用變分方法計算天文折射

楊步恩

(大連理工大學物理與光電學院 遼寧 大連 116024)

1 引言

在地面上觀察恒星的角位置，因為地球大氣密度隨高度變化的不均勻性，使來自遙遠恒星的平行光不斷折射而彎曲，且改變了平行光原傳播方向．因此，觀察者所看到的恒星，不在恒星的原位置，如圖1所示.

圖1 天文折射

在O點觀測恒星，其實是在光線的切線方向上測量恒星像點P′的位置，然而該點已經偏離了恒星的實際位置P．為此，觀察者要知道，恒星的視位置確定后，偏離真位置方向的角度ψ，通常稱之天文折射(即大氣折射)

ψ=θ-θ′

(1)

等于恒星的視天頂角θ′與真天頂角θ相減．此式還可以用視角高α′與真角高α之差來表示

ψ=α′-α

(2)

式中，α與θ是互為余角．

從歷史的角度看[1]，大氣折射理論，首先由天文學家卡西尼創立．之后，牛頓、布拉得雷、拉普拉斯和貝塞爾等著名科學家，對大氣折射都進行過研究．但是，關于大氣質量分布都假定：大氣是中心對稱分層的，每個球面層與地球同心，而且密度均質．因為地球的半徑很大，所以靠近地面大氣的逐個球面層，在有限范圍內可看成互相平行的平面層．

在此大氣模型的假設下，天文學家推出大氣折射ψ數學式，也是至今普遍應用的公式[2].

根據幾何光學的斯耐爾(Snell)折射定理

rnsinθ=(R0+y)nsinθ=R0n0sinθ′

(3)

式中，R0是地球半徑，y是球面層離地面高度，n是該球面層折射率，n0是地面空氣折射率，而θ′是視天頂角．由此式推出大氣折射為

ψ=(n0-1)tanθ′

(4)

其中，n0-1=293×10-6．

然而，該式在天頂角θ′不大于70°時與實際尚能符合．但是，如果恒星接近地平面，且天頂角大于70°時，那么，式(4)的計算值與實際就不大相符了．今天看來，大氣折射ψ依然是尚未解決的問題．

為此，該文提出不同于Snell定理的計算法，而是引入Fermat最短時間原理，通過求光曲線的入射點和出射點的切線斜率計算ψ角．對那些視天頂角θ′>70°的恒星，能給出較正確結果．

下面闡明，在大氣分層假定的框架下，再引入近地大氣狀態是等溫的，其質量分布遵循重力場的氣體分子數的玻爾茲曼分布律．如此，大氣密度隨高度y變化的表達式是

ρ(y)=ρ0e-z

(5)

2 大氣折射率隨高度變化的表達式

由光的電磁理論闡明的Lorentz-Lorenz公式，氣體折射率與密度的關系是[3]

(6)

(7)

(8)

因此，得地面大氣折射率為

n0=1+μ0=1+293×10-6

如果將式(5)代入式(7)，那么，大氣折射率隨高度y變化的表達式為

n(y)=1+μ0e-z

(9)

k=1.38×10-23J/K，T= 273 K．

3 大氣的“光學厚度”

由式(9)知道，當y→∞時，n(∞)=1．此結果，在我們看來，僅有理論意義．因為y的取值已經超出了玻爾茲曼分布律的適用范圍(y?R0)．同時，也與通常估計大氣折射率n(y)，在離地面有限高度處取n=1的假設相悖．因此，為了調和二者的不一致．引進大氣“光學厚度”物理量．辦法是將折射率n(y)展開為冪級數，僅取前面幾項之和表示，即

(10)

這里，函數n(y)的邊界條件是

(11)

因為y=ym處，大氣的n(ym)=1，所以將此條件代入式(10)，得代數方程

(12)

該方程的最高次冪為奇數時，有一正實數根為z1，因此得大氣“光學厚度”為

(13)

討論三種特殊情形：

(1)令p= 0，1．則方程式(12)為

z-1=0

該方程的實數根為z1=1，所以大氣光學厚度為

(14)

該厚度ym1與估計等密大氣厚度為8 km相吻合．

(2)令p= 0，1，2，3．則方程式(12)為三次方程

z3-3z2+6z-6=0

此方程的正實數根z1≈1.596，所以光學厚度

(15)

(3)令p= 0，1，2，3，4，5．式(12)為五次方程

z5-5z4+20z3-60z2+120z-120=0

該方程的正實數根z1≈2.1806．因此，光學厚度

(16)

觀測表明上述三種光學厚度均在大氣對流層頂18 km以下．除此，光學厚度以內大氣的平均折射率為

(17)

將式(10)代入式(17)，在三種光學厚度情形下，大氣折射率的平均值為

(18)

4 大氣折射的零級近似ψ0

觀測表明大氣折射主要是近地大氣層的效應，那些天頂距大于75°的恒星，其天文折射為4′至34′，即是有力的證據．

鑒此，根據分層理論，將近地大氣按光學性質分為三層.

(1)頂層，在大氣光學厚度ym之上，空氣折射率近似為1．

(2)中層，在ym至近地之間，空氣折射率n(y)隨高度y變化，但是1

(3)底層，近地面空氣折射率為n0幾乎不變．

圖2 近地大氣的光學分層

根據幾何光學的Snell折射定理，光在上述平行平面層大氣模型傳播，該定理蛻化為形式

n1sini1=n2sini2=n3sini3

對此式作變換

以及

則得

(19)

由此，得到以θ′表示的大氣折射零級近似為

ψ0=sin-1(>n0sinθ′)-θ′

(20)

計算表明ψ0的數值與通常表示天文折射ψ公式(4)數值幾乎相同，如表1所示．

表1 天文折射ψ0隨天頂角的變化[2]

5 重力場等溫大氣的光曲線函數

此前的討論，依然是應用大氣分層理論來計算天文折射ψ．雖然引入光學分層和光學厚度的概念．但是，這沒有超越大氣分層的范疇．

欲得到高精度ψ的數值，必須從普遍的原理出發，并且以新的方法去探索達到此目標的途徑．幾何光學中有一條比Snell折射定理更普遍的原理，即Fermat最短時間原理，以此取代折射定理，可能是實現此目標的捷徑．

下面，從此原理出發，推導等溫大氣光的極值曲線函數．Fermat原理的數學式是

(21)

(22)

該式被積函數為

于是，由式(22)推出微分方程

(23)

光的極值曲線y(x)的邊界條件是

y(0)=0y(x1)=y1

(24)

y0(x)=kx

(25)

在此情況下，方程(23)以近似形式表示為

(26)

圖3 重力場等溫大氣光曲線

微分方程式(26)的偏導數為

式中，變量z0=σy0(x)=σkx．

k(>1+μ0e-z0)δy′-(>1+k2)μ0σδy=0

(27)

對式(27)積分，得δy函數為

δy=c0(>1+μ0e-z0)-k′=c0n(>kx)-k′

(28)

y(x)=δy+c1=c0[n(>kx)]-k′+c1

(29)

積分常數c0和c1，由邊界條件式(24)來確定

(30)

將式(30)代入式(29)，則得光的極值曲線近似函數為

(31)

為簡化計算，引進光學厚度ym，將式(31)的折射率n(y)隨高度y遞減的形式表達為線性關系

n(y)=n0(1-βy)

(32)

(33)

式中，y=y0(x)=kx，y1=kx1．

(34)

其中，θ′是恒星的視天頂距．

6 參考線斜率k表示的天文折射

前面表述光曲線函數(33)，還可以將折射率(32)直接代入變分原理(21)，應用“參考線法”求積分而得相同的結果．

對光曲線函數式(33)求一階導數，得切線斜率

(35)

式中，y0(x)=kx，y1=kx1．

于是，由式(35)得，光曲線在O點的切線斜率為

(36)

同理，在A點光線的切線斜率為

(37)

式中，α′是恒星的視角高，而α是其真角高．

為了算出天文折射角ψ1，先計算式(36)和式(37)的兩式之差，以及兩式之積

tanα′-tanα=

k(k′+1)βy1

(38)

tanα′tanα=

k2[1+(k′+1)βy1]

(39)

將式(38)和式(39)代入三角恒等式，得到

(40)

(41)

此式，即是參考線斜率k表述的天文折射．

7 天文折射ψ的計算

第一步，為檢驗ψ1計算后的數值是否正確？首先算出ψ0，由式(20)得大氣折射零級近似為

ψ0=sin-1(n0sinθ′)-θ′

將θ′=65°代入式中，得ψ0=2′9″.69．

第二步，計算參考線的斜率k：由式(19)和式(34)得

第三步，將k的數值代入式(41)，得

同理，重復上述步驟，計算其他恒星天文折射ψ1在不同光學厚度情況下，ψ1隨θ′變化的數值，如表2所示．

表2 天文折射ψ1隨天頂角的變化

8 結論

(1)通常表述的天文折射公式為

ψ=(>n0-1)tanθ′

與根據光學分層推出天文折射零級近似

ψ0=sin-1(n0sinθ′)-θ′

是等價的，二者的數值幾乎相等．

(2)根據Fermat原理，用“參考線法”推得等溫大氣光的極值曲線函數為

n(kx)=1+μ0e-z0

(3)用參考線斜率k表示天文折射

(4)大氣光學厚度ym的不同，幾乎對ψ1沒有影響．當θ′>70°時，ψ1才略有偏差．由此看來，大氣折射是近地大氣效應．除此，表2給出，θ′=88°恒星，其ψ1=34′20″.48與古爾譚給出θ′～90°，ψ=34′40″.9相當接近，也證實了這一點．

參考文獻

1 胡寧生.大氣折射.中國大百科全書(天文學)，1980(2)：42～43

2 J·C·強生.物理氣象學.王鵬飛譯.北京：科學出版社，1960.24～27

3 楊步恩.光線在湍流大氣中作Brown運動的統計解釋.大連理工大學學報，1991(5)：515～520