用等效法求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

曹聰明 武維

(包頭市第九中學(xué) 內(nèi)蒙古 包頭 014010)

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)典型模型有單擺和彈簧振子，在很多問題中出現(xiàn)了并非純粹的單擺或彈簧振子模型，因此就不能直接使用公式

求解運(yùn)動(dòng)周期．從單擺的周期公式中可以看出，與周期有關(guān)的參量分別是單擺的擺長(zhǎng)L和重力場(chǎng)強(qiáng)g；從彈簧振子周期公式可以看出，與周期有關(guān)的參量分別是振子的質(zhì)量m和勁度系數(shù)κ．因此，對(duì)于一些并非純粹的單擺或彈簧振子模型，我們可以從這些方面發(fā)現(xiàn)它們的等效性，使之轉(zhuǎn)化為可直接用單擺周期公式或彈簧振子周期公式求解的等效模型而求出它們的周期．

1 等效擺長(zhǎng)

【例1】如圖1所示，一質(zhì)量為M的車廂靜止在光滑水平面上，廂頂懸一擺長(zhǎng)為L(zhǎng),擺球質(zhì)量為m的單擺，單擺擺動(dòng)時(shí)此擺的周期為多少？

圖1

解析：由于車和球的系統(tǒng)不受合外力，故系統(tǒng)質(zhì)心在地面參考系中是定點(diǎn)．我們知道，單擺的運(yùn)動(dòng)是以其自然狀態(tài)下的豎直位置為對(duì)稱中心的，即單擺的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)為x=Lsinθ．在本例中，擺球必定以系統(tǒng)質(zhì)心所在豎直位置為對(duì)稱中心，質(zhì)心在水平方向上與小球相距

因而其等效擺長(zhǎng)為

由分析可知，車廂中的單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的等效擺長(zhǎng)為

因此振動(dòng)系統(tǒng)的周期為

圖2

解析：用C球替代人，它實(shí)際上是在繞AB軸擺動(dòng)，根據(jù)擺動(dòng)的物理情景可知，小球的懸點(diǎn)可以看成是AB線上的任意一點(diǎn)．

思路一：若選E為懸點(diǎn)，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形，故等效重力加速度

所以

思路二：若選D為懸點(diǎn)，不需要分解重力加速度，等效擺長(zhǎng)L=CD，過C點(diǎn)做AB的垂線交點(diǎn)為E，有

解得

所以

【例3】一個(gè)單擺，由一根長(zhǎng)為l的剛性輕桿和兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球組成，一個(gè)小球固定在輕桿末端，另一個(gè)小球固定在輕桿中央，求這個(gè)(單)擺的周期．

解析：此時(shí)的擺動(dòng)模型實(shí)際為復(fù)擺，高中階段并不研究、不學(xué)習(xí)復(fù)擺的周期，所以只能采用等效代替的思想完成此問題．

設(shè)此(單)擺偏離平衡位置的角度為θ，從靜止釋放到達(dá)到平衡位置的角速度為ω,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

解得

設(shè)有一個(gè)擺長(zhǎng)l′的單擺與此(單)擺等效，擺長(zhǎng)為l′的單擺偏離平衡位置角度為θ，從靜止釋放，到達(dá)平衡位置的角速度為ω′，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

解出

2 等效重力加速度

【例4】如圖3所示，一輛小車以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，車內(nèi)有一單擺，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球質(zhì)量為m,求這個(gè)單擺的擺動(dòng)周期．

圖3

解析：小球相對(duì)小車做擺動(dòng)，它相對(duì)小車做擺動(dòng)的平衡位置不在豎直位置，設(shè)它在A位置，以車為參考系(非慣性參考系)，小球受力如圖4所示．

圖4

根據(jù)題意可列出方程

mgsinα=macosα

mgcosα+masinα=T

則等效加速度

3 等效質(zhì)量

根據(jù)牛頓第二定律列出方程與振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)方程比較，求等效質(zhì)量．

【例5】如圖5所示，勁度系數(shù)為κ的輕彈簧豎直懸掛，下端與質(zhì)量為M的圓柱體(不能轉(zhuǎn)動(dòng))連接，不能伸長(zhǎng)的細(xì)線繞過圓柱體，兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的重物，細(xì)繩與圓柱體的摩擦可忽略不計(jì)，試求兩重物同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓柱體的振動(dòng)周期．

圖5

解析：設(shè)兩重物同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的加速度為a，方向向下，以M為參照物(為非慣性系)．以m1和m2為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律有

m1g-m1a+m2a-m2g=(>m1+m2)a相對(duì)

(1)

以m1為研究對(duì)象以地面為參考系，根據(jù)牛頓第二定律有

m1g-T=m1(>a相對(duì)+a)

(2)

再以M為研究對(duì)象以地面為參考系，根據(jù)牛頓第二定律有

2T+Mg-κx=Ma

(3)

由式(1)有

代入式(2)有

代入式(3)有

設(shè)

則

可知等效質(zhì)量

因此周期

【例6】如圖6所示，已知m1,m2，κ．滑輪質(zhì)量不計(jì)，滑輪與輪軸及細(xì)線間摩擦不計(jì)．求：系統(tǒng)振動(dòng)的周期．

圖6

解析：m1和m2的振動(dòng)周期相同，由振動(dòng)的過程可知m1和m2位移關(guān)系:s2=2s1.進(jìn)一步可知m1和m2加速度關(guān)系為

a2=2a1

由牛頓第二定律可知

2T-m1g=m1a1

κx+m2g-T=m2a2

整理

進(jìn)一步整理可得

設(shè)

則有

類比可知等效質(zhì)量

所以周期

4 等效比例系數(shù)

根據(jù)受力情況分析回復(fù)力，寫出回復(fù)力的表達(dá)式與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，求出等效比例系數(shù)．

【例7】如圖7所示,振動(dòng)系統(tǒng)κ1=κ2=κ，如果不計(jì)兩滑輪的質(zhì)量及一切摩擦，則該系統(tǒng)在豎直方向上振動(dòng)的周期是多少.

圖7

解析：設(shè)彈簧又伸長(zhǎng)Δx，以m為研究對(duì)象，m離開平衡位置的位移為4Δx，由于滑輪質(zhì)量不計(jì)，細(xì)繩中張力為

則物體受到的回復(fù)力為

對(duì)m進(jìn)行研究列出標(biāo)準(zhǔn)方程，可知F回=κ等效Δxm，又因?yàn)棣m=4Δx，則F回=4κ等效Δx，即

【例8】如圖8所示，輕桿一端鉸鏈另一端用勁度系數(shù)為κ1的彈簧拉著．B點(diǎn)懸掛一個(gè)彈簧振子，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，已知a,b,κ1,κ2,m．求這個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的周期.

圖8

解析：用力向下拉m，使彈簧κ2又伸長(zhǎng)Δx2，釋放m．整個(gè)系統(tǒng)開始振動(dòng)．以m為研究對(duì)象．它受到的回復(fù)力設(shè)為F，有

F=κ2Δx2=κ等效Δx

Δx=Δx2+ΔxB

由輕桿力矩平衡可知

κ1Δx1a=κ2Δx2b

根據(jù)三角形相似可知

其中Δx是物體偏離平衡位置的位移，ΔxB是B點(diǎn)向下移動(dòng)距離， Δx1是彈簧κ1在原基礎(chǔ)上的伸長(zhǎng)量．

整理可知

進(jìn)一步整理可知

解得

所以

通過這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣，提升解決物理問題思維和方法． 高中物理特別注重物理方法的理解和掌握，因此我們?cè)诟?jìng)賽輔導(dǎo)過程中有意識(shí)的借助一定的物理情景，讓學(xué)生體會(huì)如何構(gòu)建物理模型，如何通過與標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較，找到合理等效量，在解決問題中體會(huì)等效法的美妙之處，進(jìn)而掌握等效法．

參考文獻(xiàn)

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