對基于激光單縫衍射測量實驗的優化

李 俊,莫緒濤,黃仙山

(1.安徽工業大學 數理科學與工程學院，安徽 馬鞍山 243032； 2.同濟大學 物理科學與工程學院，上海 200092)

自1960年梅曼發明激光器以來，激光的應用日益廣泛. 由于激光具有單色性好和亮度高等優點，經常被用作干涉和衍射實驗的光源. 在直接使用高斯光束作為夫瑯禾費衍射光源時，理論分析表明其衍射光斑分布與均勻光的夫瑯禾費衍射光斑分布存在一定偏離[1-3]. 其原因在于高斯光束的光強分布不均勻，即在衍射平面上的光強中間強兩側弱. 單模激光除了具有與高斯光束相類似的光強分布外，在衍射平面上的相位也不相等. 當以均勻光作為夫瑯禾費單縫衍射光的光源時，可以根據衍射反比關系即可反推縫寬大小. 目前，利用單縫衍射對狹縫尺寸進行測量在實驗和工業中都有著普遍的應用[4-6]. 如果以基模激光作為衍射光源對狹縫進行測量，則需要在實驗和算法等方面做相應改進. 文獻[7]中已經提出精確測算激光單縫衍射實驗中縫寬大小的計算機算法. 本文依據基爾霍夫衍射理論，從理論上分析了誤差產生的主要原因，結合實驗改進，實現了對亞毫米尺寸的精確測量.

1 理 論

基模激光復振幅的空間分布關系為[8]

(1)

式中

(2)

(3)

其中，ω0為激光束腰斑半徑，z0為距束腰斑的距離，λ為激光的波長.ω0和z0可以利用文獻[9]的方法測得. 由(2)式可以看出ω和z0滿足雙曲函數關系，即激光半徑沿激光傳播方向是雙曲線分布.

設狹縫寬度為2a，縫與接收屏的距離為D，基模激光束垂直于狹縫平面入射且其光束中心通過單縫中心，則當系統滿足遠場條件D?(2a)2/λ時，僅考慮一維情況，可由菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式給出接收屏上任一點的復振幅為[10]

(4)

則光強大小分布為

I(x′)=|U(x′)|2.

(5)

由于(4)式的積分比較復雜，無法直接求出解析解，為此通過數值方法處理上述積分計算.

以上分析可以看出基模激光與均勻光的區別主要在于激光光束的光強和相位的不均勻性，而相位的不均勻性主要取決于激光器的束腰半徑大小和衍射屏與激光器束腰之間的間距. 為了區分光強和相位對單縫衍射的影響，首先計算了等相位的高斯光束的衍射光強分布，如圖1所示. 從圖1可以看出高斯光束的衍射光強分布相對于均勻光存在著向兩側的偏移，且隨著縫寬和激光光斑直徑比值(a：ω，簡稱比值)不斷增大，1級暗紋和1級亮紋位置的偏移量隨之逐漸增大，1級光的光強與0級光的比值明顯降低.

圖1 均勻光與不同比值的高斯光束單縫衍射分布圖

表1 均勻光與不同比值的高斯光單縫衍射參數對比

圖2是考慮了振幅和相位的不均勻性即實際基模激光與均勻光單縫衍射光強分布對比圖. 設定激光器的束腰半徑為0.1 mm，衍射屏距激光束腰的距離為80 mm. 與圖1相比，其偏移程度隨比值的增大明顯增加，且1級暗紋光強并不為0，存在一定的亮度. 當比值大到一定程度1級暗紋消失，0級亮紋與1級光重合. 此時，無法利用激光單縫衍射的方法測量相對較寬的狹縫.

圖2 均勻光與不同比值的基模激光單縫衍射分布圖

a∶ωx1暗′I1暗I1明Δx1暗′x均′I0∶I1均勻光10.001 10.047 80%20.920.21.0630.000 90.045 26.3%22.120.41.0920.009 00.042 69.2%23.470.61.1580.037 40.049 015.8%20.40

在激光實驗中，經常需要使用透鏡將激光按照要求匹配進入到激光處理器件中. 激光在經過透鏡時，存在以下規律[8]：

(6)

(6)式中，F為透鏡焦距，ω0為激光的束腰斑半徑，l為激光束腰斑到透鏡焦平面的距離，則ω0′為激光經過透鏡后的束腰斑半徑，l′為激光經過透鏡后束腰斑到透鏡焦平面的距離.

根據以上規律，設計了圖3所示的雙透鏡結構來降低因高斯光束光強和相位分布的不均對單縫衍射造成的誤差.

如圖3所示，激光從左邊入射，經過第1個透鏡后，會產生新的雙曲線分布，適當調節第1個透鏡的焦距和與激光器束腰的距離，可以實現擴束效果. 再經過第2個透鏡又會產生新的雙曲線分布. 現將狹縫置于第2個透鏡的左邊附近，即讓激光經過第1個透鏡擴束后再通過狹縫，以降低比值大小，從而減小激光分布不均勻帶來的影響. 再將接收光屏置于第2個透鏡的右方束腰位置處，即等相位面位置，以排除相位分布不均勻的影響. 因此，通過以上透鏡系統，即可很好地從實驗上解決因光強和相位的不均勻而帶來的影響.

圖3 基模激光光束經過透鏡變換示意圖

為了從理論上驗證擴束后的光束對于衍射光斑平移量的改進，取ω=10a的情況進行計算比較，得出1級暗紋歸一化的位置為1.002，相對于均勻光的偏移比僅為0.2%. 由此可以看出，通過增加縫寬和激光光斑半徑的比值，可以明顯降低因激光能量分布不均勻帶來的誤差.

2 實 驗

圖4 激光單縫衍射測量狹縫寬度實驗示意圖

通過以上理論分析，設計出激光單縫衍射測量狹縫寬度實驗示意圖如圖4所示. 其中，激光器采用532 nm的普通半導體激光器，狹縫采用螺旋式寬度可變的刀口，根據(6)式和(2)式可知，為了在狹縫處獲得較大光斑(較小的束腰半徑)，第1個透鏡應盡量取短焦距. 為了具有較大的衍射間距，第2個透鏡應取較長焦距，故采用2個焦距分別為15 mm和250 mm的正透鏡，CCD相機是型號為MER-500-7UM的大恒黑白相機.

首先測定激光器的束腰大小和位置，根據(6)式計算并設定2個透鏡和光屏的位置,設定衍射屏到光屏的為2 000 mm，螺旋刀口設定的狹縫寬度為0.42 mm. 根據相應的參數按圖4搭建實驗平臺，用CCD相機拍攝光屏上的光斑分布如圖5所示. 再保持各器件在原來位置，拿走2個透鏡并適當調節光圈大小后拍攝的光斑分布如圖6所示. 由于衍射光斑中間強兩邊弱，故在光屏上將0級光處涂成黑色以吸收部分光，降低其與其他級衍射光斑的對比度，防止中間光斑光強過強CCD拍攝無法分清. 圖5下部分是普通直尺，用于標定CCD相機拍攝圖片尺寸的放大率. 將圖5和圖6進行對比，可以清晰地看出，在衍射光路中拿走雙透鏡系統后，0級與其他級次地光強對比度明顯提高，且中心明紋變寬，即1級暗紋位置向兩邊平移，這些與前的理論計算結果是一致的.

圖5 CCD相機拍攝的衍射光斑分布圖

圖6 移除透鏡時CCD相機拍攝的衍射光斑分布圖

(a)較大閾值下的二值化后衍射光斑分布圖

(b)較小閾值下的二值化后直尺刻度分布圖圖7 不同閾值的二值化后的分布圖

對圖5進行2次二值化處理如圖7所示. 圖7(a)為較大閾值下的衍射光斑分布圖，圖中只有黑色背景和白色光斑，可以很好地算出光斑分布情況. 圖7(b)是較小閾值下的二值化處理后的圖像，圖中直尺刻度清晰，可以利用程序計算出刻度間的像素數，進而求出CCD相機的放大率.

根據相關測量參量的不確定度及運用單縫衍射反比關系，計算出縫寬為0.421 mm，與所設定的狹縫寬度接近，且根據參量的不確定度[11]進行誤差分析，理論上精度可達μm量級. 由此可見，使用這種方法進行的亞毫米級尺寸測量是可行的.

3 結束語

在光路中使用2個透鏡后，可以很好地降低因單模激光在衍射屏上光強和相位的不均性而引起的衍射光斑平移，進而實現與均勻光近似相同的衍射分布. 因此，可以利用衍射反比關系，實現對亞毫米級狹縫寬度或細絲直徑等物體尺寸的非接觸式光學精確測量.