從描述和規定看不完全性定理的悖論關聯及哲學意蘊

王天思

從描述和規定看不完全性定理的悖論關聯及哲學意蘊

王天思

哥德爾不完全性定理與悖論有著耐人尋味的不解之緣。涉及描述自身規定的悖論本身就是描述邊界的界碑，此界碑表明了形式系統本身的不完全性。哥德爾不完全性定理根源于規定的不完備性，它從形式上證明了，任何封閉的描述體系都是不完全的；悖論是走向新領域的門樞。在人類理性的邊界處做出的規定，正是形式系統甚至所有封閉的理論體系不完全性的根源，從而正是哥德爾不完全性定理的根據。哥德爾不完全性定理的悖論關聯，具有極為深刻的哲學意蘊。

不完全性定理；悖論；哥德爾

王天思，上海大學社科學院哲學系教授。（上海 200444）

在哥德爾不完全性定理（G?del＇s Incompleteness Theorem）中，美妙觀念與艱深難解恰成對照，這不僅使哥德爾（Kurt G?del）被視為“一位被神秘所籠罩的傳奇人物”，而且使不完全性定理在人們面前體現為一項不可思議的智力成果：悖論一直被人們定性為必須消解的對象，甚至被看做是“理性的癌變”，而不完全性定理卻不僅依靠悖論得以論證，而且本身涉及悖論構成的關鍵要素。本文試圖從描述和規定的角度深入探討這一不可思議的思想成果，考察不完全性定理的悖論關聯及深層哲學意蘊。

一、不完全性定理與悖論

迄今為止，沒有任何理論像哥德爾不完全性定理那樣，與悖論有著如此微妙的關聯。一方面，不完全性定理的證明與悖論密切相關，哥德爾正是用悖論完成對不完全性定理的證明。另一方面，不完全性定理本身深深涉及悖論，不僅芝諾悖論與無窮級數收斂思想的產生，數理邏輯中的不相容性等與哥德爾不完全性定理的提出具有密切關聯，而且不完全性定理本身也與悖論有著耐人尋味的不解之緣。

1931年，德國數學家和邏輯學家哥德爾提出了“不完全性定理”，打破了到19世紀末數學家們已經建立起來的理想：“所有的數學體系都可以由邏輯推導出來。”不完全性定理指出：由于必然存在至少一個不可證命題，任何作為封閉形式體系的公設系統都是不完全的。

哥德爾不完全性定理的提出有兩個同樣令人震撼的方面：不完全性定理本身及其證明。兩者都耐人尋味地涉及被認為是導致悖論的兩大要素：自我指稱和否定概念。

和許多數學論證一樣，哥德爾不完全性定理的證明涉及自指的本質性使用。這方面，哥德爾的觀點與塔爾斯基（Alfred Tarski）比較相近，他曾給出“說謊者悖論”的一個變種：

1934年5月4日我所表述的陳述句全都是假的。（當天他只說過這么一句話。）

哥德爾由此斷言，“英語中的假句子”不能在英語中表述。對此，邏輯學家本奇在《數學謬論和悖論》一書中有這樣一個評論：“這個‘證明’沒有絲毫說服力！”[1](P25)筆者理解，哥德爾在這里是想說：假句子不能在假句子本身中表述。如果是這樣，則本奇的評論源自哥德爾表述的失誤。關于這一點，我們可以在哥德爾不完全性定理的論證中進一步看到。

在哥德爾不完全性定理的論證中，直接相聯系的是“理查德悖論”。為便于理解，我們以“書目悖論”為例進行討論。

古希臘著名學者卡里馬楚斯在古老的亞歷山大圖書館里編制亞里士多德學派著作的目錄時，他碰到了一個用亞里士多德邏輯完全無法解決的問題。原來在編目時，他把所有的目錄分成兩大類。第一大類是“自身列入的目錄”，即把自己也列入從而包含自身在內的目錄。第二大類是“自身不列入的目錄”，即不把自己也列入從而不包含自身在內的目錄。

當卡里馬楚斯編完第二大類的目錄，即編出了第二類書目的“總目”。但這部“自身不列入的目錄”的“總目”讓他為難了。“總目”該不該收入這本“總目”本身？如果它不列入 “總目”，不僅自身不成其為名符其實的 “總目”，而且正好使它成了一部“自身不列入的目錄”。按照他的分類原則，他就應該甚至必須將 “總目”本身列入“總目”。但如果將自身列入，那就使自己成了一部“自身列入的目錄”。同樣，按照他的分類原則，又不能列入自身。這樣，如果不自身列入，就必須列入自身；如果自身列入，則不能列入自身。無論列入與否都不對，都會陷入與邏輯矛盾完全不同的自相矛盾處境。

書目悖論能夠使我們更清楚地看到，那位圖書館管理員的問題不在于編了一本普通的書目詞典，關鍵是他在這本書目詞典中，要列出這個圖書館里所有書的書名。因此，最后他所遇到的不是一個普通的難題。這本書本身要不要列入？或者說，他是不是應當做一本“自身列入的目錄”？這些在技術上都不是問題，問題的關鍵在于，他能不能編這樣一本書目而不違背分類規定或分類原則。這個問題，事實上就集中表現在哥德爾的不完全性定理中。

事實上，邏輯主義試圖把數學還原為邏輯的努力未果，直覺主義解悖的成敗，形式主義解悖方案的努力和哥德爾不完全性定理，都表明把數學建立在邏輯的基礎上需要有對規定的關注和研究。而哥德爾用悖論證明不完全性定理，則已經更實質性地深化到將規定運用于論證了。

由于人類理性本身的性質，當人類認識進入極端處，也只能運用極端的方式。悖論向來是人們致力于消解的命題，但哥德爾卻用這種“成問題的”命題證明不完全性定理！

哥德爾定理的證明是將悖論用于證明的范例：通過證明自己說自己不可證的命題來證明它的真。在具體論證過程中，哥德爾先構造出一個說謊者悖論的類似物——命題G：

當前這個陳述在這個系統內不可證。哥德爾證明的技巧就在G構成兩個不同的陳述，一個是算術斷言，另一個是說自身不可證。對此，美國邏輯學家和哲學家麗貝卡·戈爾斯坦(Rebecca Goldstein)有非常精煉的描述:“當然，G是一個純粹的算術陳述，但它同時也在談論它自身，并且它所說的正是它不可證。它所說的是真的嗎？是的，它幾乎不可能是假的，因為那樣它必定可證，從而又無論如何都是真的。……這樣一來，G就既不可證，同時因為這正是它所說的，它也是真的。……通過表明正是它說的G不可證，我們證明了G是真的。”[2](P182－183)

也就是說，哥德爾的證明運用了一個類似說謊者悖論的命題G，它斷言自身不可證。如果G可證，那么一個可證的命題就是真的；但與它斷言自己不可證相悖，因而又是假的。所以，如果在一個具有一致性的系統中G可證，那么G既為真也為假，這一矛盾表明G不可證。而G所說的就是自身不可證，因此G既為真又不可證。這正是哥德爾所要證明的：如果系統是一致的，那么在系統中就存在一個既為真又不可證的命題。這樣就證明了形式系統的不完全性。這是一個從描述——歸根結底是規定的不完備性證明形式系統的不完全性的證明策略。

二、不完全性定理的悖論關聯和規定根源

作為對客體存在狀態和性質等的語詞－符號摹寫，描述具有不完備性，因為描述具有自身的邊界，因而有可能超出作為自身前提的規定。規定指的是為描述客體所作的關于數量和質量或方式和方法等標準的設定，也包括科學和哲學中一些明白作出的或隱含的預設。[3]當這個作為自身前提的規定就是自身時，則達到了自身的邊界。悖論正是由描述與作為自身前提的規定之間或描述所涉及的規定之間的沖突形成的。[4]因而說到底，悖論在這里是證明形式系統不完全性的重要工具。涉及描述自身規定的悖論本身就是描述的界碑，而這界碑當然就表明了形式系統本身的不完全性，正如我們說 “巴黎的米原器是否是一米長”達到了米制描述的邊界，因而表明了米制描述的不完備性一樣。米制描述的不完備性就在于必須有一個米原器的規定，而這個規定是超出米制描述本身的。

“米原器”是一種經驗的規定，但規定既可以是經驗的，也可以是邏輯的。在這里，邏輯的和經驗的規定與直覺的東西一樣，構成了形式系統的基礎。也正是這些規定，構成了不完全性定理的根據。因此，不完全性定理不僅關乎形式系統，而且由于與悖論密切相關而關乎所有描述體系。

自哥德爾不完全性定理和塔爾斯基的語義學真理論發表后，悖論問題的研究發生了重大轉向。而哥德爾不完全性定理的提出，則使悖論研究更添無限理論魅力。而且，從悖論在哥德爾證明不完全性定理中的作用和地位，我們可以清楚地看到在推進哲學的進一步發展過程中研究悖論問題的極端重要性。

悖論問題不僅是指向語言描述中出現的具體問題，更是指向人類知識的基礎，指向描述和規定的關系，并最終指向規定。哥德爾不完全性定理導致數學家們從悖論的研究中退場，邏輯學家和哲學家登場，悖論研究動機從數學上的轉向哲學上的，就是這一點的片斷展示。

應當說，哥德爾早就意識到，悖論問題不僅是當代邏輯哲學研究的前沿課題，而且是哲學研究的重大主題。他認為，集合論悖論“是很嚴重的問題，不過不是對于數學而是對于邏輯和認識論的嚴重問題”[5](P143)。由此我們可以看到，哥德爾不僅不把涉及自我指稱的悖論看做是必須禁止的，而且認為這種悖論具有重要的哲學意義，而他將悖論用于不完全性定理的證明，則是這一點的絕妙明證。在哥德爾不完全性定理的證明中，我們可以看到否定的規定更深刻的意義。由否定的規定所構成的悖論，甚至可能成為我們理論的重要構成部分。

就否定的規定而言，哥德爾理論真的與“禪理”頗為類似。禪宗不認為“語詞”能捕捉住“真”。然而，如果文字不能表達 “真”，那么，這句話本身也就構成了對自己的否定，因為這句話本身也是用文字表達的。依靠形式系統獲得真理，的確正如通過語詞達到真理：“真不能用字來表達，但又不能不用字來表達。”這些形式系統有助于我們獲得某些真理，但正如哥德爾定理所揭示的，無論一個形式系統看上去多么嚴密完整，都是不完全的，都不能讓我們達到全部真理。但是，正如禪師除了語詞，數學家們除了形式系統，還能依靠什么？

其實，以“特異獨行，超然遁世”著稱的哥德爾之所以思想 “沉奧深邃、意蘊廣遠”，就是由于他涉及人類認識的邊緣，感覺到了人類知識中某種更根本的東西。當卡爾·門格爾（Carl Menger）告訴哥德爾，“維特根斯坦離譜地說不可判定性證明的唯一用途是 ‘logische Kunststücken’（邏輯小竅門或戲法）”，哥德爾回復道：“就我關于不可判定命題的定理而言，你引用的段落很清楚地表明維特根斯坦沒有理解它 （或者他揣著明白裝糊涂）。他將其理解為一種邏輯悖論，而事實上正好相反，它是數學中絕對無爭議部分 （有窮主義數論或組合數學）中的數學定理。”[2](P118)

事實上，哥德爾不可判定性命題既不是 “邏輯小竅門或戲法”，也不是悖論，而是可能涉悖的規定。可判定性這樣一類概念是深深涉入人性的，其否定概念也就是否定式規定在全稱描述中幾乎無一例外地會涉及悖論。由此可見，只有深入到規定，才能通過不完全性定理的悖論關聯，一窺其規定根源。

哥德爾定理所說的任何公設系統都必定具有的不完備性，事實上源于規定的不完備性。也就是說，公設系統的不完全性來自規定的不完備性。集合論悖論正表明集合論公理體系的不完全性，語形悖論的根源在集合論公理體系中規定的不完備性。由于規定的不完備性造成的集合論悖論，是不可能通過形式邏輯的方法消解的。正是由于消解以羅素悖論為標志的語形悖論的努力無果，人們的注意力又回到以說謊者悖論為標志的語義悖論。

從描述的觀點看，一方面，從語形悖論走向語義悖論就是從外延邏輯走向內涵邏輯；另一方面，走向語義悖論就是走向規定。

本文所說的內涵邏輯與通常所說的內涵邏輯有所不同，指的是與形式邏輯相對的內容邏輯。當我們對外部事物進行區分，就會通過對一類事物進行概括而形成概念。這些概念之間的邏輯關系正是形式邏輯研究的內容。而當我們對這些概念的內涵進行考察，或者說當我們對作為規定的概念進行分析的時候，我們就涉及事物的內容。對事物內容的邏輯聯系的研究就是內涵邏輯的領域。因此，正是對事物的區分導致外延邏輯的形成，而正是對事物的規定導致內涵邏輯的形成。在人類認識中，關于概念內部關系的探索由來已久，只是由于不是自覺地進行內涵邏輯的研究，關于內涵邏輯長期迷失在外延邏輯之中，直到現代仍然如此。事實上，作為處理概念內部關系的邏輯，內涵邏輯和辯證邏輯都是與形式邏輯完全不同的內容邏輯。

在內涵邏輯的這一含義上，哥德爾不完全性定理正是樹立在外延邏輯和內涵邏輯之間的一個歷史界碑。它認定的那種不能在自身體系中得到證明，甚至是不可規定的東西，就是外延邏輯領域的形式系統生長在內涵邏輯領域的根。建立在外延邏輯基礎之上的所有形式系統的不完全性，都可以在內涵邏輯領域找到它們的根源。在外延邏輯領域只是遙遙可見的悖論，在內涵邏輯的背景中，似乎并不是那種不受歡迎、讓人欲除之而后快的東西，有時候可能恰恰相反，矛盾和悖論是生長在內涵邏輯領域的兩顆最為璀璨的珍珠，正因為如此，悖論才成了人們的“鐘愛之物”。

事實上，作為一個描述系統，任何一個封閉的形式體系都必須建立在相應規定的基礎之上，即使是簡單的自然數體系，也必須建立在自然數字規定的基礎之上（比如阿拉伯數字）。試圖在一個形式體系內部使該體系變得“完全”，也就是使這個形式體系內部的每一個命題都得到證明，這樣就必然走向悖論。因為在那個封閉體系內部的不可證明的命題就是規定。以此規定作為某些描述的前提，就很容易由于描述的“不慎”而與該規定構成沖突。這種情況的發生，可以是由描述的主觀原因造成的（比如觀念和信息掌握），但更可能是因為那個在形式體系內部不證自明的命題就是一個規定。這個規定作為該形式體系得以成立的前提，在體系內部是不可能得到證明的。不完全性定理的根源，正在于描述和規定的不完備性。

三、規定、悖論和不完全性定理的哲學意蘊

從描述和規定的角度看，哥德爾不完全性定理首先具有這樣一個重要哲學意蘊：它不僅從形式上證明了任何封閉的形式體系是不完全的，而且在描述的意義上證明了任何封閉的描述體系都是不完全的。關于證明了任何形式體系都是不完全的，正如楊熙齡所說：“哥德爾證明了在這類演繹系統中，他能建造一句初等數論的語句，這個語句是真的，‘當且僅當’該系統不能證明它為真，這樣的系統因此有漏洞，或者說‘不完全’，它至少漏掉了一個真理，要不漏掉這句話，那它就整個兒垮掉，因為它就將得到一個矛盾。”[1](P38)由于任何封閉的形式體系都存在的 “漏洞”，恰恰就是其得以成立的 “不可證命題”，這些 “不可證命題”的基礎不是不以人的意志為轉移的客觀存在，而恰恰是作為我們自己的描述的前提，不僅形式系統，而且任何描述體系都具有描述本身所不可避免的不完備性，因此，任何描述體系都是不完全的，包括哲學在內的一切描述體系都不應再走向封閉，所有描述系統都必定是開放的。

事實上，對于一個描述或形式系統來說，必定存在的“不可證命題”就是作為自身基礎的規定。由此我們也可以推見不完全性定理的另一個重要哲學意蘊：任何理論都有自己的“肚臍”，悖論將是我們自然而然走向各個新領域的門樞。正如哥德爾所說:“可以合理地假定：每一個概念，除對某些‘奇異點’（singular points）或‘極限點’（limiting points）之外，是處處有意義的。這樣，悖論看起來就類似于用零作除數的某種東西。這樣的一個系統在以下方面將是最令人滿意的：我們的邏輯直覺直至經過某種小的修改依然是正確的，它們可看成是給出了一個本質上正確的、只是有點‘模糊的’實在狀況的圖畫。”[6](P181)

哥德爾不完全性定理不僅證明形式主義的意圖不可能完成，而且證明形式系統是描述性的。因為一個形式系統本身的一致性必須依靠形式系統之外的東西，而且必然借助直覺才能證明。“形式主義者的意圖是為達到形式系統的透明消除事物（空間、數字、集合）本身性質的不透明。但對于一個形式系統來說，被證明具有一致性是最重要的。只要公理是真正描述性的，描述性內容的逐漸消失將確保一個形式系統的一致性。這只能在形式系統之外并借助本身不能被形式化的直覺才能做到。 ”[2](P187－188)

正是由于不完全性定理表明不可能從形式技術上完全解決悖論問題，哥德爾不僅認為悖論是對于邏輯和認識論的嚴重問題，而且區分了“處理外延的數學（集合論）與處理內涵的邏輯（概念論）”。在他看來，“集合永遠不能屬于自身，全集合是不存在的，但概念也許適用于自身，全概念是存在的 （即概念的概念，它適用于自身）。我們遠遠沒有像迭代集合概念那樣清楚的概念的概念，對于‘所有不適用于自身的概念的概念’之類的內涵悖論也沒有足夠好的直觀理解”[7](P302)。

哥德爾不完全性定理表明，一個足夠復雜的理論不能證明自身不包含悖論，這揭示了一個基本事實：足夠復雜的理論都有自己的“肚臍”。這些肚臍構成了人類處于不同層次的各種描述體系之間的“蟲洞”，都隱藏著由此走向另一番天地的門樞。找到這些門樞，可能是人們更加自由地游弋在各種描述層次之間的法門。悖論總是出現在不同層次的理論之間，往往是不同層次理論 “錯位”的產物。這種錯位也發生在兩個基礎性的理論——相對論和量子論之間，但這種情況往往發生在一個新的層次的理論還沒有建立起來的時候。正像地質構造中板塊的錯位往往造成自然界的“地震”，理論之間的錯位也會帶來知識世界的“地震”。在這種情況下，悖論就成了邁向新的理論層面的重要門徑。

在哥德爾不完全性定理中，我們會感覺到我們游弋在理性的邊緣。的確，我們在相對論、量子論等有點近乎“神秘”的科學領域，特別是在深奧的哲學領域，也會有一種走進理性邊緣的感覺，但那更確切地說是我們 （我們個人，不是人類）理性能力的邊緣。而在哥德爾的不完全性定理中，我們（不是我們個人，而應當是人類）則的確是走進了理性的邊緣——我們深深感受到那種身臨“天涯海角”的感覺。在那里，理性游走在自己的極限處，這里我們也可以看得很清楚，在科學和哲學理論中，我們感覺到的是我們在這個世界的極目所見；而在悖論中，我們感覺到的則是在某個特定的認識階段，我們自己的理性在理性自身中的極目所見。在對世界的極目所見中，我們清楚地知道世界不會在我們的極目之外消失，而在對我們理性的極目所見中，我們則清楚地看到我們理性 “作繭自縛”的奇妙結構：“在卡夫卡和哥德爾那里，都有一種愛麗絲漫游奇境的性質，一種已經進入一個奇特世界的感覺，在這個世界中，事物會變成其他東西，包括它們自身的含義。”[2](P170)

事實上，當規定涉及作出規定的人類理性時，我們就進到了人類理性的邊界。在人類理性的邊界處做出的規定，就必定具有不完全性。這正是人類規定不完全性的根源，也是形式系統甚至所有封閉的理論體系不完全性的根源，從而正是哥德爾不完全性定理的根據。正是根據這一邏輯，在2002年北京國際數學家大會上，霍金（Stephen William Hawking）作了題為《哥德爾與M理論》的報告。他根據哥德爾不完全性定理得出結論：建立一個單一的描述宇宙的大統一理論是不太可能的。正是在這個意義上，我們可以看到哥德爾不完全性定理的再一個哲學意蘊，從而意識到對哥德爾不完全性定理應當有一個更深刻的哲學理解。

從描述和規定的角度看，不完全性定理的再一個重要哲學意蘊是：它表明，包括自身在內的任何描述體系都具有知識的人類學特性。正是由此，我們可以看到，哥德爾定理不僅不應理解為導向絕望[8](P78)，反而應當看做一種啟示：人們可以通過退離（back away）更真實地看待對象及我們與對象的認識關系，尤其是我們自己在這一關系中的地位。哥德爾定理當然也不應成為人們陷入關于外部世界的任何神秘主義的借口[8](P78)，因為它所導向的應當是人類自身的奧秘——人類學特性。哥德爾定理不僅意味著人類的智力資源沒有也不可能全部形式化[8](P75)，更意味著在更深層次上形式化的結論在非形式化領域具有更深刻的哲學意蘊。哥德爾定理也不僅意味著非形式化的元數學推理具有更根本的意義[8](P75)，更意味著比元數學推理更深層次的規定的探究，具有更重要的哲學意蘊，它意味著對人類理性和人類學特性，對人的創造性更深遠前景的更清晰眺望。

規定具有不完全性，而人（包括人的理性）作為一個有限的存在，卻總是使出自己的渾身解數去思考與自己的理性基礎有關的問題，從而必定遇到悖論。這類悖論不是人所能排除的，除非他不描述，不規定。因此，有些悖論是不可能消除的，它們也不用消除，因為在某種意義上說，這正是人類理性（思維）的本性使然。更為重要的是，對人類描述和規定來說，這些悖論意義尤其重大。它們不僅涉及“實在”、“描述”和“規定”等基本概念，而且深深涉及人類學特性。正是對人類學特性的深深涉入，既顯露了哥德爾不完全性定理的描述和規定性質，又曉示了更為深刻的哲學意蘊。哥德爾不完全性定理的這一更為重要的哲學意蘊，正是根源于其悖論關聯，歸根結底根源于規定的不完備性。

[1]楊熙齡.奇異的循環——邏輯悖論探析[M].沈陽：遼寧人民出版社，1986.

[2]Rebecca Goldstein.Incompleteness：the Proof and Paradox of Kurt G?del.New York:W.W.Norton＆Company,Inc.,2005.

[3]王天思.描述和規定[J].中國社會科學,2004, (3).

[4]王天思.論描述的性質及其規則——兼及悖論產生的描述根源[J].哲學研究,2007,(8).

[5](德)哥德爾.什么是康托爾的連續統問題？[A].數理哲學譯文集[C].北京：商務印書館,1988.

[6](德)哥德爾.羅素的數理邏輯[A].數理哲學譯文集[C].北京：商務印書館,1988.

[7]張建軍.科學的難題——悖論[M].杭州：浙江科學技術出版社,1990.

[8]Ernest Nagel and James R.Newman.G?del＇s Proof.Routledge：Taylor＆Francis，2005.

【責任編輯：王立霞】

B565.6

A

1004－518X（2013）05－0011－06

國家社科基金項目“悖論的描述成因和解決方案研究”（12BZX004）、上海市社科基金項目“規定論研究”（2011BZX002）