理想彈塑性線性強化模型的身管殘余應力分析

常列珍，潘玉田，李魁武，馬新謀

(1.中北大學 力學系，山西 太原030051;2.中北大學 動力機械系，山西 太原030051;3.西北機電工程研究所，陜西 咸陽712099)

0 引言

身管機械自緊技術是使具有一定過盈量的沖頭強行通過涂有潤滑層的身管內膛，通過接觸斜面的壓力使身管發生塑性變形，達到自緊的目的。其原理是在身管內壁施加壓力使身管產生一定的塑性變形，當內壓卸除后，塑性變形的存在阻止了身管中的彈性變形恢復到原始位置的趨勢，這樣就在靠近身管內壁處產生了有益的切向壓縮殘余應力。火炮發射過程中當膛壓作用在身管上時，壓縮切向殘余應力會抵消一部分由膛壓產生的切向拉應力，從而提高了身管的強度。此外，在相同的使用條件下，自緊身管相比未自緊的普通身管的應力分布更趨于均勻，對提高身管的疲勞壽命也是非常有利的。

機械自緊身管強度和疲勞壽命的研究與機械自緊身管的殘余應力密切相關，因此研究機械自緊身管的殘余應力具有非常重要的意義。自20 世紀80年代以來，機械自緊的力學理論計算及實驗的研究一直備受廣大學者重視。宋順成［1］和潘立功［2］用炮鋼模擬管做了一系列的機械自緊的模擬實驗，測出了自緊過程中外表面的應變情況，由此值來間接計算彈塑性分界半徑。雖然推導出了機械自緊的殘余應力計算公式，但求殘余應力時必須確定彈塑性分界半徑，而其確定彈塑性分界半徑是通過實驗來測定的，很不方便。芮嘉白［3］推導了可壓縮情況下(v≠0.5)典型炮鋼材料模型機械自緊各物理量的簡明解析式。可以由過盈量δ 及機械自緊的材料、幾何參數，直接算出彈塑性分界半徑ρ，反向屈服半徑和殘余應力，但是沒有考慮材料的加載硬化效應。國外研究自緊圓筒疲勞壽命［4-10］和表面裂紋擴展壽命［11-12］的文獻很多，而對于機械自緊殘余應力的計算還是借助液壓自緊的公式和數值模擬［13］。

本文選取符合身管材料性能的理想彈塑性線性強化模型，既考慮加、卸載階段應變硬化效應，也考慮了材料的包興格效應。利用彈塑性力學的理論及一些基本假設，推導出了身管的塑性半徑、反向屈服半徑、發生反向屈服時的殘余應力和未發生反向屈服的殘余應力計算公式。

1 力學分析的假設

機械自緊時，自緊載荷是一個沿軸向分布不均勻的移動接觸載荷，對應的力學問題是空間軸對稱的彈塑性移動接觸問題。這給理論求解帶來了很大的困難，因此理論分析必須簡化。簡化的基本假設如下:

1)沖頭的主直徑部分(沖頭形狀為雙錐柱)長度很小，所以近似認為在這段內各截面上的應力沿軸向沒有變化，彈塑性分界半徑ρ 為常數。

2)由于摩擦系數很小(f≈0.05～0.08)，根據塑性成型理論可知:軸向平面內在塑性區中剪應力近似與徑向應力成正比，τrz= -fσr，τrz?σr，σz，則σr、σz可近似為主應力［14］.

3)自緊過程中摩擦系數非常小，摩擦系數對徑向位移及各項殘余應力幾乎無影響，故假設徑向位移、殘余應力及塑性半徑與摩擦系數無關［15］.

4)在自緊加載過程中身管軸向應變為零，即εz=0.

5)材料模型如圖1所示，具有明顯的包興格效應和加卸載硬化效應。圖1中:E、nE 分別為彈性加載、卸載階段的彈性模量;σs0為初始屈服應力;αmσs0為反向屈服應力;m 為加載硬化系數;m'為卸載硬化系數。

圖1 理想彈塑性線性強化模型Fig.1 Elastic perfectly-plastic linear material model

2 身管和沖頭的彈塑性分析

2.1 身管塑性區分析

身管塑性區的應變由兩部分組成，即

式中:εr1、εθ1和εz1分別為加載階段塑性區的徑向應變、切向應變和軸向應變;εer1，εeθ1和εez1分別為加載階段塑性區的彈性徑向應變、彈性切向應變和彈性軸向應變;εpr1、εpθ1和εpz1分別為加載階段塑性區的塑性徑向應變、塑性切向應變和塑性軸向應變。

由Tresca 屈服準則，得塑性勢函數:

式中η=(E/σs0)m/(1 -m).

將(2)式代入(3)式得

由(4)式，令

因此由(1)式得厚壁圓筒塑性區的應變

式中:E、ν 分別為厚壁圓筒的彈性模量和泊松比。

根據假設1 和假設2，變形協調方程和平衡微分方程可簡化為

根據Tresca 屈服準則，厚壁圓筒塑性區的切向應力和徑向應力始終滿足(軸向應力在加載階段為中間應力):

根據假設3 得

由(7)式、(8)式和(10)式、(11)式得關于λ1(r)的微分方程，解該微分方程并由λ1(ρ)=0 確定出積分常數得

將(12)式代入(8)式、(10)式和(11)式得

式中:σr1、σθ1和σz1分別為加載階段塑性區的徑向應力、切向應力和軸向應力。

2.2 身管彈性區分析

利用軸對稱問題的幾何方程，廣義胡克定律和平衡微分方程得加載階段身管彈性區的應力為

加載階段身管彈性區的應變為

式中:σr2、σθ2和σz2分別為加載階段彈性區的徑向應力、切向應力和軸向應力;εr2、εθ2和εz2分別為加載階段彈性區的徑向應變，切向應變和軸向應變。

2.3 沖頭的應力分析

沖頭在機械自緊過程中為彈性變形，由厚壁圓筒彈性區的應力公式得到對應于沖頭主直徑部分應力為

式中:σr、σθ分別為沖頭的徑向應力和切向應力;D3和D4為積分常數。

假定沖頭滿足體積不可壓縮條件:

根據廣義虎克定律和(19)式得

式中:E1和ν1分別為沖頭的彈性模量和泊松比。

由于ν1≠0.5，所以沖頭的軸向應力

根據幾何方程εθ=u/r，結合(18)式、(21)式、廣義虎克定律和位移邊界條件u|r=0=0，得D4=0.令D3=C5，則

2.4 身管加載階段應力

由邊界條件和連續性條件確定積分常數。

邊界條件:

1)厚壁圓筒外表面為自由面，因此外表面的徑向應力為零，即σr2|r=b=0.

2)厚壁圓筒內表面徑向應力與沖頭主直徑部分的徑向應力相同，σr1|r=a=σr|r=Dm/2.

3)厚壁圓筒內表面的位移減去沖頭主直徑部分的位移等于過盈量的一半u1|r=a-u|r=Dm/2=δ/2.

連續性條件:

厚壁圓筒彈塑性分界處應力連續。

由上述邊界條件和連續性條件求得塑性半徑ρ的方程(24)式和積分常數C2，C3，C4，C5.

式中:Dm為沖頭主直徑;δ 為沖頭與身管之間過盈量，即δ=Dm-2a，a 為厚壁圓筒內半徑;b 為厚壁圓筒外半徑;ρ 為厚壁圓筒塑性半徑。

將積分常數C2，C3，C4，C5代入(13)式～(16)式得身管塑性區(r≤ρ)加載應力

彈性區(r ＞ρ)加載應力

3 身管的卸載解和殘余應力

卸載過程分兩步，第一階段軸向應力卸載解為零，第二階段徑向和切向應力卸載解為零。

3.1 身管的彈塑性卸載解

3.1.1 反向屈服區第一階段的卸載應力

根據Tresca 屈服準則:

與前面塑性區加載解的分析類似，第一階段厚壁圓筒反向屈服區的卸載應變

利用變形協調方程，平衡微分方程和邊界條件求出

將(27)式和(29)式代入平衡微分方程得

由(30)式解得

由(27)式得

3.1.2 非反向屈服區第一階段卸載應力

非反向屈服區第一階段卸載應變

將(33)式中的應力分量代入平衡微分方程和變形協調方程，并由邊界條件σr4|r=b=0 和σθ4-σr4|r=c=σs0(1 +ηBλ1(c))+αmσs0確定積分常數得非反向屈服區(c≤r≤b)卸載應力

式中σr4、σθ4分別為非反向屈服區的徑向應力和切向應力的卸載解。

由連續性條件σr3(c)=σr4(c)確定(31)式中的積分常數C7得反向屈服區(a≤r≤c)卸載應力

式中:σr3、σθ3分別為反向屈服區的徑向應力和切向應力的卸載解。

由邊界條件σr1(a)-σr3(a)=0 得反向屈服半徑c 的計算公式:

3.1.3 第二階段軸向應力的卸載解

設遠離沖頭處軸向應力在反向屈服區和非反向屈服區的卸載解σz3=σz4為常數，又根據殘余應力為自平衡力系的性質有

將(40)式積分得

式中:σz3、σz4為反向屈服區和非反向屈服區軸向應力的卸載解。

3.1.4 彈塑性卸載時殘余應力的計算

彈塑性卸載時各區域內的殘余應力

反向屈服區(a≤r≤c):

塑性區(c≤r≤ρ):

彈性區(ρ≤r≤b):

將(25)式、(36)式、(37)式和(41)式代入(42)式得反向屈服區(a≤r≤c)殘余應力

式中:σr5、σθ5和σz5分別為彈塑性卸載時反向屈服區的徑向殘余應力，切向殘余應力和軸向殘余應力。

將(25)式、(34)式，(35)式和(41)代入(43)式得塑性區(c≤r≤ρ)殘余應力

式中:σr6、σθ6和σz6分別為彈塑性卸載時塑性區的徑向殘余應力，切向殘余應力和軸向殘余應力。

將(26)式、(34)式、(35)式和(41)式代入(44)式得彈性區(ρ≤r≤b)殘余應力

式中:σr7、σθ7和σz7分別為彈塑性卸載時彈性區的徑向殘余應力、切向殘余應力和軸向殘余應力。

3.2 彈性卸載時殘余應力的計算

根據(38)式計算反向屈服半徑c，如果c ＜a，則說明自緊過程中沒有發生反向屈服，卸載過程屬于彈性卸載。

根據平衡微分方程和變形協調方程及邊界條件求出彈性卸載應力

式中:σr8、σθ8和σz8分別為彈性卸載時的徑向應力、切向應力和軸向應力。

塑性區(a≤r≤ρ)殘余應力:

彈性區(ρ≤r≤b)殘余應力:

將(25)式和(48)式代入(49)式得塑性區(a≤r≤ρ)殘余應力

式中:σr9、σθ9和σz9分別為彈性卸載時塑性區的徑向殘余應力、切向殘余應力和軸向殘余應力。

將(26)式和(48)式代入(50)式得彈性區(ρ≤r≤b)殘余應力:

式中:σr10、σθ10和σz10分別為彈性卸載時彈性區的徑向殘余應力、切向殘余應力和軸向殘余應力。

3.3 理論值與實驗值的比較

為驗證本文推導的公式正確性，用本文所推導出的公式計算文獻［3］中22 號模擬管的殘余應力。

22 號模擬管的內半徑a=12.190 5 mm，外半徑b=30.415 3 mm，模擬管材料為PCrNi3MoV，材料參數:E=206 GPa，ν =0.27，σs0=1 087.6 MPa，m =0，m' =0.393，αm=0.283 3，n=1.

沖頭形狀為雙錐柱，主直徑Dm=25.072 mm，主直徑部分長l =3.5 mm，前錐角α =0.026 rad，后錐角β =0.052 rad，沖頭材料為高速鋼，材料參數:E1=205.8 GPa，ν1=0.3.

根據模擬管和沖頭材料參數和尺寸大小，由(24)式求出22 號模擬管的塑性半徑ρ=27.41 mm，與文獻［3］中塑性半徑的理論值ρ =27.4 mm 非常接近。22 號模擬管塑性半徑的實驗值為ρ=28.0 mm，理論值與實驗值相比誤差很小。由(38)式求出22 號模擬管的反向屈服半徑c =16.50 mm，a ＜c ＜ρ，說明22 號模擬管卸載過程中發生反向屈服。因此，由(45)式～(47)式可求出22 號模擬管反向屈服區，塑性區和彈性區3 個區域內的殘余應力。將所求出的殘余應力的理論值與實驗值進行對比，如圖2所示，二者吻合的較好。

圖2 殘余應力比較Fig.2 Comparison of residual stresses

4 結論

1)給出了理想彈塑性線性強化模型身管的彈塑性分界半徑的計算公式，應用此公式可求出身管達到塑性極限(ρ =b)以及彈性極限(ρ =a)時的沖頭主直徑，還可確定出身管達到任意過應變時的沖頭主直徑。

2)給出了理想彈塑性線性強化模型身管機械自緊時的反向屈服半徑的計算公式，應用此公式還可求出火炮身管不發生反向屈服的壁厚比，計算結果和文獻［16］中的一致。

3)給出了理想彈塑性線性強化模型機械自緊身管發生反向屈服和不發生反向屈服時殘余應力的計算公式。

4)理想彈塑性線性強化模型身管的殘余應力計算公式既考慮了加、卸載硬化系數和彈性模量的不同，也考慮了包興格效應。理想彈塑性模型(m =0，m' =0，αm=1，n =1)、典型的炮鋼材料模型(m =0，n=1)［3］、加卸載硬化系數不同而加卸載彈性模量相同且有包興格效應的雙線性材料模型(n =1)［14］的身管的殘余應力計算，都可看成本文中推導的理想彈塑性線性強化模型殘余應力計算的特例。

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