勢場作用下粒子的雙縫干涉現象分析*

歐建文 張雄

( 云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

李淑紅

(天津工業大學理學院 天津 300387)

鄭永剛

( 云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

無數實驗已經證明，微觀粒子具有波粒二象性，而波動性的本質是波的相干疊加，建立在疊加原理之上的量子計算、量子通信和量子密碼等高新科技已成為國內外的研究熱點[1，2]．雙縫干涉實驗是理解量子疊加原理最引人入勝的例子之一，包括干涉現象定量分析[3]、粒子退相干[4]、量子糾纏[5]等．

近年來，不斷有人從薛定諤方程或費曼路徑積分的角度給出了自由粒子雙縫干涉現象的定量分析[6]，然而自然界中的粒子或多或少總是受到勢場的作用．例如，Covella，Overhausser和Werner在1975年進行的中子干涉實驗(稱為COW實驗)證實了引力場以經典方式作用于靜止質量m≠0的粒子[7]．甚至靜止質量m=0的粒子也受到引力場的作用，如用穆斯堡爾效應證實了光子受重力場作用而產生引力紅移[8]．自由粒子是一種不受任何外場作用的理想物理狀態，因此討論勢場作用下粒子的雙縫干涉現象更具理論和現實意義．

本文運用路徑積分的方法，詳細討論了諧振子勢和線性勢下粒子的雙縫干涉現象，給出兩種勢場下粒子的強度分布公式，并對干涉條紋作了定量分析．

1 雙縫干涉實驗的路徑積分

粒子雙縫干涉實驗裝置如圖1所示，雙縫中心間距為d，縫寬為a，雙縫到觀測屏的距離為D，取x軸沿粒子傳播方向，y軸沿縫寬方向．

圖1 粒子雙縫干涉實驗裝置

當t=t1時，粒子進入狹縫，并在t=t2時刻到達觀測屏P．由費曼的路徑積分理論，粒子經狹縫S1，在t2時刻到達觀測屏P處的概率波幅為[9]

(1)

經縫S2達觀測屏P處的概率波幅為

(2)

其中，K(r2t2,r1t1)是費曼傳播子，t2時刻觀測屏的合振幅ψ1+ψ2，于是雙縫干涉的概率分布函數為|ψ1+ψ2|2．為方便起見，假設t1=0時，粒子到達雙縫處，其概率幅為1，即

(3)

由式(1)～(3)可見，觀測屏概率幅ψ1，ψ2與初始時刻的波函數無關，而是費曼傳播子K(r2t2,r1t1)起決定作用，進而影響雙縫干涉的概率分布．

2 諧振子勢粒子的雙縫干涉

(4)

其中T=t2-t1，當ω→0時，諧振子傳播子退化為自由粒子傳播子．

把式(4)分別代入式(1)和式(2)，求積分

(5)

(6)

上述積分中，由于縫寬a?D，縫間距d?D，因此y′2可看作二階無窮小量而忽略．

t2時刻觀測屏的合振幅為

(7)

合振幅模的平方反映粒子的概率密度，因此粒子在觀測屏上的強度分布函數為

(8)

因此

(9)

由文獻[10]給出自由粒子干涉公式

(10)

圖2 諧振子勢下粒子的干涉強度分布圖

實線是自由粒子的干涉圖樣，與500 nm光波的楊氏雙縫實驗的強度分布圖一致．虛線是受諧振子勢調控所得的粒子干涉圖樣．

圖3 等效雙縫間距變化曲線圖

由以上理論分析發現，我們可以在不改變雙縫干涉實驗條件的情況下，通過變化入射粒子所受的諧振子勢場的角頻率，可以得到各種不同的干涉條紋．這或許在當今新興的量子工程中極具理論意義．

3 線性勢下粒子的雙縫干涉

Feynman和Hibbs的專著[12]中給出了很多不同勢場下粒子傳播子的計算，其中包括自由粒子、諧振子、磁場中的粒子等的傳播子．在勢能變化不大的一定尺度范圍內，勢場可以用線性勢逐步近似，因此對線性勢的分析顯得尤為重要．

在線性勢V(r)=Fr(F為常量)中粒子的傳播子[11]

(11)

其中T=t2-t1，把式(11)分別代入式(1)和式(2)，求積分

(12)

(13)

t2時刻觀測屏的合振幅為

(14)

取模的平方，得到粒子的強度分布函數

(15)

(16)

(17)

因此，線性勢下主極大位置為

(18)

圖4 線性勢下粒子的干涉強度分布圖

著名的引力場作用下的中子干涉實驗(COW實驗)表明，干涉條紋的主極大會隨著引力勢的變化而發生移動，這與我們的理論分析一致．COW實驗與線性勢下的雙縫干涉之間的聯系將另文發表．

4 結論

通過上述分析，不論是自由粒子或是諧振子勢、線性勢作用下的粒子，干涉強度分布公式形式上都是一致的．由路徑積分過程分析可知，干涉強度分布公式與dy′的積分有關，而dy′取決于雙縫的形狀，即雙縫的形狀決定了強度分布公式的表達形式，這與經典波動光學的惠更斯-菲涅爾原理分析的結果一致．

參考文獻

1 薛鵬,郭光燦. 量子通信.物理,2002, 30(06):385～391

2 宋漢沖,龔黎華,周南潤.基于量子遠程通信的連續變量量子確定性密鑰分配協議.物理學報,2012,61(15):1～7

3 Tonomura A,Endo J,Matsuda T,Kawasaki T,Ezawa H,Am.J.Phys.1989,57:117

4 譚霞,張成強,夏云杰.雙模場與原子相互作用中的量子糾纏和內稟退相干.物理學報,2006,55(5):2263～2268

5 胡要花,方卯發,廖湘萍,等.二項式光場與級聯三能級原子的量子糾纏.物理學報,2006,55(9): 4631～4637

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7 R.Collella,A.W.Overhauser,S.A.Werner,Phys.Rev Lett.1975,34:1472

8 R.V.Pound,G.A.Rebka.Phys.Rev.Lett.1960,4:274

9 曾謹言.量子力學卷Ⅱ.北京:科學出版社,2007.168

10 程守洙,江之永.普通物理學.北京:高等教育出版社,2006.351

11 侯伯元,云國宏,楊戰營.路徑積分與量子物理導論.北京:科學出版社,2008.63

12 R.P.Feynman, A.R.Hibbs. Quantum Mechanics and Path Integral. McGraw-Hill,1965