垂直入射空變等離子體光子晶體帶隙特性研究

楊利霞 陳 偉 孔 娃 施衛(wèi)東 于萍萍

（1.江蘇大學(xué)通信工程系，江蘇 鎮(zhèn)江212013；2.江蘇大學(xué) 流體機(jī)械工程技術(shù)研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江212013）

引 言

光子晶體是指具有光子帶隙（PBG）特性的人造周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)，有時也稱為PBG光子晶體結(jié)構(gòu).所謂的光子帶隙是指某一頻率范圍的波不能在此周期性結(jié)構(gòu)中傳播，即這種結(jié)構(gòu)本身存在“禁帶”.從材料結(jié)構(gòu)上看，光子晶體是一類在光學(xué)尺度上具有周期性介電結(jié)構(gòu)的人工設(shè)計和制造的晶體.20世紀(jì)80年代 Yablonovitch［1］，John［2］等提出了光子晶體的概念.光子晶體的研究近年來不斷深入并且作為一個新興研究的方向深受國內(nèi)外的關(guān)注［3］.目前，無論是民用方面還是軍事方面，無論是學(xué)術(shù)界還是工業(yè)界，都激起了人們極大的熱情.人們利用光子晶體的這個特性在發(fā)光二極管、光纖、光集成器件等方面有廣泛的運用［4-9］.

等離子體光子晶體（PPC）是由等離子體和介質(zhì)交替排列的一種人工周期性結(jié)構(gòu)，它的概念是由Hojo等［10］提出.它涉及等離子體物理學(xué)、電磁學(xué)、電子學(xué)、固體物理學(xué)、材料學(xué)等諸多學(xué)科，屬于交叉學(xué)科范疇.等離子體光子晶體的研究近年來取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.短短幾年中，各國學(xué)者已經(jīng)投入其大量精力進(jìn)行相關(guān)研究，同時大量的相關(guān)文獻(xiàn)不斷得以涌現(xiàn).等離子體光子晶體的特性主要包括：光子帶隙特性、光子局域特性和光學(xué)特性.其中光子的帶隙特性尤為引起人們的關(guān)注，在光學(xué)上，人們利用等離子體光子晶體的特性可以制造微波濾波器、等離子體天線，文獻(xiàn)［10-14］僅對在不考慮外磁場和等離子體層為均勻分布的等離子體光子晶體進(jìn)行了研究，然而在實際應(yīng)用過程中等離子體頻率也會隨著空間位置的變化而發(fā)生變化.對非均勻等離子體頻率情況下的研究，能找到的文獻(xiàn)并不是很多，國際上，O.Sakai，T.Sakaguchi和 K.Tachibana［15］等對非均勻等離子光子晶體做了一些相關(guān)研究.目前國內(nèi)也處于起步階段，有南昌大學(xué)的劉崧和南京航空航天大學(xué)的劉少斌等［16］，對非均勻分布等離子體光子晶體光子的帶隙分析做了相關(guān)研究，其主要是基于由密度線性分布、非磁化、碰撞、中溫的等離子體和電介質(zhì)構(gòu)成的一維等離子體光子晶體的光子帶隙特性.以上就是等離子體光子晶體國內(nèi)外的一些相關(guān)情況.因此，研究等離子體頻率的空間變化對等離子體光子晶體禁帶的影響，在工程應(yīng)用方面具有重要的理論意義.

針對等離子體光子晶體頻率的空間變化進(jìn)行了研究，采用改進(jìn)的磁化等離子體時域有限差分（FDTD）方法討論了等離子體頻率隨空間呈脈沖函數(shù)形式變化的等離子體光子晶體帶隙特性.通過計算電磁波的反射系數(shù)和透射系數(shù)獲得其禁帶結(jié)構(gòu).在一維情況下計算了垂直入射的情形，通過改變等離子體頻率的大小來驗證空變等離子體光子晶體的帶隙特性.

1 空變等離子體光子晶體的FDTD迭代式

在各向異性色散介質(zhì)碰撞磁化等離子體中，Maxwell方程組和相關(guān)的本構(gòu)方程為

式中：ε0為真空中的介電常數(shù)；μ0為真空中導(dǎo)磁率；ωp（z）是關(guān)于空間變化的函數(shù)；ωb＝eB0/me為電子旋轉(zhuǎn)頻率，B0為外部靜態(tài)磁場，e和me各自表示電子電量和電子質(zhì)量.

對于一維情況下的橫電磁波（TEM波），并設(shè)外磁場的方向為＋z方向即ωb＝ωb，在笛卡爾坐標(biāo)下的各矢量表示為

在上述坐標(biāo)下，則有（1）和（2）兩式可寫為如下形式

將式（3）改寫為矩陣可得

式中：

對公式（8）利用如下拉普拉斯變換對進(jìn)行拉普拉斯變化得［17］

整理可得

式中：

再對式（13）逆拉普拉斯變換可得

式中

先對式（15）在時間上進(jìn)行離散可得

這里在n時刻對J（t）進(jìn)行離散后，由式（4）和式（5）知磁場的迭代方程為

由式（6）和式（7）知電場的迭代方程為

2 ωp（z）的空變函數(shù)關(guān)系式及其圖形

ωp（z）在空間位置的取值隨著函數(shù)z的變化而不同，這里ωp（z）為高斯脈沖形式的周期函數(shù)［18］為

式中：k是高斯脈沖函數(shù)的寬度，k越大等離子體頻率變化越緩，k越小等離子體頻率變化越迅速；Λ為等離子體介質(zhì)和普通介質(zhì)的總寬度；n為介質(zhì)板層數(shù).ωp（z）的空變函數(shù)關(guān)系式圖形如圖1所示.

圖1 等離子體頻率ωp（z）

3 算例驗證

利用改進(jìn)的空變等離子體光子晶體的FDTD算法并選用均勻等離子體頻率所得反射系數(shù)與非空變（均勻）等離子體光子晶體的反射系數(shù)進(jìn)行算例驗證，模型為7層介質(zhì)、6層等離子體構(gòu)成的等離子體光子晶體.等離子體頻率設(shè)為ωp＝2π×109rad/s，實際物理結(jié)構(gòu)如圖3所示，圖中a為普通介質(zhì)寬度，b為等離子體介質(zhì)寬度.計算時，a＝b＝2.4mm，F(xiàn)DTD的空間步長為60μm，時間步長為0.02ps.兩端采用Mur吸收邊界，入射波為微分高斯脈沖.計算結(jié)果如圖2所示.

從圖2可以看出數(shù)值解和理論解的結(jié)果完美一致，驗證了空變等離子體算法的準(zhǔn)確性.

圖2 一維垂直入射驗證算例

4 空變等離子體光子晶體的帶隙特性分析

4.1 空變等離子光子晶體的模型及參數(shù)

空變等離子體光子晶體（PPC）的物理模型同驗證算例，如圖3所示.電磁波垂直入射到該一維等離子體光子晶體結(jié)構(gòu).中間層狀空變等離子體的等離子體頻率變化規(guī)律如式（22）所示.計算中，入射波波形為微分高斯脈沖即E（t）＝-4.67 ·，其中t0＝22×10-12s，τ＝5.4×10-12s，F(xiàn)DTD的計算參數(shù)空間步長Δz＝60×10-6m，時間步長Δr＝1.0×10-14s.

圖3 等離子光子晶體圖

4.2 非磁化等離子體情形

對于空變非磁化（ωb＝0）等離子體，計算中ωp＝2π×109rad/s，碰撞頻率v＝0，分別計算了脈沖寬度k＝0.6mm、1.2mm、2.4mm與均勻等離子體頻率的反射系數(shù)與透射系數(shù)，計算結(jié)果如圖4，圖5所示.

圖4、圖5給出的是空變情況與非空變情況下PPC的反射系數(shù)和透射系數(shù)頻譜圖，從圖中可以清楚的看到：無論是反射系數(shù)還是透射系數(shù)，空變等離子體頻率的反射系數(shù)和均勻介質(zhì)反射系數(shù)有非常大的差別，等離子體光子晶體的禁帶隨著高斯脈沖函數(shù)寬度k的變化而有規(guī)律的變化，隨著k的逐漸變小光子晶體的禁帶中心頻率也逐漸向低頻方向移動，但光子晶體的周期性并沒有改變.這說明通過改變ωp（z）的高斯脈沖形式的函數(shù)寬度對PPC結(jié)構(gòu)的禁帶形成是可控的.

圖4 非磁化情況下空變PPC與非空變PPC反射系數(shù)圖

圖5 非磁化情況下空變PPC與非空變PPC透射系數(shù)圖

4.3 磁化等離子體情形

對于磁化（ωb＝10GHz）等離子體情形，計算中，ωp＝2π×10GHz，碰撞頻率v＝10GHz，分別計算了脈沖寬度k＝0.6mm、1.2mm、2.4mm 與均勻等離子體頻率的反射系數(shù)與透射系數(shù)頻譜對比圖，如圖6、圖7所示.

由圖6、圖7可以看到出：在磁化情況下，無論是反射系數(shù)還是透射系數(shù)，其等離子體光子晶體的禁帶仍然隨著高斯脈沖函數(shù)寬度（k）的變化而有規(guī)律的變化，隨著k的逐漸變小光子晶體的禁帶逐漸變大，但光子晶體的周期性并沒有改變.這說明通過改變ωp（z）的高斯脈沖形式的函數(shù)寬度對PPC結(jié)構(gòu)的禁帶形成是可控的.

5 結(jié) 論

采用改進(jìn)的磁化等離子體電磁波傳播的FDTD算法研究了一維空變等離子體光子晶體的禁帶特性.以微分高斯脈沖為激勵源，引入了Mur吸收邊界.用算法公式所得的電磁波反射系數(shù)來討論隨空間變化的等離子體頻率對其禁帶特性的影響.結(jié)果表明，對于光子晶體禁帶的形成和產(chǎn)生，通過對等離子體空間頻率的變化，能對禁帶的周期性和寬度進(jìn)行控制.等離子體頻率隨空間成高斯脈沖形式的函數(shù)變化，當(dāng)脈沖寬度減小，其禁帶的寬度也越小，脈沖寬度越大，禁帶的寬度也越大.因此，要實現(xiàn)對等離子體光子晶體禁帶的控制，可以通過改變等離子體頻率的大小來獲得.

［1］YABLONOVITCH E.Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics ［J］.Phys Rev Lett，1987，58（20）：2059-2062.

［2］JOHN S.Localization of photons in certain disordered dielectric super lattices［J］.Phys Rev Lett，1987，58（23）：2486-2489.

［3］梅洛勤，葉衛(wèi)民，曾 淳，等.用傳輸矩陣法（TMM）研究二維光子晶體傳輸特性［J］.量子光學(xué)學(xué)報，2003，9（2）：88-92.MEI Luoqin，YE Weimin，ZENG Chun，et al.Characteristic properties of transmission research of 2-D photonic crystals using the transfer matrix method（TMM）［J］.Acta Sinica Quanturn Optica，2003，9（2）：88-92.（in Chinese）

［4］歐陽征標(biāo)，安鶴男，阮雙琛，等.利用二維光子晶體提高波的耦合效率［J］.光子學(xué)報，2004，33（1）：69-72.OUYANG Zhengbiao，AN Henan，RUAN Shuangchen，et al.Promoting the coupling efficiency of waves by a 2D photonic crystal［J］.Acta Photonica Sinica，2004，33（1）：69-72.（in Chinese）

［5］吳維慶，陳雄文，周 輝，等.混合纖芯光子晶體光纖超平坦色散的研究［J］.光子學(xué)報，2006，35（1）：109-113.WU Weiqing，CHEN Xiongwen，ZHOU Hui，et al.Investigation of the ultraflattened dispersion in photonic crystal fiberswithhybrid cores［J］.Acta Photonica Sinica，2006，35（1）：109-113.（in Chinese）

［6］李 巖，鄭瑞生，馮玉春，等.一種發(fā)光二極管模型中無序光子晶體對光輸出影響的研究［J］.光子學(xué)報，2006，35（6）：903-905.LI Yan，ZHENG Ruisheng，F(xiàn)ENG Yuchun，et al.Influence of disordered photonic crystal on Light extraction of a kind of light emitting diode model［J］.Acta Photonica Sinica，2006，35（6）：903-905.（in Chinese）

［7］陳 松，王維彪，梁靜秋，等.二維點缺陷正方光子晶體的微腔結(jié)構(gòu)［J］.發(fā)光學(xué)報，2007，28（1）：7-11.CHEN Song，WANG Weibiao，LIANG Jingqiu，et al.Two-dimensional square photonic crystal microcavitives［J］.Chinese Journal of Luminescence，2007，28（1）：7-11.（in Chinese）

［8］王政平，王 成.含負(fù)折射率材料的一維"啁啾"光子晶體的透射譜［J］.發(fā)光學(xué)報，2008，29（2）：221-224.WANG Zhengping， WANG Cheng. Transmission spectrum of one-dimensional"Chirped"photonic crystal containing negative re-fraction materials［J］.Chinese Journal of Luminescence，2008，29（2）：221-224.（in Chinese）

［9］李洪濤，邵明珠，羅詩裕.介電常數(shù)呈正弦平方規(guī)律變化的一維光子晶體帶結(jié)構(gòu)［J］.發(fā)光學(xué)報，2008，29（2）：229-232.LI Hongtao，SHAO Mingzhu，LUO Shiyu.Band structure of one-dimensional photonic crystal with dielectric constant as a sine-squared function in coordinate space［J］.Chinese Journal of Luminescence，2008，29（2）：229-232.（in Chinese）

［10］HOJO H，MASE A.Dispersion relation of electro magnetic wave in one-dimensional plasma photonic crystals［J］.J Plasma Fusion Res，2004，80（2）：89-92.

［11］楊 娟，梁昌洪，李樂偉.二維光子晶體的負(fù)折射現(xiàn)象［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2005，12（6）：703-706.YANG Juan，LIANG Changhong，LI Lewei.Negative refractive behaviors of two-dimensional photonic crystals［J］.Chinese Journal of Radio Science 2005，12（6）：704-706.（in Chinese）

［12］劉少斌，顧長青，周建江，等.磁化等離子體光子晶體的FDTD 分 析 ［J］.物 理學(xué) 報，2006，54（6）：2804-2808.LIU Shaobin，MO Jingjun，YUAN Naichang et al.FDTD simulation for magnetized plasma photonic crystals［J］.Acta Phys.Sin，2005，54（6）：2804-2808.（in Chinese）

［13］莫錦軍，劉少斌，袁乃昌.非均勻等離子體覆蓋目標(biāo)隱身研究［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2002，17（1）：69-73.MO Jinjun，LIU Shaobin，YUAN Naichang.On the stealth effect of non-uniform plasma covered radar targets［J］.Chinese Journal of Radio Science，2002，17（1）：69-73.（in Chinese）

［14］林寶勤，袁乃昌.二維金屬型光子晶體的有限差分法分析［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2006，21（2）：233-237.LIN Baoqin，YUAN Naichang.Finite difference analysis of 2-D metallic photonic crystals［J］.Chinese Journal of Radio Science，2006，21（2）：233-237.（in Chinese）

［15］劉 崧，劉少斌.非均勻分布等離子體光子晶體帶隙分析［J］.核聚變與等離子體物理，2009，29（4）：365-369.LIU Song，LIU Shaobin.Analysis of photonic band gap in inhomogeneous plasma photonic crystals［J］.Nuclear Fusion and Plasma Physics，2009，29（4）：365-369.（in Chinese）

［16］SAKAI O.Verification of a plasma photonic crystal for microwaves of millimeter wavelength range using two-dimensional array of columnar microplasmas［J］.Appiled Physics Letters，2005，83（24）：505-508.

［17］XU Lijun，YUAN Naichang.JEC-FDTD for 2-D conducting cylinder coated by anisotropic magnetized plasma［J］.Microwave and Wireless Components Letters，2005，15（12）：892-894.

［18］DIKSHITULU K K.Eleectromagnetics of Complex Media Frequency Shifting by a Transient Magnetoplasma Medium［M］.New York：CRC press，1998：11-37.