利用多面函數擬合法解算連續化的深度基準面模型

孫翠羽，馬飛虎，陳艷華，崔 跡，李佩華

（1.華東交通大學土木建筑學院，江西南昌 330013；2.國家測繪局海島（礁）測量重點實驗室，山東青島 266590；3.廣島技術（南京）汽車部件有限公司，江蘇南京 211102）

在海洋測繪中，由于平均海面不具有等位的特性，以平均海面為參考的深度基準體系或框架就更加具有復雜性［1-2］。在具體的工程實踐中，深度基準面都是以一個或幾個驗潮站等離散點觀測的潮汐數據來確定的。而由于各地的潮汐性質有差異、驗潮站潮汐資料獲取的時間歷元長短不一、各站計算深度基準面時采用的算法不一致等原因，造成各驗潮站的深度基準面值不一致［1，3-4］。幾十年來，我國雖然已對周邊海域進行了廣泛勘查和測量，但由于長期缺乏統一高精度的海洋測量基準，一直難以實現各個部門之間及不同時段獲得的數據之間的交換和相關圖件的拼接，不僅是陸地高程和海洋深度數據不能有效拼接，不同海域不同時期的海圖數據也難以融合。兩幅相鄰的海圖在水位歸算時按照就近原則采用了不同驗潮站的理論深度基準值作為測深數據的起算基準，會造成相同位置的等深線不完全重合等問題。這對沿海測繪、海岸帶調查、海岸工程建設以及沿海防潮洪警戒水位的確定等，都會帶來不利的影響［5-7］。海圖深度基準在實現上的離散性和跳變性，已越來越不能滿足實際應用的需求。

海圖深度基準面呈點狀分布在各地沿岸的長期驗潮站處，也就是說按照某種算法求得的海圖深度基準面數值僅是對真正曲面形態基準面在特定點的采樣。隨著驗潮技術和測深技術的發展，沿海地區可以獲取更多的驗潮數據。因此，可考慮采取曲面擬合的方法建立一個漸進性變化的連續的海圖深度基準面模型。

曲面擬合是一種常用的技術，在工程、計算機圖形、圖像以及地球科學等方面有著廣泛的應用。目前主要的擬合方法有：多項式曲面擬合法、多面函數擬合法、曲面樣條擬合法、移動曲面法以及Kriging擬合法等，本文對多面函數法在實現連續的海圖深度基準面模型中的應用作了研究，通過實例分析來探討其可行性。

1 多面函數擬合法

美國Hardy教授在1971年提出多面函數擬合法，其基本思想是：任何一個規則或不規則的連續曲面均可以用n個規則曲面的疊加來擬合或逼近。該方法是從幾何觀點出發的一種曲面逼近法，解決根據數據點形成一個平差的數學曲面問題。該方法在大地水準面差距、重力異常、垂線偏差以及地殼變形等方面都取得了較好的擬合效果［8］。

在某一觀測區域，每個觀測點都可以同該區域中各個已知點分別建立函數關系，該函數稱為核函數，它的圖形是一個規則數學曲面，將這些規則數學曲面按一定比例疊加起來，就可擬合出任何不規則的曲面，且能達到較好的擬合效果［9］。多面函數在笛卡爾坐標系中的一般形式為

式中：βi為待定參數；F(x，y，xi，yi)為核函數；(x，y)為待求點坐標，其中心在 (xi，yi)處，為已知點坐標，核函數可以有多種表現形式，常用簡單的核函數有以下幾種：

上述各式中，[(x-xi)2+(y-yi)2]為內插點到參考點之間的水平距離；C，δ是光滑系數，或稱為平滑因子。

設已知海圖深度基準面值有m個點，其m×1向量記為l，選取其中n個結點為j=1，2，3，…，n(n≤m)，β=(β1，β2，β3，…，βn)為n×1向量，當m＞n時，多面函數擬合法算法對應的誤差方程式為V=Fβ-l，式中

在選擇已知點時，最好選擇測區中變化顯著的點，這些點能很好描述該區域內各點的分布特征，一般位于最高、最低處以及坡度變化處。多面函數擬合法主要是確定核函數和平滑因子δ的選取，需要不斷試驗和改進［10］，以切合曲面局部的變化趨勢，取得最佳的擬合效果。

2 擬合模型實例分析

為了探討曲面擬合方法建立網格海圖深度基準面模型的可行性，選擇渤海灣作為實驗區進行分析。實驗區位于渤海西部，以大清河口至山東舊黃河口一線為界，面積約1.75 km2。深度基準采用國際海道測量組織推薦的最低天文潮面［11］，試驗區共有1 369個深度基準數據點，周邊地區158個數據點。該地區深度基準值范圍在0.787～2.614m之間。分別采用4種核函數錐面、正雙曲面、倒雙曲面和三次曲面對模型進行計算，結果精度如表1～表4所示。

表1 錐面核函數擬合精度Tab.1 Fitting precision of cone surface kernel function

表2 正雙曲面核函數擬合精度Tab.2 Fitting precision of right two curved-surface kernel function

表3 倒雙曲面核函數擬合精度Tab.3 Fitting precision of reverse two curved-surface kernel function

表4 三次曲面核函數擬合精度Tab.4 Fitting precision of cubic surface kernel function

從表1～4的比較分析可知，在采用多面函數擬合深度基準面模型的過程中，核函數對平滑因子δ的依賴性不同，結果精度也有區別。其中，倒雙曲面多面函數對平滑因子δ最敏感。在使用多面函數擬合法進行曲面擬合時，平滑因子δ的取值非常重要，一般規律是隨著結點間平均距離的增加，δ值的選取也要增加，具體變化取值需要對已知數據點進行反復試算來確定。選取各個核函數取得最佳可調參數值狀態進行比較，核函數為倒雙曲面時擬合精度最佳，4種核函數的最佳擬合殘差分布如圖1所示。

通過對擬合計算過程的分析，可以得到如下結論：

1）不同的核函數對平滑因子δ顯示出不同的依賴性，對擬合結果的精度也有相應的影響。其中倒雙曲面多面函數對平滑因子δ最為敏感，參數選取稍有偏離就可能產生較大誤差；而三次曲面多面函數對平滑因子δ的依賴性很弱，可以在比較大的范圍內保持一定的擬合精度；對于正雙曲面多面函數，當可調參數在一定范圍內時，擬合精度隨參數的變化而逐漸變化。在各自都取得最佳參數值時，倒雙曲面多面函數的擬合精度高于其它3種。

2）使用多面函數擬合法進行曲面擬合時，平滑因子δ的取值非常重要，在選取時有一定的規律可循。一般若結點間的平均距離增加，則選取的δ值相應也要提高；反之亦然。δ可以取已知數據點間距平均值的倍數，具體要對已知數據點進行反復試算來確定。

采用擬合精度最好的倒雙曲面多面函數擬合方法解算連續的渤海灣最低天文潮面模型如圖2所示。

圖1 多面函數擬合殘差分布Fig.1 Residualdistribution of polyhedral function fitting

3 結語

圖2 渤海灣連續最低天文潮面模型Fig.2 Depth datum model for BohaiBay

利用多面函數擬合法對渤海灣的最低天文潮面進行了擬合研究，分別采用錐面、正雙曲面、倒雙曲面和三次曲面為核函數對模型進行實例計算，擬合精度高，其中倒雙曲面的綜合精度最好，由此建立的連續最低天文潮面模型的殘差值不超過15 cm，可以滿足100m以淺海道測量30 cm的精度要求。需要注意的是，采用多面函數擬合深度基準面模型，節點位置的選擇需要遵循點位分布均勻的原則，平滑因子也需要通過多次試算來擇優而選，比較適合于已知采樣點的單點精度比較高的情況。此外，與擬合結果精度類似的Kriging方法相比［13］，由于在計算核函數矩陣時計算量非常大，而對計算的速度能力要求更高。

插值法曲面擬合的方法很多，在陸地高程擬合中應用的方法也很多，后繼研究中將選擇其他擬合方法應用于深度基準面的連續化，以進行比對研究。

［1］暴景陽，劉雁春，晁定波，等.中國沿岸主要驗潮站海圖深度基準面的計算與分析［J］.武漢大學學報：信息科學版，2006，31（3）：224-228.

［2］ZHOU XINGHUA，SUN CUIYU，LENING，etal.The application of satellite altimetry in establishing regionalmean sea level［C］//The InternationalConference on Remote Sensing，Environmentand Transportation Engineering，Nanjing：IEEE，2010：3636-3639.

［3］GB12327—1998.海道測量規范［S］.北京：中國標準出版社，1999.

［4］ RUTH ADAMS.Seam less data and vertical datums reconciling chart datum w ith a global reference frame［J］.The Hydrographic Journal，2004（113）：9-14.

［5］許軍.衛星測高技術在海洋動態垂直基準中的應用研究［D］.大連：海軍大連艦艇學院，2005.

［6］ VAN NORDEN MAXIM F，LADNER RWADE，ARRORYOSUAREZ ELLIOT N.Developing a concept of operations for m ilitary surverys to IHO standardsw ithout shore-based stations［C］//Proceedings of the Canadian Hydrographic Conference and National SurveyorsConference2008，Toronto：Canadian Hydrographic Association，2008：243-254.

［7］WELLSDAVID，KLEUSBERG ALFRED，VANICEK PETR.A seam less vertical-reference surface for acquisition，managementand display（ecdis）of hydrographic data［R］.New Brunsw ick：Departmentof Geodesy and Geomatics Engineering University of New Brunsw ick，1996.

［8］于紅波，劉惠明.GPS水準擬合的若干問題研究［J］.礦山測量，2009（1）：63-66，76.

［9］劉念，胡榮明.擬合推估在GPS高程解算中的應用［J］，測繪通報，2000（7）：29-31.

［10］南親江，卜建陽.GPS高程曲面擬合算法的精度分析［J］.現代測繪，2008，31（4）：17-19.

［11］張力，孫新軒，劉雁春，等.最低天文潮面的精度研究［J］.海洋測繪，2009，29（4）：5-8.

［12］姬付全，經緋，劉志彬，等.利用3次樣條插值確定室內壓縮試驗先期固結壓力［J］.華東交通大學學報，2011，28（6）：96-100.

［13］陳艷華，孫翠羽，張化疑.基于Kriging方法建立連續深度基準面模型［C］//江蘇省測繪學會2012學術年會，南京：江蘇省測繪學會，2012：26-28.

［14］柯灝.海洋無縫垂直基準構建理論和方法研究［D］.武漢：武漢大學，2012.