例析物理極值問題的求解方法

張光新

(衡陽縣第一中學 湖南 衡陽 421200)

中學物理習題中，經常遇到內容豐富、難度較大和技巧性較強的物理極值問題．求解物理極值問題要綜合運用數學知識和物理知識，巧用數學函數、導數、數學函數圖像和物理圖像解答，能夠培養學生綜合分析問題和解決問題的能力．而運用數學工具處理物理問題的能力是高考重點考查的5種能力之一，應該得到足夠重視．下面通過典型例題分析物理極值問題的常用求解方法．

1 利用一元二次函數求解

對于典型的一元二次函數y=ax2+bx+c，

【例1】如圖1所示的電路中．電源的電動勢E=12 V，內阻r=0.5 Ω，外電阻R1=2 Ω，R2=3 Ω，滑動變阻器R3=5 Ω．求滑動變阻器的滑動頭P滑到什么位置，電路中的電壓表的示數有最大值,最大值是多少.

圖1

解：設aP間電阻為x，外電路總電阻為R. 則

Umax=E-Iminr=12-4×0.5=10 V

即變阻器的滑動頭P滑到R3的aP間為3 Ω處，電壓表有最大值，最大值為10 V．

2 利用三角函數求解

【例2】物體放置在水平地面上，物體與地面之間的動摩擦因數為μ，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運動，所用的最小拉力F為多大？

分析：該題的已知量只有μ和G，說明最小拉力的表達式中最多只含有μ和G，但是，物體沿水平地面做勻速直線運動時，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值．因此，可根據題意先找到與夾角有關的關系式再作分析．

圖2

解：設拉力F與水平方向的夾角為θ，根據題意可列平衡方程式， 即

Fcosθ-f=0N+Fsinθ=Gf=μN

聯立解得

3 利用基本不等式求解

【例3】一輕繩一端固定在O點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度地釋放，如圖3(a)所示，小球在運動至輕繩達到豎直位置的過程中，問小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值？

圖3

解：當小球運動到繩與豎直方向成θ角的C點時，重力的功率為

P=mgvcosα=mgvsinθ

(1)

小球從水平位置到圖3(b)中C位置時，機械能守恒有

(2)

令

y=cosθsin2θ

因為

又因為

2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2(sin2θ+cos2θ)=2

當且僅當2cos2θ=sin2θ，y有最大值.

4 利用函數的導數求解

執行新課程標準后，高中數學增加了導數的內容，如果當Δx→0時，有極限，我們把這個極限叫做f(x)在該點(x=x0)的導數，它正是曲線在該點處切線的斜率tanα．如果f′(x0) =0, 則在x0處函數有極值．

【例4】如圖4(a)所示，相距2L的A和B兩點固定著兩個正點電荷，帶電荷量均為Q．在它們的中垂線上的C點，由靜止釋放一電荷量為q，質量為m的正檢驗電荷(不計重力) ．試求檢驗電荷運動到何處加速度最大，最大加速度為多少.

圖4

解：由于對稱性，在AB的中點受力為零，在AB中垂線上的其他點所受合力均是沿中垂線方向的．當q運動到中垂線上的D點時，由圖4(b)可知

故其加速度為

發現加速度是一個關于θ的函數，令f(θ)=sinθ-sin3θ，則f(θ)的導數為

f′(θ)=cosθ-3sin2θcosθ

令f′(θ)=0,即

cosθ-3sin2θcosθ=0

5 利用矢量三角形求解

在運動學中處理速度和位移，靜力學中處理物體的平衡，我們經常運用矢量三角形來求解某個矢量的最小值問題．用矢量三角形分析和計算矢量的最小值，既簡便又形象，有事半功倍的效果．

【例5】質量為m的帶正電小球A懸掛在絕緣細線上，其電荷量為q，且處勻強電場中．當小球A靜止時，細線與豎直方向成30°角，如圖5(a)所示，求勻強電場強度E的最小值及其方向．

圖5

解：由于小球受重力、電場力和繩的拉力處于靜止狀態，根據小球平衡可作出其所受重力、電場力和拉力的矢量三角形，如圖5(b)．可見,當電場力qE和拉力F垂直時，電場力最小，即E最小．

由幾何關系得mgsin30°=qEmin

方向如圖5(b)垂直繩向上．

以上求極值的方法也是求解高考物理極值的常用方法．當然，除了以上方法還可以用配方法、二次方程的判別式等方法求極值問題．在使用中必須考慮實際問題，找出符合物理規律的物理方程或物理圖像，利用恰當的數學模型，使用合適而有效的方法，解決物理極值問題．