構造法在高等代數中的應用

史秀英

（赤峰學院 繼續教育與教師培訓學院，內蒙古 赤峰 024000）

構造法屬于非常規思維、另辟蹊徑的解題方法，其本質特征是“構造”，用構造法解題，無一定之規，表現出思維的試探性、不規則性和創造性，其關鍵在于對問題特征的敏銳觀察，展開豐富的聯想，充分地挖掘題設與結論的內在聯系，恰當地構造數學模型，進而謀求解決問題的途徑.

構造法在高等代數中有著廣泛的應用，但怎樣“構造”始終是求解問題的難點.在具體研究對象中，根據實際情況可能需要構造函數、構造多項式、構造行列式、構造矩陣、構造二次型、構造基、構造變換等等數學模型，而后再利用已知條件及有關概念、定理推理得出所要證明的結果.構造法的解題類型較多，一般存在性命題或潛在的存在性命題更適宜用構造法.

1 構造法在多項式理論中的應用

構造法在多項式理論中的應用，主要是借助已知條件，利用多項式的性質，構造出符合條件的多項式，進而最終獲解.

例1 證明任意一個次數大于零的有理系數多項式都可以表成兩個有理數域上的不可約多項式的和.

分析 本題中討論的是任意多項式的一種定性分解，因此，本題的解決必須要定性地構造出結論中的表示形式.問題的關鍵是這兩個有理系數不可約多項式如何構造，而我們常見的不可約有理系數多項式有一次多項式和滿足Eisenstein判別法條件的有理系數多項式.

（?。┤鬭0=0，取素數p，構造多項式：g(x)=pf(x)+x'+p，其中s>n，由Eisenstein判別法可得：g(x),h(x)=x'+p在有理數域上不可約，所以(x)在有理數域上也不可約.

（ⅱ）若a0≠0，取素數p，使得：p覮a0，p>2，構造多項式：g(x)=pf(x)+x'+p(p-2)a0，其中s>n，g(x)的常數項為：pa0+p(p-2)a0=p(p-1)a0，可見：p2覮p(p-1)a0，由Eisenstein判別法知：g(x),h(x)=x'+p(p-2)a0在有理數域上不可約，所以在有理數域上也不可約.

（2）若f(x)∈Q[x],則存在m∈Z，使mf(x)∈Z[x]，由（1）知：存在有理數域上不可約多項式u(x),v(x)∈Q(x)，使得mf(x)=u(x)+v(x)，故(x)，其中為有理數域上不可約多項式.

2 構造法在行列式中的應用

構造法在行列式中的應用，主要是借助已知的特征、特型和特值行列式，利用行列式的性質與展開，構造恒等變形行列式，進而最終獲解.

例2 證明：n階循環行列式

(εn-1)，其中1,ε,ε2,…,εn-1為全部n次單位根（其中ε為n次本原單位根），f(x)=a1+a2x+…+anxn-1.

分析 根據本題行列式的特征，構造矩陣，利用特征多項式、特征值來證.

證明 構造n階方陣：

則Dn=a1E+a2A+…+anAn-1=f(A),且A的特征多項式為|λE-A|=λ2-1，即有A的特征值為全部n次單位根ε1,ε2,…,εn,有矩陣f(A)的特征值為f(ε1),f(ε2),…,f(εn)，所以|Dn|=|f(A)|=f(ε1)f(ε2)…f(εn).

3 構造法在線性方程組中的應用

構造法在線性方程組中的應用，主要是借助已知條件，利用線性方程組的同解變換，構造同解方程組，進而最終獲解.

例3 設n階方陣A的秩為r，則存在秩為n-r的n階矩陣B和C,使得AB=0,CA=0.

證明 設齊次線性方程組AX=0的基礎解系為ξ1,ξ2,…,ξn-r，

構造矩陣：B=（ξ1,ξ2,…,ξn-r,ξn-r+1,…,ξn），其中ξn-r+1,…,ξn是ξ1,ξ2,…,ξn-r的線性組合，則有Aξi=0（i=1,2,…,n），即AB=0.

同理，構造矩陣F,使得A'F=0,于是F'A=0,令F'=C，即有CA=0.

4 構造法在矩陣中的應用

構造法在矩陣中的應用，主要是借助已知條件，利用矩陣的性質，構造出符合條件的矩陣或矩陣等式，進而最終獲解.

例4 設矩陣A∈Ps×n，證 明：r(Es-AA')-r(En-A'A)=s-n

于是有r(B)=r(Es-AA')+n=s+r(En-A'A).

故：r(Es-AA')-r(En-A'A)=s-n.

5 構造法在二次型中的應用

構造法在二次型中的應用，主要是借助已知條件，利用二次型與對稱矩陣的性質，構造出符合條件的二次型或對稱矩陣，進而最終獲解.

例5 設A實數域上的n階對稱矩陣，求證：存在實數c，使得對實數域上任何n維列向量X,都有|X'AX|≤cX'X,其中X'是X的轉置矩陣.

證明 由于A是對稱矩陣，構造n元二次型

f(x1,x2,…,xn)=X'AX,則存在正交線性變換X=QY，將二次型化成標準型f(x1,x2,…,xn)=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2.

6 構造法在線性空間中的應用

構造法在線性空間中的應用，主要是借助已知條件，利用線性空間基的性質，構造出符合條件的向量，進而最終獲解.

例6 設V數域R上一個n(n≥1)維線性空間，證明：存在V的無限子集s，使s中任意n個向量線性無關.

證明 設β1,β2,…,βn為V的一組基，則V=L(β1,β2,…,βn)，從而對任意的α∈V，有α=k1β1+k2β2+…+knβn，其中k1,k2,…,kn∈R，特別的，我們構造如下向量：αik=ikβ1+ik2β2+…+iknβn，ik∈N+

即A=CB.

由于ik≠ij≠0，從而由范德蒙行列式可知：

而β1,β2,…,βn為V的一組基，所以r(B)=n，

于是r(A)=n.

令S={αik|αik=ikβ1+ik2β2+…+iknβn，ik∈N+}，顯然S為V的無限子集并且S中任意n個向量線性無關.

7 構造法在線性變換中的應用

構造法在線性變換中的應用，主要是借助已知條件，利用線性變換與矩陣的同構與性質，構造出符合條件的線性變換與矩陣，進而最終獲解.

例7 設V是一個n維線性空間，證明：V的任意一個子空間W必為某線性變換的核.

證明 當W={0}時，則W為恒等變換的核；

當W=V時，則W為零變換的核；

當{0}奐W奐V時，即W是V的真子空間時，設dimW=r，

取W的一組基：ξ1,ξ2,…,ξr，把它擴充為V的一組基：ξ1,ξ2,…,ξr，ξr+1,…,ξn,

8 構造法在歐式空間中的應用

構造法在歐式空間中的應用，主要是根據題設條件和結論的特征，利用歐式空間的性質，構造出符合條件的結論，進而最終獲解.

例8 設V是一個n維歐式空間，W 是V的子空間，W⊥是V中一切與W正交的向量組成的集合，證明：W⊥是V的子空間，且dimW+dimW⊥=n，(W⊥)⊥=W

證明 易證W⊥是V的子空間.

當W={0}時，易知W⊥=V，這時V=W茌W⊥.

當W=V時，易知W⊥={0}，這時V=W茌W⊥仍成立.

當dimW=t(0

構造子空間：W1=(εt+1,…,εn),可以證明W1=L(εt+1,…,εn)=W⊥.

事實上，任取α=W1=L(εt+1,…,εn),則α=at+1εt+1+…+anεn，任取β∈W,則

于是α∈W⊥，即W1=(εt+1,…,εn).

反之，任取γ∈W⊥哿V,不妨設γ=b1ε1+b2ε2+…+btεt+bt+1εt+1+…+bnεn+,對任意εi∈W(i=1,2,…,t)，則有(εi,γ)=bi(εi,εi)=0,即有bi=0，(i=1,2,…,t)，

故γ=bt+1εt+1+…+bnεn，從而γ∈L(εt+1+…+εn)=W1,即W⊥哿L(εt+1+…+εn)=W1，

從而W1=L(εt+1+…+εn)=W⊥.

又V=L(ε1,ε2,…,εt,εt+1,…,εn)=L(ε1,ε2,…,εt)茌L(εt+1,…,εn)，即V=W茌W⊥.由V=W茌W⊥，且W⊥W⊥,所以由歐式空間正交補的定義及唯一性可知：(W⊥)⊥=W.

以上，我們從高等代數不同的知識角度談了構造法的應用，更多用構造法求解的問題，還需要我們在以后學習過程中去總結發現.

〔1〕王積社，楊曉鵬.高等代數典型問題精講[M].科學出版社,2010.

〔2〕周金土.高等代數解題思想與方法[M].浙江大學出版社,2008.

〔3〕李志慧,李永明.高等代數中的典型問題與方法[M].科學出版社,2008.

〔4〕張禾瑞,郝鈵新.高等代數[M].高等教育出版社,1999.