基于截集的加權可能性均值-方差模型的應用

付云鵬,馬樹才,宋 琪

（遼寧大學a.信息學院;b.經濟學院，沈陽110036）

0 引言

證券市場是一個極為復雜的系統，除了收益和風險本身的不確定性外，由于研究對象的復雜性，對該系統的描述也往往是不確定。這些不確定性因素通常表現為兩種形式：一種是事件發生與否不確定性，即所謂的隨機性；另一種是事件所處的系統狀態自身的復雜性及投資者的主觀性導致的不確定性，即所謂的模糊性。這些模糊因素包括政策、經濟環境、投資者的主觀意愿等這些都是客觀存在的。為了全面的考查這樣一個復雜的系統，有必要將模糊性因素也考慮到組合投資模型的構建之中。為此許多學者將模糊信息考慮的組合投資模型的構建中，建立了基于模糊因素的組合投資模型。本文將在前人研究成果的基礎上以隨機變量為模糊數時的加權可能性均值、加權可能性方差和加權可能性協方差為研究對象，將他們分別作為證券未來收益、風險和各種證券的收益率之間相關程度的度量。研究基于截集的加權可能性均值-方差組合投資決策模型的構建方法及模型的實際應用。建模過程中考慮不同投資者的對風險的不同態度，將投資者投資未來收益和風險的樂觀程度用樂觀系數λ來反映。并將基于截集的加權可能性均值-方差模型與Markowitz均值-方差模型進行對比分析。

1 加權可能性均值和方差的定義及性質

1.1 加權可能性均值的定義及性質

1.2 加權可能性方差與協方差的定義及性質

1.3 三角模糊變量的加權可能性均值、方差和協方差

2 基于截集的加權可能性均值-方差模型的構建

3 模型的應用

表示，其中T為樣本數據的時期數。

根據樣本數據求得上述八種股票的模糊收益率的中心值和左、右寬度的均值數據見表1：

表1 8種證券的模糊收益率的中心及寬度數據表

根據投資者對不同股票的未來收益的不同偏好，可將λ取不同的值，從而可得到模糊收益率不同的加權可能性均值、加權可能性方差和加權可能性協方差。本文假設投資者的風險態度分別為比較樂觀和比較悲觀，分別取樂觀系數為λ=0.6和λ=0.4，根據表1中的收益率數據和加權可能性均值、加權可能性方差和加權可能性協方差的定義求得對應不同風險樂觀系數λ值的不同的加權可能性均值、加權可能性方差和加權可能性協方差陣。

當投資者的樂觀系數λ=0.6時，八種證券模糊收益率的加權可能性均值見表2：

表2 樂觀系數為0.6時8種證券模糊收益率的加權可能性均值表

當投資者的樂觀系數λ=0.6時，八種證券的模糊收益率的加權可能性協方差陣見表3：

表3 樂觀系數為0.6時8種證券模糊收益率的加權可能性協方差表

將表2和表3中的數據代入到模型（1），用Matlab軟件可求得對應于不同的預期收益率下限的取值，相應的投資比例及風險見表4：

當投資者的樂觀系數λ=0.4時，同理可以求出八種證券模糊收益率的加權可能性均值與可能性方差、協方差值，將其帶入到模型（1）中，用Matlab軟件可求得對應于不同的預期收益率下限的取值，相應的投資比例及風險見表5：

表4 樂觀系數為0.6時加權可能性均值-方差模型的投資比例與風險表

表5 樂觀系數為0.4時加權可能性均值-方差的模型的投資比例與風險表

從表4和表5可以看出，隨著預期收益率下限的提高，兩個模型的風險值都隨之增大。但是對應于不同的λ值，雖然對于同樣一個預期收益率的下限水平，投資者不同樂觀系數的模型對應著投資比例和風險不同。例如當λ=0.6時，給定預期收益率下限為μ=3%時，投資比例為x1=0.0000;x2=0.1928;x3=0.0000;x4=0.1217;x5=0.1860;x6=0.1293;x7=0.0000;x8=0.3703，此時風險值為 183.0454；當λ=0.4時，給定預期收益率下限為μ=3%時，投資者的投資比例為x1=0.0000;x2=0.2323;x3=0.0816;x4=0.0000;x5=0.3021;x6=0.0562;x7=0.0312;x8=0.2967,此時風險值為201.9734。可見，投資者對未來收益的樂觀態度不同會導致其在不同資產上的投資比例不同，樂觀的投資者對未來收益的風險預期更小。

4 加權可能性均值-方差模型與Markowitz均值-方差模型的比較分析

對比加權可能性均值-方差的組合投資模型（1）和Markowitz均值-方差模型

會發現兩個模型的建模思想一致，都是在事先給定預期收益率下限的情況下，使投資者所承擔風險最小化的問題。

可見本文的加權可能性均值是隨機變量均值概念的推廣，加權可能性方差和協方差分別是實數域中方差和協方差概念的推廣。基于截集的加權可能性均值-方差的組合投資模型是傳統的Markowitz均值-方差模型在隨機變量取值為模糊數時的合理的推廣，該模型將Markowitz均值-方差模型的思想推廣到隨機變量取值為模糊數時的組合投資問題中去，解決收益率為模糊數據時的組合投資決策問題。下面通過一個實例來說明兩個模型在實際應用中的區別與聯系。

為了便于模型間的比較，采用前文實證分析中的八種股票從2007年1月到2010年3月共39個月的月收益率數據，月收益率為

其中 pit末表示第i種股票第t個月最后一個交易日的收盤價格，pit初表示第i種股票第t個月第一個交易日的開盤價格。根據公式（4）求得八種股票的月收益率的均值數據和協方差陣，并將其帶入到模型（3）中，可得不同預期收益率下限的不同的投資比例和風險值見表6。

為了更直觀的描述加權可能性均值-方差模型與均值-方差模型的風險收益之間的對比關系，利用表4、表5和表6中的收益率和風險值數據畫出三種模型的風險-收益關系圖如下：

圖1 不同風險樂觀系數的加權可能性均值

從圖1中可以看出，樂觀系數為0.6的加權可能性模型的風險收益關系圖在傳統均值-方差模型的風險收益關系圖的上方，樂觀系數為0.4的加權可能性模型的風險收益關系圖在傳統均值-方差模型的風險收益關系圖的下方。說明對應同一個預期收益率的下限，當決策者的樂觀系數為0.6時，模型的風險值小于傳統模型的風險值，當決策者的樂觀系數為0.4時，模型的風險值大于傳統模型的風險值。可見，三個模型的風險收益關系圖的走向基本一致。當預期收益率的下限為3%時，三個模型都是將資金的大部分投資與股票2、股票5和股票8，投資比例略有細微的差別，但是差別不大。另外，三個模型所能到達的預期收益率的上限略有不同，樂觀系數為0.6的加權可能性均值-方差組合投資模型所能達到的最高收益率水平為4.6081%，樂觀系數為0.4的加權可能性均值-方差組合投資模型所能達到的最高收益率水平為3.929%，均值-方差模型所能達到的最高收益率水平為4.1441%。其原因在于投資者的風險樂觀態度，投資者相對樂觀時，即樂觀系數較大時，其對股票的未來收益越偏向于模糊收益率的右端點，所以模糊收益率的均值越大，反之模糊收益率的均值越小。

5 結論

基于截集的加權可能性均值-方差的模型以隨機變量取值為模糊數時的加權可能性均值和加權可能性方差為研究對象，類似于Markowitz均值-方差模型的思想構建了基于截集的加權可能性均值-方差組合投資決策模型。建模過程中考慮了投資者的主觀意愿，投資者越回避風險，則對風險資產的未來收益的預期值越小；投資者越偏好風險，則對風險資產的未來收益的預期值越大，投資者可以通過選擇風險樂觀程度系數來體現自身的風險偏好。投資者的樂觀系數小的模型風險收益關系圖像位于樂觀系數大的模型風險收益關系圖的下方，說明對應于同一個收益率的下限，樂觀系數較大的模型，風險值較小。這是因為樂觀系數反映的是投資者對風險的認知態度，樂觀系數越大，說明投資者對風險的態度越樂觀，因此其對風險的描述值就較小；反之，樂觀系數越小，說明投資者越謹慎，故其對風險值的描述就較大。因此樂觀系數小的模型的風險值大于樂觀系數大的模型的風險值，這與投資者對風險的認知態度有關系。實證分析還表明該模型是Markowitz均值-方差模型在隨機變量的取值為模糊數時的一種合理推廣，并且該模型比Markowitz均值-方差模型有著更加廣泛的適用范圍和應用前景。

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