定量研究高中物理中一個經典的動力學模型

蔡亮

(南京市第十二中學 江蘇 南京 210015)

動力學問題是高中物理中的重點和難點，也是高考命題的熱點，因涉及面廣、包含知識點多而備受命題者青睞．最近，筆者發現，文獻[1～4]對其中的三個經典的動力學模型(機車恒定功率啟動模型、雨滴下落模型和導體棒切割磁感線穩態模型)存在較大的爭議.文獻[1]認為導體棒切割磁感線的收尾速度不可能為一定值，最終不可能達到平衡態.文獻[2]同樣認為以上三個動力學模型最終不可能達到動力學平衡態，無法做勻速直線運動，永遠處于加速狀態；文獻[3]也認為機車恒定功率啟動時速度達到最大值時必須要經過無窮長的時間；文獻[4]則是通過對恒定功率啟動時機車運動規律的定量分析得出題設條件的不自洽性，遺憾的是無法通過圖像直觀反應出物體運動規律，只能通過特殊值代入法進行計算．本文就借助于Matlab強大的數值計算功能，定量研究機車恒定功率啟動模型．

1 機車恒定功率啟動模型

【例1】一輛質量為5 t的汽車以額定功率P=6×104W從靜止開始啟動，汽車受到的阻力為車重的0.1倍，啟動后經過20 s達到最大速度．求：(省略)

假設機車從靜止啟動，以恒定功率P運行，機車所受阻力恒為f，質量為m，牽引力為F．

1.1 動力學方程

根據牛頓第二運動定律得

F-f=ma

等式兩邊同除以f，得

1.2 動力學圖像

1.2.1 速度圖像

圖1

如圖1所示，我們分別給出了機車恒定功率啟動的速度變化曲線和其與無量綱的最大速度差值的變化曲線，可以看出在t*=4后，機車運動的速度已經無限接近最大速度了，尤其可以從速度和無量綱最大速度差值的變化曲線中看出，當t*=5時，差值僅為0.002 162．根據提供的數據，計算可得

和速度圖像對比可知，題目給出的已知條件確實存在一定的問題，而在48 s以后，速度幾乎和最大值重合，此結論與文獻[4]一致．正如文獻[1～3]所反應的問題，如果只是簡單的把數學極限思想生搬硬套到物理問題環境中來，從而認為機車達到最大速度需要無窮長的時間，這未免有點舍本逐末了吧．

1.2.2 位移圖像

圖2

與此同時，我們還給出了機車運動的位移變化曲線，從位移圖像(圖2)的后面部分來看，在高中階段難道我們否認物體是做勻速直線運動嗎？如果否認這個結果，那么高中物理中的運動學圖像不就都有問題了嗎？對于其他類似模型，因問題本質一致，在此不做重復處理．所以我們認為這幾個物理經典的動力學模型沒有任何問題，只是需要注意題設條件的自洽性就可以了．

新課程注重與生產、生活和科技的聯系，以實際的問題為背景敘述并設問，解決這樣的問題，首先是基于物理概念和規律的學習，對于物理現象、物理過程、物理狀態的深度理解，要讓學生通過思維加工得到反映事物內在的必然的聯系．因此，在教學中，我們總是基于某一實際問題，抽象出一個物理模型，需要教會給學生的是分析問題、解決問題的能力，而中學物理的各個模型又對各方面問題都有一定的近似和忽略，這種看似“無聊”的“不在乎”實際上是突出問題的主要矛盾，抓住問題的主要方面的一種辯證唯物主義方法．我們需要教會給學生的是對這種動態的動力學問題分析方法和哲學上的思辨過程(即加速度雖在減小，速度卻在增大)，培養的是學生的思維能力和知識遷移能力，培養的是學生的創新能力．

2 Matlab程序代碼

clear,tm=8;dt=0.001;t=0:dt:tm;

f=inline(′1/v-1′,′t′,′v′);

v0=0.000001;

[tt,v]=ode23(f,t,v0);

v2=1-v;

x=cumtrapz(v)*dt;

figure

subplot(2,1,1),plot(t,v,′LineWidth′,2),grid on

fs=12;title(′機車恒定功率啟動的速度曲線′,′FontSize′,fs)

xlabel(′時間itt/ au′,′FontSize′,fs)

ylabel(′速度itv/v m_m′,′FontSize′,fs)

txt=′特征時間it au=itmitP/f m^2′;

txt=[txt′ m,最大速度itv m_mit=itP m/itf′];

text(1,0.35,txt,′FontSize′,fs)

%text(4,v,num2str(v),′FontSize′,fs)

subplot(2,1,2),plot(t,v2,′LineWidth′,2),grid on

title(′機車恒定功率啟動的速度與無量綱速度最大值差值曲線′,′FontSize′,fs)

xlabel(′時間itt/ au′,′FontSize′,fs)

ylabel(′速度itv/v m_m-1′,′FontSize′,fs)

txt=′特征時間it au=itmitP/f m^2′;

txt=[txt′ m,最大速度itv m_mit=itP m/itf′];

text(1,0.65,txt,′FontSize′,fs)

figure

plot(t,x,′LineWidth′,2),grid on

title(′機車恒定功率啟動的位移曲線′,′FontSize′,fs)

xlabel(′時間itt/ au′,′FontSize′,fs)

ylabel(′位移itx/v m_mit au′,′FontSize′,fs)

參考文獻

1 盧艷.對三個問題的質疑.物理教學探討(上半月),2004(6)

2 楊嚴輝.高中物理中的幾個極限問題探討.物理教師,2011(5)

3 詹國榮.恒功率啟動運行物體的速度變化規律.物理教學,2012(5)

4 葉玉琴.對汽車以恒定功率啟動的問題中題給條件不自洽的研究.物理教學,2011(10)