循環環的商環的結構

張子衛，鄒宗蘭，魏國祥

（四川職業技術學院應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

循環環的商環的結構

張子衛，鄒宗蘭，魏國祥

（四川職業技術學院應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

首先研究了一般循環環的商環，得到循環環的商環仍是循環環，并給出了其生成元.然后，在此基礎上進一步研究了有限循環環和無限循環環的商環，并給出了它們的階.

循環環；商環；結構

如果環R對加法作成一個循環群，即加群(R, +)是循環群，則稱R是一個循環環，并稱(R,+)的生成元a為循環環R的生成元，記R=＜a＞．如果循環環R的階有限，則稱R是有限循環環，否則稱R是無限循環環.關于循環環的構造理論，在文獻[1-2]中已有深入、完整的研究.本文研究循環環的商環的結構，顯然它在環論中也具有重要的理論意義.

由文獻[3]知道，循環環的子加群、子環、理想三者是一回事，即：設R=＜a＞是循環環，HR，則

在文獻[4-5]中有如下的結論：

整數環Z關于模nm的剩余類環的n階子環為n階循環環，即為

其中m是模nm的剩余類環中m所在的剩余類．

此結論表明，循環環mZ關于其子環nmZ的商環是以m為生成元的n階循環環，本文要研究的循環環的商環的結構正是這一結論的推廣.我們將先研究一般循環換的商環，然后研究有限循環環和無限循環環的商環.

1 循環換的商環

定理1設循環環R=＜a＞，H≤R，則商環R/H是以a為生成元的循環環，其中a是a所在的剩余類，即R/H=＜a＞，a=a+H.

定理2設R=＜a＞是s階循環環，m,n是大于等于1的整數，則＜ma＞關于＜nma＞的商環是以ma為生成元的k階循環環，即

其中a=a+＜nma＞∈＜a＞/＜nma＞，k=(nm,s）/（m,s)．證明：由定理1,有

又因＜ma＞/＜nma＞的階為

[s/(m,s）]/[s/(nm,s)]=(nm,s）/（m,s)=k，所以結論成立.

3 無限循環環的商環

對于無限循環環R，有R/{0}=R，R/R={0}，即H是R的平凡理想時，商環R/H已經很清楚，下面對H是R的非平凡理想的情形進行討論.

定理3設R=＜a＞是無限循環環，m,n是大于等于1的整數，則＜ma＞關于＜nma＞的商環是以ma為生成元的n階循環環，即

證明：由定理1已有

故＜ma＞/＜nma＞ {0,ma,2ma,…,(n-1)ma}，從而等式成立．

(j-i)ma=0，(j-i)ma=knma(k∈Z)，

由于a的加法階是∞，故(j-i)m=knm，j-i=kn，從而k=0，j=i，即＜ma＞的階為n，從而結論成立．

推論1設＜a＞是無限循環環，則＜a＞關于

＜na＞的商環是n階循環環，即

其中，a=a+＜na＞∈＜a＞/＜na＞.

推論2設R=＜a＞是無限循環環，a2=ka，m,n是大于等于1的整數，則

證明：由定理3，＜ma＞/＜nma＞=＜ma＞是n階循環環，且(ma)2=m2ka=mk(ma)，由[2]的定理2的推論2知結論成立．

[1]楊子胥．關于循環環及其冪等元[J]．數學的實踐與認識，1985，15（03）：73-76．

[2]張隆輝，石化國，廖輝，等．有限循環環的構造[J].數學的實踐與認識，2011,41（11）：150-153．

[3]楊子胥．近世代數（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，20 03：178-181．

[4]杜福昌．剩余類環Z/mZ的理想素理想極大理想[J]．遼寧師范大學學報（自然科學版），1989，12（01）：66-68．

[5]張隆輝，石化國，趙鳳鳴．關于nZ的理想及商環[J].大學數學，2011,27（03）：50-52．

On theStructureof theQuotientRingofaCircularRing

Z H A N G Z i w ei,Z OU Z onglan,W E I G uo x iang
(D epar tment of A ppl ied M athematicsand E conomicsof S ichuan V ocational and T echnical C ol lege,S ichuan S uining 629000)

I n this paper,thequotient ringof a general circular ring is studied,it is got that the quotient ringof ageneral circular ring is alsoa circular ring,and its generator is gi v enout.O n the basis,then,the quotient rings of a f inite cycl ic ring and a inf inite cycl ic ring are fur ther studied ,and their ordersaregi v enout.

C ircular R ing;Q uotient R ing;S t ructure

O153.3

A

1672-2094(2013)01-0154-02

責任編輯：張隆輝

2012-07-28

四川職業技術學院自然科學研究項目（2009Z05）；四川省教育廳自然科學研究項目（11Z B174）.

張子衛（1963-），男，四川遂寧人，四川職業技術學院應用數學與經濟系副教授.研究方向：數學教育.

鄒宗蘭（1965-），女，四川遂寧人，四川職業技術學院應用數學與經濟系副教授，碩士.研究方向：數學教育.