巧解第26屆預賽第13題

鄭 金

（凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500）

本刊2012年第4期的“數理結合再巧解一道全國26屆物理競賽題”一文，利用直角三角形知識求解，確實比較簡單，讀后頗受啟發，而若直接利用余弦定理求軌道半徑，則更簡捷、巧妙，現介紹如下.

原題.近代的材料生長和微加工技術，可制造出一種使電子的運動限制在半導體的一個平面內（2維）的微結構器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質原子射散的影響.這種特點可望有新的應用價值.圖1所示為4端十字形2維電子氣半導體，當電流從1端進人時，通過控制磁場的作用，可使電流從2、3或4端流出.

圖1

圖2

對下面摸擬結構的研究，有助于理解電流在上述4端十字形導體中的流動.在圖2中，a、b、c、d為4根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成4個寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和4個圓柱所包圍的空間（設為真空）存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面指向紙里.以B表示磁感應強度的大小.一個質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，在紙面內以速度v0沿與a、b都相切的方向由縫1射人磁場內，設粒子與圓柱表面只發生一次碰撞，碰撞是彈性的，碰撞時間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用.求B為何值時，該粒子能從縫2處且沿與a、c都相切的方向射出.

圖3

解析：如圖3所示，粒子從縫1進人磁場，在洛倫茲力作用下做圓周運動，與圓柱d的表面發生彈性碰撞后，反彈進入縫2，這一過程對連結b、d兩圓圓心的直線P Q對稱，故直線P Q與d圓的交點D是碰撞點.a、b兩圓心的連線與縫1的交點為A，粒子在磁場中做圓周運動過A點，向上偏轉，由于粒子的初速度與連線垂直，因此軌道的圓心必在過a、b兩圓圓心的直線P O上，設圓心為O；同時這個軌道經過D點，連接OD，則OD、OA為運動軌道的半徑r.