基于Guyan法的有限元模型縮聚技術(shù)研究

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 民用航空學(xué)院，遼寧 沈 陽(yáng) 1 10136）

模型縮聚在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析中有著廣泛的應(yīng)用，其目的是為了獲得一個(gè)滿足工程精度要求的低階有效計(jì)算模型。關(guān)于有限元計(jì)算中自由度減縮已有很多專(zhuān)著論述，已經(jīng)在商業(yè)軟件中得以應(yīng)用[1]。Guyan法是有限元分析中廣泛使用的一種自由度減縮方法，屬于靜態(tài)自由度減縮方法，是其它很多自由度減縮方法的基礎(chǔ)[2]，在具體應(yīng)用計(jì)算中縮聚點(diǎn)位置及自由度數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響重大，值得深入研究。

1 Guyan減縮法

Guyan法將有限元模型的自由度分為主自由度和副自由度，忽略副自由度上質(zhì)量的影響，將系統(tǒng)的副自由度減縮掉。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中，

xa為主自由度位移；

xb是副自由度位移。

則由上式第二方程得

若不靠慮副自由度上的慣性影響，則

此方程被看成是一種靜態(tài)特性的約束，因此也稱(chēng)Guyan法為靜態(tài)減縮法。這種處理對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的低階模態(tài)的影響不大，因低級(jí)模態(tài)的慣性力較小，但對(duì)高階模態(tài)則經(jīng)常造成很大誤差[3]。

減縮后的模型即為：

2 算例分析

考慮一長(zhǎng)方形薄板結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)300 mm，寬180 mm，厚度為6 mm。材料彈性模量E=3.0E6 Mpa，泊松比μ=0.33，密度ρ=3.0E-9t/mm3。在其中一個(gè)短邊施加固支邊界條件，約束全部6個(gè)自由度。將該板用CQUAD4單元?jiǎng)澐譃?5個(gè)單元，24個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖1所示。

圖1 矩形板有限元模型單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào)

將全部單元板厚為6 mm的設(shè)定為試驗(yàn)?zāi)Ｐ停涀髂Ｐ蚑。為描述試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c數(shù)值模型的建模差別，把其中8號(hào)單元的板厚修改為8 mm作為有限元數(shù)值模型，記作模型A。將模型T的分析結(jié)果作為試驗(yàn)結(jié)果，而模型A的分析結(jié)果作為有限元計(jì)算結(jié)果，通過(guò)研究這兩個(gè)模型的差別，研究結(jié)構(gòu)有限元模型修改的相關(guān)技術(shù)和方法。

2.1 固有特性分析

首先對(duì)兩模型固有特性進(jìn)行分析，為模型縮聚（即相當(dāng)于物理試驗(yàn)的測(cè)點(diǎn)位置布置和測(cè)點(diǎn)自由度選擇）作指導(dǎo)。結(jié)果如表1所示。

表1 固有特性分析結(jié)果

這里只重點(diǎn)討論前4階振型。

2.2 相關(guān)性分析

把兩種模型所得的固有頻率作為x軸和y軸，可以簡(jiǎn)單直觀的獲得模型相關(guān)性。把固有振型列向量的每個(gè)元素都畫(huà)在x-y平面上，x軸表示數(shù)值分析值，y表示試驗(yàn)值。如果兩個(gè)模型的固有振型都是按質(zhì)量規(guī)一化分布，則理論上這些點(diǎn)應(yīng)位于斜率為的直線上。如果這些點(diǎn)所靠近的那條直線其斜率不是，則兩個(gè)模型中，有一個(gè)模型的固有頻率沒(méi)有按質(zhì)量規(guī)一化，或存在其他某種形式的數(shù)據(jù)換算誤差。如果這些點(diǎn)圍繞該直線廣泛的散布著，那么兩個(gè)模型中的一個(gè)數(shù)據(jù)有錯(cuò)。如果散布的范圍非常大，則可能是由于被比較的兩個(gè)振型向量并不是對(duì)應(yīng)于同一模態(tài)的原因。

經(jīng)過(guò)作圖比較，頻率相關(guān)圖以及前幾階的振型相關(guān)圖均圍繞著斜率為1的直線散布，因此兩模型具有良好的相關(guān)性。

2.3 測(cè)點(diǎn)布置與模型縮聚

通過(guò)對(duì)計(jì)算模型進(jìn)行有限元分析可知，結(jié)構(gòu)的第1、3階振型分別為一階、二階彎曲，而第2、4階振型分別為一階及二階扭轉(zhuǎn)。下面將討論幾種不同的測(cè)點(diǎn)選擇（縮聚）方案對(duì)模型計(jì)算結(jié)果的影響。

A 方案：在 2、6、20、24號(hào)節(jié)點(diǎn)，各 6個(gè)自由度；

B 方案：在 2、3、4、5、6、20、21、22、23、24 號(hào)節(jié)點(diǎn)，各6個(gè)自由度；

C 方案：在 3、9、15、21、5、11、17、23 號(hào)節(jié)點(diǎn)，各6個(gè)自由度。

對(duì)上述各模型進(jìn)行有限元分析并比較。

表2 不同縮聚方案前四階頻率比較

2.4 結(jié)論

由表2可知，A縮聚方法只能描述1階振型，這是因?yàn)檫x擇的兩對(duì)節(jié)點(diǎn)分別在板的長(zhǎng)邊上是線性關(guān)系，不能描述更高階的振型，故A方案縮聚后得到的一階彎曲、一階扭轉(zhuǎn)的誤差較小，而計(jì)算得到的二階彎曲、二階扭轉(zhuǎn)的誤差都很大；B方案選擇兩條長(zhǎng)邊的所有點(diǎn)作為縮聚點(diǎn)，在每個(gè)邊上有5個(gè)點(diǎn)，可以至少描述3次彎曲振型，因此，計(jì)算得到的誤差都比較小，特別是二階彎曲，沿長(zhǎng)邊方向增加了3個(gè)點(diǎn)，總數(shù)目為8個(gè)，使得頻率計(jì)算的誤差從24%降低到2%左右，作用比較明顯；而C方案相應(yīng)的通過(guò)沿板寬方向增加測(cè)點(diǎn)的數(shù)目，而沿板長(zhǎng)方向沒(méi)有變化，但是從位置上比較接近板中間地帶，所以計(jì)算得到的頻率誤差范圍不大，但是沿寬度方向增加點(diǎn)數(shù)對(duì)減小結(jié)果精度誤差的耗費(fèi)較大。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，可以得到以下結(jié)論：

（1）模型的縮聚點(diǎn)位置應(yīng)根據(jù)振型的特點(diǎn)選取，所選擇的縮聚點(diǎn)應(yīng)能夠反應(yīng)感興趣的結(jié)構(gòu)振型，稱(chēng)為測(cè)點(diǎn)的適應(yīng)性。

（2）反映結(jié)構(gòu)振型的方向上增加點(diǎn)和自由度數(shù)，可以提高縮聚的精度。

（3）縮聚的精度還和縮聚的方法有關(guān)系。文獻(xiàn)資料表明，改進(jìn)縮聚系統(tǒng)法具有比Guyan法更好的精度，但是較費(fèi)時(shí)間。

[1]袁愛(ài)民.基于靈敏度分析的有限元模型修正技術(shù)若干關(guān)鍵問(wèn)題研究[D].湖南：東南大學(xué)，2006.

[2]李 輝，丁 樺.結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型修正方法研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，2005，（02）：170-180.

[3]楊秋偉，劉濟(jì)科.一種改進(jìn)的模型縮聚方法[J].力學(xué)與實(shí)踐，2006，（02）：70-72.