā)方位角，約為文獻［8］方法的兩倍，所提算法的空間角分辨率更高，在低信噪比或短采樣數(shù)據(jù)情形下角估計性能更好，有效測角范圍更加寬廣，穩(wěn)健性更好.由于特征值和特征矢量存在一一對應(yīng)關(guān)系，所估得的二維收發(fā)方位角能夠自動配對，不需要額外的配對算法.

3 運算復(fù)雜度分析

所提算法需要如下幾個步驟：①依據(jù)式（5），鏈接接收陣列匹配濾波后的數(shù)據(jù)矩陣Z1，Z2；②求取鏈接后陣列數(shù)據(jù)的樣本協(xié)方差矩陣，并對其作特征分解，獲得信號和噪聲子空間；③對得到的噪聲子空間按照式（13）進行劃分，得到子陣Un1和Un2，進而求得Uk，k＝1，2，3，4；④由Uk（k＝1，2，3，4）的各條對角線元素之和，依據(jù)式（20），求得多項式mk（k＝1，2，3，4）系數(shù)列矢量uk；⑤依據(jù)式（21），（22）求得多項式m1m4，m2m3的系數(shù)列矢量，據(jù)此求得多項式（26）的根，反解式（27）獲得收方位角估值p，p＝1，2，…，P；⑥得到p對應(yīng)的最小特征值的特征矢量，反解式（28）即可獲得發(fā)方位角估值p，p＝1，2，…，P.

通常情況下，為了獲得陣列協(xié)方差矩陣的有效估計，陣列接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)Q遠大于陣列接收陣元數(shù)目，即Q?N.估計樣本協(xié)方差矩陣的運算量約為N2Q，對一個N×N維的矩陣進行特征分解需要的運算量約為O（N3）.文獻［8］和［10］算法的運算復(fù)雜度約為2 N2Q＋O（N3），所提算法的運算復(fù)雜度約為（2 N）2Q＋O（2 N）3.所提算法運算復(fù)雜度相對于文獻［8］和［10］方法略微增加，但以此代價換取性能的極大改善是值得的.

4 仿真實驗

為了驗證所提算法的有效性，本小節(jié)特給出仿真實驗加以驗證.

雙基地MIMO雷達系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，假設(shè)發(fā)射和接收陣列均為陣元間距為半波長的均勻線陣，即dt＝dr＝λ/2.在發(fā)射端，兩個陣元發(fā)射相互正交的Hardmard碼波形，即M＝2，接收陣元數(shù)目N＝7，接收端脈沖回波信號數(shù)目為Q＝1 000.

圖2 目標(biāo)二維收發(fā)方位角估計星座圖

實驗1：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝4，分別位于DOD＝［50°，55°，60°，70°］，DOA＝［30°，60°，80°，45°］.在信噪比RSN＝0dB條件下，做200次相互獨立的蒙特卡洛實驗，圖2分別給出了文獻［8］方法和所提算法對目標(biāo)二維收發(fā)方位角進行定位所得的星座圖.從實驗1可以看出：文獻［8］方法可檢測信源數(shù)目極其有限，當(dāng)空域目標(biāo)數(shù)P＞（N-1）/2時，其估計目標(biāo)二維收發(fā)方位角的誤差較大，導(dǎo)致對目標(biāo)的定位偏離了真實位置，出現(xiàn)了錯誤位置的虛擬目標(biāo).所提算法由于產(chǎn)生了虛擬陣元效應(yīng)，使得算法可檢測信源數(shù)目成倍增長，能夠?qū)沼蚨鄠€目標(biāo)的二維收發(fā)方位角度進行準確估計，并能自動配對，可實現(xiàn)對多目標(biāo)的有效測向.

實驗2：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝1，在信噪比RSN＝0dB條件下，φ，θ的步長值為2.65°.做100次相互獨立的蒙特卡洛實驗，圖3分別給出了文獻［8］方法和所提算法在整個空域內(nèi)的測向性能曲線圖.

從實驗2可以看出：所提算法在整個觀測區(qū)域內(nèi)的估計精度小于0.7°，估計性能遠遠優(yōu)于文獻［8］方法.文獻［8］方法在發(fā)方位角φ＝90°附近時，估計精度大于25°，估計性能大大下降完全失效.所提算法在整個待測空間內(nèi)的空間角均方根誤差基本均勻，有效測角范圍更加寬廣，穩(wěn)健性更好，所提算法適合對較大的觀測區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)全方位測向.

實驗3：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝2，分別位于DOD＝［50°，60°］，DOA＝［75°，85°］.信噪比 SNR在0～20dB之間變化時，做10 000次相互獨立的蒙特卡洛實驗，圖4給出了文獻［8］、文獻［10］方法和所提算法對空域兩個目標(biāo)的二維收發(fā)方位角估計的聯(lián)合均方根誤差（root mean squared error，RMSE）隨信噪比變化性能曲線圖，RMSE定義如下

圖4 收發(fā)方位角聯(lián)合均方根誤差隨信噪比變化曲線

實驗4：假設(shè)空域目標(biāo)數(shù)目P＝2，分別位于DOD＝［50°，60°］，DOA＝［75°，85°］.信噪比 RSN＝0dB，快拍數(shù)在800～2 000之間變化時做10 000次相互獨立的蒙特卡洛實驗，圖5給出了文獻［8］、文獻［10］方法和所提算法對空域兩個目標(biāo)的二維收發(fā)方位角估計的聯(lián)合均方根誤差隨快拍數(shù)變化性能曲線圖.

從實驗3、4可以看出：所提算法由于產(chǎn)生了虛擬陣元效應(yīng)，擴展了有效陣列孔徑，算法的空間角分辨率更高，角估計性能更為優(yōu)良.尤其在低信噪比和短采樣數(shù)據(jù)情形下，所提算法相對于文獻［8］和文獻［10］方法性能改善明顯，特別是信噪比在0～3dB之間時，文獻［8］方法基本失效，而所提算法依然有效，且角估計精度很好.

圖5 收發(fā)方位角聯(lián)合均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線

5 結(jié) 論

針對小天線間距收發(fā)分置的雙基地MIMO雷達，基于多項式求根理論，提出了一種高精度二維收發(fā)方位角聯(lián)合估計算法.所提算法充分利用MIMO雷達虛擬陣元效應(yīng)，提高了空域可檢測目標(biāo)數(shù)目；同時陣列孔徑得到擴展，改善了低信噪比或短采樣數(shù)據(jù)情形下角度估計性能，擴寬了有效測角范圍，算法的魯棒性更好.所提方法無需二維偽譜峰值搜索，所估得的二維收發(fā)方位角能夠自動配對.因此，所提算法的實用價值很高，適合對較大的觀測區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)全方位高精度測向.

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